Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Vielfachheit und Randverhalten

Worum geht es?

Eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion), die in Linearfaktoren zerfällt, lässt sich so schreiben:

f(x) = a \cdot (x - x_1)^{m_1} \cdot (x - x_2)^{m_2} \cdot (x - x_3)^{m_3}

Dabei sind $x_1, x_2, x_3$ die Nullstellen, $m_1, m_2, m_3$ ihre Vielfachheiten und $a \neq 0$ der Leitkoeffizient. Der Grad ist $n = m_1 + m_2 + m_3$ . Fallen zwei Nullstellen zusammen, addieren sich ihre Vielfachheiten: $(x - 1) \cdot (x - 1)^2 = (x - 1)^3$ . Multipliziert man aus, entsteht die Normalform, zum Beispiel

0{,}5 \cdot (x + 2)(x - 0{,}5)(x - 3) = 0{,}5x^3 - 0{,}75x^2 - 2{,}75x + 1{,}5 .

Der y-Achsenabschnitt ist das Absolutglied: $f(0) = 0{,}5 \cdot 2 \cdot (-0{,}5) \cdot (-3) = 1{,}5$ .

Vielfachheit $m$	Graph an der Nullstelle	Vorzeichenwechsel?	nahe $x_0$ wie …
1 (einfach)	schneidet die $x$ -Achse	ja	eine Gerade
2 (doppelt)	berührt die $x$ -Achse	nein	eine Parabel
3 (dreifach)	schmiegt sich an und schneidet (Terrassenpunkt)	ja	eine kubische Parabel
4 (vierfach)	berührt, sehr flach	nein	$x^4$

Der Grund steht in der letzten Spalte: Nahe einer Nullstelle $x_0$ ändern sich die übrigen Faktoren kaum. Dort gilt $f(x) \approx c \cdot (x - x_0)^m$ , wobei $c$ das Produkt aus $a$ und den übrigen Faktoren an der Stelle $x_0$ ist. Für $f(x) = 0{,}2 \cdot (x + 3) \cdot x^2 \cdot (x - 3)$ ist nahe $0$ also $c = 0{,}2 \cdot 3 \cdot (-3) = -1{,}8$ und $f(x) \approx -1{,}8x^2$ : eine nach unten geöffnete Parabel.

In der Vorzeichentabelle bekommt jeder Faktor eine Zeile: $(x - x_0)^m$ ist rechts von $x_0$ positiv, links davon $(-1)^m$ , also bei ungeradem $m$ negativ. Das Vorzeichen von $f$ ist das Produkt der Spalte (mit dem Vorzeichen von $a$ ).

Randverhalten: Klammert man $x^n$ aus, gilt $\frac{f(x)}{a \cdot x^n} = \left(1 - \frac{x_1}{x}\right)^{m_1} \cdots \to 1$ für $|x| \to \infty$ . Für große $|x|$ zählt also nur der Summand $a x^n$ . Im Beispiel oben ist bei $x = 100$ schon $\frac{f(100)}{0{,}5 \cdot 100^3} = 1{,}02 \cdot 0{,}995 \cdot 0{,}97 \approx 0{,}984$ . Für $x \to +\infty$ hat $f(x)$ das Vorzeichen von $a$ ; bei geradem $n$ verhalten sich beide Enden gleich, bei ungeradem $n$ gegensätzlich.

Ausprobieren

Drei einfache Nullstellen: Ziehe die Perlen auf der $x$ -Achse. Tippe eine Perle an – jeder Ring steht für eine Vielfachheit mehr. Wie ändern sich Graph, Term und Vorzeichentabelle?
Vergleiche eine doppelte, eine dreifache und eine vierfache Nullstelle. Wann wechselt das Vorzeichen?
Schiebe zwei Perlen aufeinander, bis sie verschmelzen. Was passiert mit den Ringen und mit dem Term? Alle drei fallen zusammen: Welche Funktion entsteht?
Ziehe den Griff für $a$ auf dem Graphen nach oben und nach unten, auch unter die $x$ -Achse. Welche Pfeile des Randverhaltens drehen sich um? a negativ
Lupe einschalten: Zeige mit der Maus nacheinander auf die Perlen (auf dem Tablet: eine Perle kurz verschieben). Wie sieht der Graph in der Lupe jeweils aus? Vergleiche mit den gestrichelten Näherungen.
Drücke „Blick aus der Ferne“. Die Ansicht zoomt 20-fach heraus. Warum sind $f$ und die gestrichelte Kurve $a x^n$ kaum noch zu unterscheiden?
Grad 9 und Grad 12: Lies an der Vorzeichentabelle ab, wo $f$ negativ ist.

Aufgaben

Aufgabe 1: Eigenschaften ablesen

Gegeben ist $f(x) = -0{,}4 \cdot (x + 3)(x + 0{,}5)(x - 2{,}5)$ . Gib Grad, Nullstellen, Randverhalten und $f(0)$ an. Aufgabe laden

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Grad 3, einfache Nullstellen $-3$ , $-0{,}5$ und $2{,}5$ (jeweils mit Vorzeichenwechsel). Wegen $a < 0$ und ungeradem Grad: $x \to -\infty$ : $f(x) \to +\infty$ ; $x \to +\infty$ : $f(x) \to -\infty$ . $f(0) = -0{,}4 \cdot 3 \cdot 0{,}5 \cdot (-2{,}5) = 1{,}5$ . Lösung zeigen

Aufgabe 2: Welcher Term passt?

Ein Graph dritten Grades berührt die $x$ -Achse bei $x = -2$ , schneidet sie bei $x = 2$ und geht durch den Punkt $(1 \mid -4{,}5)$ . Bestimme den Term in Linearfaktorform und in Normalform. Aufgabe laden

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Berührpunkt: doppelte Nullstelle, Schnittpunkt: einfache Nullstelle, also $f(x) = a \cdot (x + 2)^2 (x - 2)$ . Punktprobe: $f(1) = a \cdot 9 \cdot (-1) = -4{,}5$ , also $a = 0{,}5$ . Ausmultipliziert: $(x + 2)^2 (x - 2) = (x^2 + 4x + 4)(x - 2) = x^3 + 2x^2 - 4x - 8$ , also $f(x) = 0{,}5x^3 + x^2 - 2x - 4$ . Lösung zeigen

Aufgabe 3: Ausmultiplizieren

Multipliziere $f(x) = 0{,}3 \cdot (x - 1)^3 (x + 3)$ aus. Prüfe mit „Ausmultiplizieren Schritt für Schritt“.

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$(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ ; mal $(x + 3)$ : $x^4 - 6x^2 + 8x - 3$ ; mal $0{,}3$ : $f(x) = 0{,}3x^4 - 1{,}8x^2 + 2{,}4x - 0{,}9$ . Zeigen

Aufgabe 4: Vorzeichentabelle

Erstelle für $f(x) = 0{,}2 \cdot (x + 3) \cdot x^2 \cdot (x - 3)$ eine Vorzeichentabelle mit einer Zeile pro Faktor. Wo ist $f(x) < 0$ ? Berechne $f(1)$ und gib das Randverhalten an. Aufgabe laden

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	$x < -3$	$-3 < x < 0$	$0 < x < 3$	$x > 3$
$x + 3$	$-$	$+$	$+$	$+$
$x^2$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x - 3$	$-$	$-$	$-$	$+$
$f(x)$	$+$	$-$	$-$	$+$

Also $f(x) < 0$ für $-3 < x < 0$ und für $0 < x < 3$ ; bei $0$ kein Vorzeichenwechsel (doppelte Nullstelle). $f(1) = 0{,}2 \cdot 4 \cdot 1 \cdot (-2) = -1{,}6$ . Normalform $0{,}2x^4 - 1{,}8x^2$ : Grad 4 gerade, $a > 0$ , also $f(x) \to +\infty$ für $x \to \pm\infty$ . Zeigen

Aufgabe 5: Lupe an der doppelten Nullstelle

Begründe für die Funktion aus Aufgabe 4, dass sich der Graph nahe $x = 0$ wie die Parabel $y = -1{,}8x^2$ verhält. Vergleiche $f(0{,}1)$ mit $-1{,}8 \cdot 0{,}1^2$ .

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Nahe $0$ ist $(x + 3)(x - 3) \approx 3 \cdot (-3) = -9$ , also $f(x) \approx 0{,}2 \cdot (-9) \cdot x^2 = -1{,}8x^2$ . Genau: $f(0{,}1) = 0{,}2 \cdot 3{,}1 \cdot 0{,}01 \cdot (-2{,}9) = -0{,}01798$ , die Näherung liefert $-0{,}018$ . Lupe zeigen

Aufgabe 6: Wahr oder falsch?

a) „Eine ganzrationale Funktion vom Grad 4 hat vier Nullstellen.“ b) „Wenn $a > 0$ ist, gilt $f(x) \to +\infty$ für $x \to -\infty$ .“

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a) Falsch: höchstens vier. $f(x) = 0{,}5 \cdot (x - 1)^4$ hat nur die Nullstelle $1$ (vierfach), $x^4 + 1$ hat gar keine. Beispiel b) Nur bei geradem Grad. Bei ungeradem Grad und $a > 0$ gilt $f(x) \to -\infty$ für $x \to -\infty$ .

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 10, ganzrationale Funktionen (Nullstellen mit Vielfachheit, Randverhalten); in der Oberstufe zur Wiederholung vor der Kurvendiskussion. Ob Vorzeichentabellen mit einer Zeile pro Faktor dort üblich sind, bitte am Lehrplan und im eingeführten Schulbuch prüfen.
Term erraten: Mit „Term und Eigenschaften zeigen“ aus erscheint nur der Graph. Paare können sich gegenseitig Graphen einstellen und den Term bestimmen lassen; „Term aufdecken“ löst auf.
Von der Lupe zur Fernsicht: Die Lupe zeigt, warum der Graph an einer Nullstelle schneidet oder berührt (er verhält sich dort wie eine Potenz $c \cdot (x - x_0)^m$ ), der Blick aus der Ferne, warum nur $a x^n$ das Randverhalten bestimmt. Beides lässt sich gut nacheinander besprechen.
Modell: Nullstellen auf halben Einheiten zwischen $-4$ und $4$ , Vielfachheiten bis 4. Gezeigt werden nur Funktionen, die vollständig in Linearfaktoren zerfallen; Funktionen wie $x^2 + 1$ kommen nicht vor.
Häufige Stolpersteine:
- Vorzeichen in der Klammer: Die Nullstelle von $(x + 2)$ ist $-2$ .
- „Der Graph schneidet an jeder Nullstelle die Achse.“ – Bei gerader Vielfachheit berührt er sie nur.
- Beim Randverhalten wird nur auf $a$ geachtet und der Grad vergessen (oder umgekehrt).
- Beim Ausmultiplizieren wird $a$ nur mit dem ersten Faktor multipliziert.