Polstellen und Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen

Worum geht es?

Eine gebrochen-rationale Funktion ist ein Quotient zweier ganzrationaler Funktionen. Hier ist sie in Linearfaktoren gegeben, zum Beispiel

$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-2}.$

Die Nullstellen des Nenners gehören nicht zur Definitionsmenge, hier $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. Was an einer solchen Definitionslücke passiert, entscheidet der Zähler:

• Polstelle: Der Faktor kürzt sich nicht (vollständig) weg, zum Beispiel bei $\frac{x-1}{(x-1)^2} = \frac{1}{x-1}$. Der Graph schmiegt sich an die senkrechte Asymptote $x = 2$, die Funktionswerte streben gegen $+\infty$ oder $-\infty$. Kommt der Nennerfaktor einfach (allgemein: ungerade oft) vor, wechselt das Vorzeichen (mit VZW), bei einem doppelten Faktor wie $(x-1)^2$ nicht (ohne VZW).
• Behebbare Lücke: Zähler und Nenner haben denselben Linearfaktor, und er kommt im Zähler mindestens so oft vor wie im Nenner. Nach dem Kürzen ist $f$ dort stetig fortsetzbar; im Graphen bleibt ein Loch. Beispiel: $\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$ für $x \neq 1$, Loch bei $(1 \mid 2)$. Die Definitionsmenge ändert sich durch das Kürzen nicht.

Für $x \to \pm\infty$ vergleicht man den Zählergrad $m$ mit dem Nennergrad $n$:

Die Polynomdivision zerlegt $f(x) = s(x) + \frac{r(x)}{q(x)}$ mit einem Rest $r$, dessen Grad kleiner als der des Nenners $q$ ist. Der Bruch $\frac{r(x)}{q(x)}$ geht für $x \to \pm\infty$ gegen $0$, also nähert sich der Graph $y = s(x)$. Beispiel: $(x^2 - 1) : (x - 2) = x + 2$ Rest $3$, also $f(x) = x + 2 + \frac{3}{x-2}$ und $y = x + 2$ ist schräge Asymptote. Bei $x = 40$ ist der Abstand nur noch $\frac{3}{38} \approx 0{,}079$.

Ausprobieren

1. Eine Polstelle: Ziehe die grüne Perle (Zählernullstelle, ein Punkt) und den roten Ring (Nennernullstelle, ein Kreis mit Kreuz) auf der $x$-Achse. Was passiert mit der Asymptote $y = 1$, was mit den Pfeilen an der Polstelle?
2. Lücke statt Pol: Lade dieses Beispiel und ziehe die Perle bei $x = 2$ in den Ring bei $x = 1$. Beobachte den Term: Beide Faktoren werden durchgestrichen, die senkrechte Asymptote schrumpft zu einem Loch. Ziehe die Perle wieder heraus.
3. Doppelte Polstelle: Warum zeigen beide Äste nach oben? Vergleiche mit dem Vorzeichenstreifen an der $x$-Achse.
4. Schräge Asymptote: Drücke „Polynomdivision Schritt für Schritt“ und verfolge die Rechnung wie an der Tafel. Lass danach einen Punkt am Graphen entlanglaufen: Der Maßpfeil zeigt die Abweichung $f(x) - s(x) = \frac{3}{x-2}$.
5. Aus der Ferne: Schalte „Blick aus der Ferne“ ein und aus. Warum verschmilzt der Graph fast mit der Geraden?
6. Zählergrad 3: Welche Kurve nähert den Graphen für große $|x|$ an?
7. Wertetabelle an der Polstelle: Wie ändern sich die Werte, wenn $x$ immer näher an $-2$ rückt? Vergleiche mit der Lücke: Dort streben die Werte gegen eine Zahl.
8. Vorzeichentabelle: An welchen Stellen kann das Vorzeichen von $f$ wechseln – und wo wechselt es nicht? (In der Tabelle steht „Z“ vor Zählerfaktoren und „N“ vor Nennerfaktoren.)

Aufgaben

Aufgabe 1: Steckbrief

Untersuche $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$: Definitionsmenge, Nullstelle, Polstelle (mit oder ohne VZW), Asymptoten und $f(0)$. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Loch oder Pol?

Untersuche $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ an der Stelle $x = 1$. Aufgabe laden

Aufgabe 3: Polynomdivision

Bestimme die Asymptote von $f(x) = \frac{x^2-1}{x-2}$. Aufgabe laden

Aufgabe 4: Wertetabelle an der Polstelle

Berechne für $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ die Werte $f(-2{,}01)$ und $f(-1{,}99)$. Was folgt für das Verhalten an der Polstelle? Aufgabe laden

Aufgabe 5: Näherungsparabel

Zeige: $f(x) = \frac{0{,}5\,(x + 2)\,x\,(x - 2)}{x + 1} = 0{,}5x^2 - 0{,}5x - 1{,}5 + \frac{1{,}5}{x+1}$. Aufgabe laden

Aufgabe 6: Darf der Graph die Asymptote schneiden?

Untersuche, ob der Graph von $f(x) = \frac{(x+1)(x-3)}{(x+3)(x-1)}$ seine waagrechte Asymptote schneidet. Aufgabe laden

Aufgabe 7: Funktion gesucht

Gib eine gebrochen-rationale Funktion an mit einer Polstelle ohne VZW bei $x = 1$ und der waagrechten Asymptote $y = 2$.

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Oberstufe: gebrochen-rationale Funktionen – Grenzwerte und Asymptoten, später die Untersuchung gebrochen-rationaler Funktionen. Ob Näherungskurven (Zählergrad größer als Nennergrad + 1) dort verbindlich sind, bitte am Lehrplan prüfen.
• Entdeckend: Die Lernenden ziehen eine Zähler-Perle in einen Pol-Ring und beschreiben, was mit Term und Graph passiert – daraus kann der Begriff der behebbaren Lücke entstehen.
• Steckbriefe: Mit „Eigenschaften zeigen“ aus bleiben Steckbrief, Polstellen, Lücken, Asymptoten, gekürzter Term und Wertetabelle verdeckt; der Graph bleibt als Kontrolle sichtbar. Nach dem Rechnen deckt „Eigenschaften aufdecken“ alles auf. Aufgabe 7 eignet sich als Partnerarbeit: Eine Person gibt Eigenschaften vor, die andere baut die Funktion nach.
• Vorzeichen ohne Rechnung: Das Vorzeichen kann nur an Nullstellen und Polstellen wechseln, und nur bei ungerader Vielfachheit. Vorzeichenstreifen und Vorzeichentabelle machen das sichtbar.
• Modell: Zähler und Nenner zerfallen vollständig in Linearfaktoren mit Nullstellen auf halben Einheiten; Nenner wie $x^2 + 1$ kommen nicht vor.
• Häufige Stolpersteine:
  • Jede Nennernullstelle wird automatisch als Polstelle bezeichnet (Kürzen vergessen).
  • Die Lücke wird nach dem Kürzen „vergessen“ – die Definitionsmenge ändert sich durch Kürzen nicht.
  • Bei gleichem Grad wird $y = 1$ statt des Quotienten der Leitkoeffizienten angegeben.
  • „Der Graph darf seine Asymptote nicht schneiden.“ – Er darf, siehe Aufgabe 6.
  • Bei der Polynomdivision fehlen Platzhalter wie $0x$, dann verrutschen die Spalten.