Grenzverhalten und Asymptoten
Was passiert mit einem Graphen, wenn x sehr groß wird? Ein Punkt läuft nach außen, und eine Lupe zeigt, wie nah er der Asymptote kommt.
Mathematik – Jahrgangsstufe 11–13
Mainzer Studienstufe (Jahrgangsstufen 11 bis 13): Der Lehrplan ordnet den Pflichtstoff keinen Schuljahren oder Halbjahren zu; die Lernbereiche stehen deshalb bei 11, 12 und 13 gleich und werden als eine Stufe gezeigt. GF = Grundfach, LF = Leistungsfach. In Linearer Algebra/Analytischer Geometrie (beide Fächer) und in Stochastik 2 (Grundfach) ist je eines der Wahlpflichtgebiete zu behandeln. Die Nummern sind von uns vergeben.
Lernbereich GF-1Grenzwerte (Grundfach)
Zahlenfolgen explizit und rekursiv beschreiben, eine inhaltliche Vorstellung vom Grenzwert gewinnen, Grenzwertsätze anwenden und Grenzwerte bestimmen.
Lernbereich GF-2Differentialrechnung (Grundfach)
Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen und momentane Änderungsrate, Ableitungsregeln, Ableitungsgraph skizzieren, Monotonie und Extrema, ganzrationale Funktionen auch mit Parametern untersuchen und bestimmen, Extremwertaufgaben.
Von der Sekante zur Tangente
Lass einen Punkt Q auf P zulaufen: Aus der Sekante wird die Tangente und aus der mittleren Steigung die Ableitung.
Ableitungsfunktion grafisch
Eine Tangente gleitet am Graphen entlang und zeichnet dabei die Steigung als neuen Graphen: die Ableitungsfunktion.
Monotonie, Extrem- und Wendestellen
Untersuche einen Graphen Schritt für Schritt: Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und wo er steigt oder fällt.
Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Vielfachheit und Randverhalten
Schneidet der Graph die x-Achse oder berührt er sie nur? Die Vielfachheit der Nullstelle entscheidet, der höchste Exponent das Verhalten weit draußen.
Parabel durch drei Punkte
Ziehe drei Punkte, und die passende Parabel geht immer durch alle drei. Die Gleichung wird Schritt für Schritt berechnet.
Funktionenscharen
Ein Parameter, unendlich viele Graphen. Wohin wandern die Hochpunkte, wenn k wächst? Auf einer eigenen Kurve, der Ortskurve.
Extremwertprobleme
Welche Schachtel fasst am meisten, welche Dose braucht am wenigsten Blech? An fünf Alltagsproblemen findest du mit der Ableitung das Optimum.
Funktionsplotter mit eigenen Termen
Bis zu drei eigene Funktionen gleichzeitig, mit Wertetabelle, Nullstellen und Schnittpunkten. Das Werkzeug für alles, was ein Graph sein kann.
Lernbereich GF-3Integralrechnung (Grundfach)
Flächen mit Rechtecksummen annähern, das Integral als rekonstruierten Bestand deuten, Integrationsregeln, Hauptsatz und Stammfunktionen, Sachaufgaben bis zum Volumen von Rotationskörpern.
Integral als Flächenbilanz (Rechtecksummen)
Fülle die Fläche unter einem Graphen mit Rechtecken. Je mehr Rechtecke, desto genauer wird der Wert des Integrals.
Integralfunktion und Hauptsatz
Die Fläche unter einem Graphen wächst mit. Ihre Änderungsrate ist genau die Funktion selbst: Das ist der Hauptsatz.
Vom Graphen zur Stammfunktion
Die Höhe eines Graphen wird zur Steigung eines neuen: Wer Kontostände kennt, versteht die Stammfunktion schneller als gedacht.
Integral als Gesamtänderung: von der Geschwindigkeit zum Weg
Aus der Geschwindigkeit eines Autos wird der zurückgelegte Weg: Die Fläche unter der Kurve zeigt die Gesamtänderung.
Rotationskörper
Die Fläche unter einem Graphen dreht sich um die x-Achse und wird zu einem Körper. Sein Volumen wird mit Scheiben berechnet.
Lernbereich GF-4Exponentialfunktionen (Grundfach)
Die e-Funktion, f(x) = a · eᵏˣ und ihre Ableitung, ln als Umkehrung der e-Funktion sowie Sachaufgaben zu Wachstum und Zerfall.
Die natürliche Exponentialfunktion
Warum ist die Zahl e so besonders? Bei der e-Funktion sind Graph und Ableitung genau gleich.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Umkehrfunktionen: Spiegeln an y = x
Den Graphen an y = x spiegeln, und die Umkehrfunktion ist da. Das klappt nur, wenn kein Funktionswert zweimal vorkommt.
Lernbereich GF-5Lineare Algebra/Analytische Geometrie (Grundfach)
Gemeinsamer Kern: lineare Gleichungssysteme aufstellen und lösen, mit Vektoren rechnen; dann eines der beiden Wahlpflichtgebiete.
GF-5.1Wahlpflichtgebiet A1: Matrizen in praktischen Anwendungen
Matrizen mit Vektoren und miteinander multiplizieren, Potenzen und Inverse, Anwendungen wie Produktionsprozesse und Übergänge; exemplarisch Matrizen als geometrische Abbildungen.
Matrizen als lineare Abbildungen
Zwei Pfeile bestimmen alles: Wohin sie zeigen, dorthin dreht, streckt oder spiegelt die Matrix das ganze Gitter.
GF-5.2Wahlpflichtgebiet A2: Geraden und Ebenen im Raum
Linearkombination, Geraden und Ebenen in Parameterform, ihre gegenseitige Lage, Zeichnen im Koordinatensystem, Skalarprodukt und Normalengleichung der Ebene.
Punkte und Körper im räumlichen Koordinatensystem
Setze Punkte im räumlichen Koordinatensystem, drehe die Ansicht und berechne Abstände mit dem Satz des Pythagoras.
Vektoren addieren und vervielfachen (3D)
Ziehe Vektorpfeile im Raum, addiere sie und vervielfache sie. Die Rechnung steht daneben in Spaltenschreibweise.
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Das Skalarprodukt verrät den Winkel zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor und eine Fläche.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
Lernbereich GF-6Stochastik 1 (Grundfach)
Wahrscheinlichkeiten bestimmen und deuten, Pfadregeln und Unabhängigkeit, Zufallsexperimente mit Zufallszahlen simulieren, Bernoullikette und Binomialverteilung mit Erwartungswert und Standardabweichung.
Vierfeldertafel und Mengendiagramm
Vierfeldertafel, Mengendiagramm und Baumdiagramm zeigen dieselben Daten und hängen zusammen. Wer eins verändert, sieht die anderen mitlaufen.
Bedingte Wahrscheinlichkeit am Beispiel medizinischer Tests
Ein medizinischer Test ist positiv, aber wie wahrscheinlich ist man wirklich krank? 1000 Personen zeigen, warum die Antwort oft überrascht.
Geburtstagsproblem simulieren
Wie wahrscheinlich ist es, dass zwei in der Klasse am selben Tag Geburtstag haben? Schon ab 23 Personen ist es wahrscheinlicher als nicht.
Galtonbrett
An jedem Nagel links oder rechts, rein zufällig. Trotzdem türmen sich die Kugeln jedes Mal zur selben Glockenform auf.
Binomialverteilung
Das Histogramm der Binomialverteilung: Wähle einen Bereich und lies die Wahrscheinlichkeit direkt ab.
Lernbereich GF-7Stochastik 2 (Grundfach)
Beurteilende Statistik in einem der beiden Wahlpflichtgebiete: Konfidenzintervalle oder Hypothesentests.
GF-7.1Wahlpflichtgebiet B1: Schätzen von Wahrscheinlichkeiten
Binomialwahrscheinlichkeiten mit der Standard-Normalverteilung annähern, Konfidenzintervalle für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit bestimmen und ihre Länge mit dem Stichprobenumfang vergleichen.
Binomialverteilung
Das Histogramm der Binomialverteilung: Wähle einen Bereich und lies die Wahrscheinlichkeit direkt ab.
Normalverteilung
Wie viele Flaschen sind zu leicht befüllt? Unter der Glockenkurve ist jede Wahrscheinlichkeit eine Fläche, mit den Sigma-Regeln als Faustregel.
GF-7.2Wahlpflichtgebiet B2: Testen von Hypothesen
Das Vorgehen beim Hypothesentest verstehen, Fehlentscheidungen und ihre Wahrscheinlichkeiten bestimmen und einen Test zu einem Sachproblem entwerfen.
Einseitiger Signifikanztest: Fehler 1. und 2. Art
Ein Test entscheidet zwischen zwei Vermutungen. Farbige Flächen zeigen, wie oft er sich irren kann.
Lernbereich LF-1Grenzwerte (Leistungsfach)
Folgen und Funktionen auf Monotonie und Beschränktheit untersuchen, Grenzwerte für x → ±∞ und x → x₀, Stetigkeit, Grenzwertsätze beweisen und anwenden.
Grenzverhalten und Asymptoten
Was passiert mit einem Graphen, wenn x sehr groß wird? Ein Punkt läuft nach außen, und eine Lupe zeigt, wie nah er der Asymptote kommt.
Polstellen und Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen
Nullstelle oder Polstelle, Lücke oder Sprung ins Unendliche? Zieht man am Bruchterm, verrät der Graph den Unterschied.
Lernbereich LF-2Differentialrechnung (Leistungsfach)
Wie im Grundfach, zusätzlich Differenzierbarkeit, Beweise von Ableitungsregeln und Kriterien, Ableitungsgraph in beide Richtungen und ein Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung.
Von der Sekante zur Tangente
Lass einen Punkt Q auf P zulaufen: Aus der Sekante wird die Tangente und aus der mittleren Steigung die Ableitung.
Ableitungsfunktion grafisch
Eine Tangente gleitet am Graphen entlang und zeichnet dabei die Steigung als neuen Graphen: die Ableitungsfunktion.
Monotonie, Extrem- und Wendestellen
Untersuche einen Graphen Schritt für Schritt: Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und wo er steigt oder fällt.
Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Vielfachheit und Randverhalten
Schneidet der Graph die x-Achse oder berührt er sie nur? Die Vielfachheit der Nullstelle entscheidet, der höchste Exponent das Verhalten weit draußen.
Parabel durch drei Punkte
Ziehe drei Punkte, und die passende Parabel geht immer durch alle drei. Die Gleichung wird Schritt für Schritt berechnet.
Funktionenscharen
Ein Parameter, unendlich viele Graphen. Wohin wandern die Hochpunkte, wenn k wächst? Auf einer eigenen Kurve, der Ortskurve.
Extremwertprobleme
Welche Schachtel fasst am meisten, welche Dose braucht am wenigsten Blech? An fünf Alltagsproblemen findest du mit der Ableitung das Optimum.
Newton-Verfahren
Finde eine Nullstelle näherungsweise mit Tangenten. Jeder Schritt bringt dich näher, aber manchmal geht es auch schief.
Funktionsplotter mit eigenen Termen
Bis zu drei eigene Funktionen gleichzeitig, mit Wertetabelle, Nullstellen und Schnittpunkten. Das Werkzeug für alles, was ein Graph sein kann.
Lernbereich LF-3Integralrechnung (Leistungsfach)
Rechtecksummen und eine Definition des Integrals, Integralfunktion und Stammfunktion, Hauptsatz mit Beweis, ein numerisches Verfahren und Sachaufgaben bis zu Rotationskörpern.
Integral als Flächenbilanz (Rechtecksummen)
Fülle die Fläche unter einem Graphen mit Rechtecken. Je mehr Rechtecke, desto genauer wird der Wert des Integrals.
Integralfunktion und Hauptsatz
Die Fläche unter einem Graphen wächst mit. Ihre Änderungsrate ist genau die Funktion selbst: Das ist der Hauptsatz.
Vom Graphen zur Stammfunktion
Die Höhe eines Graphen wird zur Steigung eines neuen: Wer Kontostände kennt, versteht die Stammfunktion schneller als gedacht.
Integral als Gesamtänderung: von der Geschwindigkeit zum Weg
Aus der Geschwindigkeit eines Autos wird der zurückgelegte Weg: Die Fläche unter der Kurve zeigt die Gesamtänderung.
Rotationskörper
Die Fläche unter einem Graphen dreht sich um die x-Achse und wird zu einem Körper. Sein Volumen wird mit Scheiben berechnet.
Lernbereich LF-4Weiterführung der Differential- und Integralrechnung (Leistungsfach)
Produkt-, Quotienten- und Kettenregel, gebrochen-rationale Funktionen, Ableitung von Sinus, Kosinus und Tangens, e-Funktion und ln, Substitution und partielle Integration sowie Beispiele für Differentialgleichungen.
Polstellen und Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen
Nullstelle oder Polstelle, Lücke oder Sprung ins Unendliche? Zieht man am Bruchterm, verrät der Graph den Unterschied.
Die natürliche Exponentialfunktion
Warum ist die Zahl e so besonders? Bei der e-Funktion sind Graph und Ableitung genau gleich.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Umkehrfunktionen: Spiegeln an y = x
Den Graphen an y = x spiegeln, und die Umkehrfunktion ist da. Das klappt nur, wenn kein Funktionswert zweimal vorkommt.
Lernbereich LF-5Lineare Algebra/Analytische Geometrie (Leistungsfach)
Gemeinsamer Kern: Gleichungssysteme mit Gauß-Verfahren, Vektoralgebra mit linearer Abhängigkeit und Skalarprodukt; dann eines der beiden Wahlpflichtgebiete.
LF-5.1Wahlpflichtgebiet A1: Vektoren und Matrizen
Vektoralgebra und Skalarprodukt, Matrizenoperationen, affine Abbildungen mit Fixelementen und Invarianten, Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen sowie nichtgeometrische Anwendungen von Matrizen.
Vektoren addieren und vervielfachen (3D)
Ziehe Vektorpfeile im Raum, addiere sie und vervielfache sie. Die Rechnung steht daneben in Spaltenschreibweise.
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Das Skalarprodukt verrät den Winkel zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor und eine Fläche.
Matrizen als lineare Abbildungen
Zwei Pfeile bestimmen alles: Wohin sie zeigen, dorthin dreht, streckt oder spiegelt die Matrix das ganze Gitter.
LF-5.2Wahlpflichtgebiet A2: Geraden und Ebenen im Raum
Geraden und Ebenen in Parameter- und Normalenform, Lagebeziehungen mit Begründung, Hessesche Normalenform, Winkel und Abstände, Kreis- und Kugelgleichung sowie Vektorprodukt.
Punkte und Körper im räumlichen Koordinatensystem
Setze Punkte im räumlichen Koordinatensystem, drehe die Ansicht und berechne Abstände mit dem Satz des Pythagoras.
Vektoren addieren und vervielfachen (3D)
Ziehe Vektorpfeile im Raum, addiere sie und vervielfache sie. Die Rechnung steht daneben in Spaltenschreibweise.
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Das Skalarprodukt verrät den Winkel zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor und eine Fläche.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
Kugeln, Geraden und Ebenen
Eine Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis, berührt sie in einem Punkt oder verfehlt sie ganz. Kugelgleichung und Tangentialebene inklusive.
Lernbereich LF-6Stochastik (Leistungsfach)
Rechenregeln und Simulationen, bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit, Zufallsgrößen mit Erwartungswert und Streuung, Binomialverteilung, Näherung durch die Normalverteilung, Konfidenzintervalle und Hypothesentests.
Vierfeldertafel und Mengendiagramm
Vierfeldertafel, Mengendiagramm und Baumdiagramm zeigen dieselben Daten und hängen zusammen. Wer eins verändert, sieht die anderen mitlaufen.
Bedingte Wahrscheinlichkeit am Beispiel medizinischer Tests
Ein medizinischer Test ist positiv, aber wie wahrscheinlich ist man wirklich krank? 1000 Personen zeigen, warum die Antwort oft überrascht.
Ziegenproblem
Spiele selbst oder simuliere tausende Spiele: Lohnt es sich, die Tür zu wechseln?
Geburtstagsproblem simulieren
Wie wahrscheinlich ist es, dass zwei in der Klasse am selben Tag Geburtstag haben? Schon ab 23 Personen ist es wahrscheinlicher als nicht.
Galtonbrett
An jedem Nagel links oder rechts, rein zufällig. Trotzdem türmen sich die Kugeln jedes Mal zur selben Glockenform auf.
Binomialverteilung
Das Histogramm der Binomialverteilung: Wähle einen Bereich und lies die Wahrscheinlichkeit direkt ab.
Normalverteilung
Wie viele Flaschen sind zu leicht befüllt? Unter der Glockenkurve ist jede Wahrscheinlichkeit eine Fläche, mit den Sigma-Regeln als Faustregel.
Einseitiger Signifikanztest: Fehler 1. und 2. Art
Ein Test entscheidet zwischen zwei Vermutungen. Farbige Flächen zeigen, wie oft er sich irren kann.
Die Kurzbeschreibungen fassen den Lehrplan in eigenen Worten zusammen. Verbindlich ist der Originaltext. Originaltext: Rahmenlehrplan und Lehrplan, Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 11–13