Funktionsplotter mit eigenen Termen

Worum geht es?

Ein Funktionsplotter zeichnet zu einem Funktionsterm den Graphen. Du gibst bis zu drei Terme $f(x)$ , $g(x)$ und $h(x)$ ein. Die Simulation zeigt jeden Term noch einmal sauber gesetzt – so siehst du sofort, wie deine Eingabe verstanden wurde – und zeichnet den Graphen. Bei einem Tippfehler wird die Stelle markiert und erklärt, was fehlt.

Eingabe	bedeutet	Hinweis
`2x`, `3(x+1)`	$2x$ , $3(x+1)$	Der Malpunkt darf fehlen.
`x^2`, `x²`, `2^x`, `x^(1/2)`	$x^2$ , $x^2$ , $2^x$ , $x^{\frac{1}{2}}$	Hochzahlen mit `^`, längere in Klammern
`0,5x` oder `0.5x`	$0{,}5x$	Komma oder Punkt
`1/(x-1)`	$\dfrac{1}{x-1}$	Nenner in Klammern setzen!
`sqrt(x)` oder `√x`	$\sqrt{x}$
`abs(x-1)` oder Betragsstriche	$\lvert x-1 \rvert$
`sin(x)`, `cos x`, `tan(2x)`	$\sin x$ , $\cos x$ , $\tan 2x$	Winkel im Bogenmaß
`e^x`, `exp(x)`, `ln(x)`, `lg(x)`, `log_2(x)`	$e^x$ , $e^x$ , $\ln x$ , $\lg x$ , $\log_2 x$	`exp(x)` ist eine andere Schreibweise für $e^x$ .
`pi` oder `π`, `e`	$\pi \approx 3{,}14$ , $e \approx 2{,}72$	Konstanten
`a`, `b`	Parameter	Dafür erscheinen Regler.

Es gelten die üblichen Rechenregeln: Potenz vor Punkt vor Strich, sonst von links nach rechts; nur Potenztürme werden von oben nach unten gerechnet: 2^3^2 ist $2^{(3^2)} = 2^9$ . Deshalb bedeutet 1/2x dasselbe wie $\frac{1}{2} \cdot x$ – wer $\frac{1}{2x}$ meint, schreibt 1/(2x). Und -x^2 ist $-x^2$ (erst quadrieren), nicht $(-x)^2$ .

Auf Wunsch markiert die Simulation besondere Punkte im sichtbaren Ausschnitt:

Nullstellen (auch Berührstellen wie bei $x^2$ ): Dort ist $f(x) = 0$ .
Schnittpunkte zweier Graphen: Ihre $x$ -Werte sind die Lösungen der Gleichung $f(x) = g(x)$ .
Hochpunkte H und Tiefpunkte T.
Polstellen (gestrichelte senkrechte Asymptote), Definitionslücken (Loch im Graphen) und Ränder der Definitionsmenge wie bei $\sqrt{x}$ .

Die Werte sind Näherungen: Der Rechner tastet den Graphen ab und grenzt die Stellen durch Intervallhalbierung immer weiter ein. Angezeigt wird auf zwei Nachkommastellen gerundet, erkennbar am Zeichen $\approx$ . Exakte Werte wie $\sqrt{2}$ findet man nur durch Rechnen.

Keine senkrechten Striche an Polstellen: Ein einfacher Plotter verbindet den letzten Punkt links einer Polstelle mit dem ersten rechts davon – es entsteht ein senkrechter Strich, der nicht zum Graphen gehört. Hier wird zwischen je zwei Punkten geprüft, ob der Graph dazwischen „springt“; dann wird nicht verbunden.

Mit der Spur fährst du mit einem Punkt am Graphen entlang und liest seine Koordinaten ab; an besonderen Punkten rastet sie ein. Die Wertetabelle zeigt die Funktionswerte ab einem Startwert mit wählbarer Schrittweite $\Delta x$ .

Ausprobieren

Lade Parabel und Sinus. Ziehe den Spurpunkt am Graphen entlang oder tippe auf den grünen Graphen. Welche Lösungen hat die Gleichung $x^2 - 2 = 2 \sin x$ ungefähr?
Tippe bei $h(x)$ den Term 1/x ein. Wo ist der Graph nicht definiert? Schiebe den Ausschnitt mit der Maus oder dem Finger und zoome mit den Knöpfen.
Mache absichtlich Fehler: 2x+, sinus(x) oder x2. Was meldet die Simulation?
Lade die Parabelschar $f_a(x) = a x^2$ und verändere $a$ . Was passiert für $a < 0$ , für $a = 0$ und für große $a$ ?
Vergleiche x² und 2ˣ. Wie viele Schnittpunkte gibt es? Welche Funktion wächst auf lange Sicht schneller? Zoome heraus.
Lade drei Sinuskurven mit der $x$ -Achse in Vielfachen von $\pi$ . Woran erkennst du die Amplitude, woran die Periode?
Untersuche die Tangensfunktion: Wo liegen Nullstellen, wo Polstellen?
Gib (x² − 1)/(x − 1) ein. Der Graph sieht aus wie eine Gerade – doch was ist bei $x = 1$ ?
(Oberstufe) Schalte die Tangente ein und ziehe den Spurpunkt. Wo ist die Tangente waagrecht?

Aufgaben

Aufgabe 1: Nullstellen näherungsweise

Aufgabe laden Bestimme mit der Spur die Nullstellen von $f(x) = x^3 - 2x - 1$ auf zwei Nachkommastellen. Eine davon ist ganzzahlig – zeige durch Einsetzen, dass sie exakt stimmt.

Lösung anzeigen

$x_1 = -1$ (exakt: $(-1)^3 - 2 \cdot (-1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$ ), $x_2 \approx -0{,}62$ und $x_3 \approx 1{,}62$ . Nach Abspalten von $(x + 1)$ bleibt $x^2 - x - 1 = 0$ mit den exakten Lösungen $\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Eine Gleichung grafisch lösen

Aufgabe laden Löse $2^x = 3 - x$ grafisch. Begründe, warum es keine weitere Lösung geben kann.

Lösung anzeigen

Die Graphen schneiden sich in $S(1 \mid 2)$ , also $x = 1$ . Probe: $2^1 = 2$ und $3 - 1 = 2$ . Weitere Lösungen gibt es nicht, weil $2^x$ immer steigt und $3 - x$ immer fällt – die Graphen können sich nur einmal treffen. Zeigen

Aufgabe 3: Was hat der Plotter verstanden?

Aufgabe laden Lea will $\frac{1}{2x}$ zeichnen und tippt 1/2x ein, Tom tippt 1/(2x). Welcher Graph gehört zu wem? Wer hat recht?

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1/2x wird von links nach rechts gerechnet: $\frac{1}{2} \cdot x$ – eine Ursprungsgerade mit Steigung $\frac{1}{2}$ (blau). Nur 1/(2x) ergibt $\frac{1}{2x}$ , eine Hyperbel mit Polstelle bei $x = 0$ (grün). Tom hat recht; die gesetzte Formel in der Karte „Terme“ zeigt den Unterschied.

Aufgabe 4: Eine Parabelschar

Aufgabe laden Für welche Werte von $a$ hat der Graph von $f_a(x) = x^2 - 2x + a$ zwei, eine oder keine Nullstelle? Probiere mit dem Regler und begründe rechnerisch.

Lösung anzeigen

Der Scheitel liegt bei $S(1 \mid a - 1)$ . Für $a < 1$ liegt er unter der $x$ -Achse: zwei Nullstellen. Für $a = 1$ berührt die Parabel die $x$ -Achse in $x = 1$ : eine Nullstelle. Für $a > 1$ : keine. Rechnerisch: Diskriminante $D = 4 - 4a$ . Grenzfall zeigen

Aufgabe 5: Polstelle oder Lücke?

Aufgabe laden Beide Funktionen sind bei $x = 2$ nicht definiert. Beschreibe, wie sich die Graphen dort unterscheiden, und erkläre den Unterschied am Term.

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$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$ für $x \neq 2$ : Der Graph ist eine Gerade mit einem Loch bei $(2 \mid 4)$ – eine hebbare Definitionslücke. Bei $g$ lässt sich nicht kürzen; der Zähler ist bei $x = 2$ nicht null. Die Werte wachsen über alle Grenzen: Polstelle mit senkrechter Asymptote $x = 2$ . Zeigen

Aufgabe 6: Tangente (Oberstufe)

Aufgabe laden Berechne für $f(x) = x^3 - 3x$ die Steigung $f'(2)$ und die Gleichung der Tangente bei $x = 2$ . Überprüfe anschließend mit „Tangente im Spurpunkt“. An welchen Stellen ist die Tangente waagrecht?

Lösung anzeigen

$f'(x) = 3x^2 - 3$ , also $f'(2) = 9$ und mit $f(2) = 2$ : $t(x) = 9(x - 2) + 2 = 9x - 16$ . Waagrechte Tangenten bei $f'(x) = 0$ , also $x = \pm 1$ : Hochpunkt $H(-1 \mid 2)$ , Tiefpunkt $T(1 \mid -2)$ . Tangente als g(x) zeigen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 8, Funktion und Term (Graphen mit einem Funktionenplotter erstellen und untersuchen), danach als Werkzeug durch alle Klassen: quadratische Funktionen und Scharen, Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen, gebrochen-rationale Funktionen und Ableitung in der Oberstufe, auch im Studium.
Sicher und datensparsam: Die Terme werden von einem eigenen Leseprogramm ausgewertet (kein eval, keine Übertragung). Geteilte Links enthalten die Terme, den Ausschnitt und alle Einstellungen; mit _hide=1 werden die Ergebnislisten verdeckt, die Marken im Bild schaltet man in Aufgabenlinks einzeln ab (nst=0, sct=0, ext=0, asy=0).
Numerik: Alle besonderen Punkte sind Näherungen im sichtbaren Ausschnitt. Sehr flache Extrempunkte (z. B. bei $x^{10}$ ) oder sehr dicht liegende Nullstellen können übersehen werden; hebbare Lücken werden an Stellen eines Viertelrasters gesucht. Potenzen mit negativer Basis sind nur für ganzzahlige Exponenten definiert (wie im Unterricht): x^(1/3) ist für $x < 0$ nicht definiert.
Häufige Stolpersteine:
- „Der senkrechte Strich an der Polstelle gehört zum Graphen.“ – Er entsteht nur, wenn ein Plotter Punkte blind verbindet.
- „Der Rechner liefert exakte Werte.“ – Er rundet; $1{,}41$ ist nicht $\sqrt{2}$ .
- 1/2x statt 1/(2x), -x^2 statt (-x)^2, sin(x) im Gradmaß erwartet.
- „Der Graph hört am Bildrand auf.“ – Herauszoomen zeigt den weiteren Verlauf.
- 0^0 wird wie in vielen Rechnern und Programmiersprachen als $1$ gerechnet (z. B. x^0 an der Stelle $x = 0$ ). Im Unterricht bleibt $0^0$ meist nicht festgelegt.