Integral als Flächenbilanz (Rechtecksummen)
Fülle die Fläche unter einem Graphen mit Rechtecken. Je mehr Rechtecke, desto genauer wird der Wert des Integrals.
Mathematik – Jahrgangsstufe 12
Qualifikationsphase Q1 „Analysis“ und Q2 „Analytische Geometrie, Lineare Algebra und Vertiefung der Analysis“. Verbindlich sind Q1.1–Q1.3 und Q2.1–Q2.3. Die Zuordnung zu Jahrgangsstufe 12 ist eine Annahme (G9). „Nur LK“ kennzeichnet das erhöhte Niveau.
Lernbereich Q1.1Einführung in die Integralrechnung
Verbindliches Themenfeld. Das Integral als rekonstruierter Bestand und als orientierter Flächeninhalt, Rechtecksummen, Hauptsatz und erste Integrationsregeln.
Q1.1.1Bedeutung des Integrals als Bestandsgröße und als orientierter Flächeninhalt
Aus Änderungsrate und Anfangswert den Bestand rekonstruieren; Integral als Produktsumme.
Integral als Gesamtänderung: von der Geschwindigkeit zum Weg
Aus der Geschwindigkeit eines Autos wird der zurückgelegte Weg: Die Fläche unter der Kurve zeigt die Gesamtänderung.
Q1.1.2Flächen unter einem Funktionsgraphen
Flächen mit Ober- und Untersummen annähern und per Grenzwert zum bestimmten Integral übergehen.
Integral als Flächenbilanz (Rechtecksummen)
Fülle die Fläche unter einem Graphen mit Rechtecken. Je mehr Rechtecke, desto genauer wird der Wert des Integrals.
Q1.1.3Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
Zusammenhang von Ableiten und Integrieren anschaulich begründen; Funktion und Stammfunktion grafisch.
Integralfunktion und Hauptsatz
Die Fläche unter einem Graphen wächst mit. Ihre Änderungsrate ist genau die Funktion selbst: Das ist der Hauptsatz.
Vom Graphen zur Stammfunktion
Die Höhe eines Graphen wird zur Steigung eines neuen: Wer Kontostände kennt, versteht die Stammfunktion schneller als gedacht.
Q1.1.4Entwickeln der Integrationsregeln mithilfe der Ableitungsregeln
Stammfunktionen von Potenzen, eˣ, sin x und cos x; Faktor- und Summenregel.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q1.1.5Integrieren von e^(ax+b), sin[b·(x − c)], cos[b·(x − c)]
Stammfunktionen von linear verketteten Funktionen bestimmen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q1.1.6Integrieren von (ax + b)^r mit r ∈ ℚ \ {−1}, Integrieren von g(x) = f′(x)·e^f(x) (nur LK)
Weitere Stammfunktionen über die Umkehrung der Kettenregel.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich Q1.2Anwendungen der Integralrechnung
Verbindliches Themenfeld. Flächeninhalte zwischen Graphen, Bestände und Mittelwerte in Sachkontexten; im LK zusätzlich Rotationskörper und uneigentliche Integrale.
Q1.2.1Flächeninhaltsberechnung
Flächen zwischen Graphen und Achsenparallelen berechnen, auch rückwärts (Grenze oder Parameter gesucht).
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q1.2.2Anwenden des Integrals für Berechnungen in Sachzusammenhängen
Rekonstruierter Bestand, mittlerer Bestand und mittlere Änderungsrate.
Integral als Gesamtänderung: von der Geschwindigkeit zum Weg
Aus der Geschwindigkeit eines Autos wird der zurückgelegte Weg: Die Fläche unter der Kurve zeigt die Gesamtänderung.
Q1.2.3Argumentieren und Begründen anhand von Integral-Termen
Integralausdrücke im Sachzusammenhang deuten und Aussagen begründen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q1.2.4Rotationskörper (nur LK)
Volumenformel begründen und Volumina von Rotationskörpern um die x-Achse berechnen.
Rotationskörper
Die Fläche unter einem Graphen dreht sich um die x-Achse und wird zu einem Körper. Sein Volumen wird mit Scheiben berechnet.
Q1.2.5Uneigentliche Integrale (nur LK)
Unendlich ausgedehnte Flächen auf endlichen Inhalt untersuchen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich Q1.3Vertiefung der Differenzial- und Integralrechnung
Verbindliches Themenfeld. Sicherer Umgang mit den Inhalten der Einführungsphase, verknüpfte Exponentialfunktionen und Wachstumsmodelle; im LK Funktionen mit Parametern und logistisches Wachstum.
Q1.3.1Verständiges Umgehen mit den in der Einführungsphase erarbeiteten Inhalten
Funktionen, Ableitung und Ableitungsregeln vernetzt anwenden.
Monotonie, Extrem- und Wendestellen
Untersuche einen Graphen Schritt für Schritt: Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und wo er steigt oder fällt.
Q1.3.2Untersuchen von Exponentialfunktionen, die mit ganzrationalen Funktionen verknüpft sind
Summen, Produkte und Verkettungen aus e-Funktion und Polynomen untersuchen, auch im Sachkontext.
Die natürliche Exponentialfunktion
Warum ist die Zahl e so besonders? Bei der e-Funktion sind Graph und Ableitung genau gleich.
Q1.3.3Wachstums- und Zerfallsprozesse
Exponentielles und begrenztes Wachstum mit Messdaten modellieren; Exponentialgleichungen lösen.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Q1.3.4Untersuchung von Funktionen mit Parametern, bei denen Exponentialfunktionen mit ganzrationalen Funktionen verknüpft sind, sowie von Kettenlinien und Glockenkurven (nur LK)
Einfluss von Parametern auf verknüpfte Exponentialfunktionen untersuchen.
Funktionenscharen
Ein Parameter, unendlich viele Graphen. Wohin wandern die Hochpunkte, wenn k wächst? Auf einer eigenen Kurve, der Ortskurve.
Q1.3.5Logistisches Wachstum (nur LK)
Logistische Wachstumsmodelle anwenden (ohne Herleitung aus der Differenzialgleichung).
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich Q1.4Integrationsmethoden
Nicht verbindliches Themenfeld. Weitere Verfahren zum Finden von Stammfunktionen.
Q1.4.1Ermitteln einer Stammfunktion durch Formansatz mit Koeffizientenvergleich
Stammfunktion mit passendem Ansatz und Koeffizientenvergleich bestimmen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q1.4.2Partielle Integration (nur LK)
Produktintegrale mit partieller Integration lösen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q1.4.3Integration durch Substitution (nur LK)
Integrale durch Substitution vereinfachen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich Q1.5Gewöhnliche Differenzialgleichungen
Nicht verbindliches Themenfeld. Wachstumsmodelle mit Differenzialgleichungen beschreiben und Gleichungen erster Ordnung lösen.
Q1.5.1Beschreiben und Entwickeln von Modellen für Wachstums- und Zerfallsprozesse mithilfe von Differenzialgleichungen
Wachstumsannahmen in Differenzialgleichungen übersetzen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q1.5.2Lösungsverfahren für Differenzialgleichungen erster Ordnung
Richtungsfelder, Trennung der Variablen und weitere elementare Methoden.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q1.5.3Untersuchen von Differenzialgleichungen zweiter Ordnung (nur LK)
Differenzialgleichungen zweiter Ordnung, etwa bei periodischen Vorgängen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich Q2.1Vertiefung der Analysis
Verbindliches Themenfeld. Weitere Funktionsklassen (einfache gebrochen-rationale und Wurzelfunktionen), Transformationen von Graphen und Umkehrfunktionen; im LK die ln-Funktion und Verkettungen.
Q2.1.1Einfache gebrochen rationale und einfache Wurzelfunktionen
Eigenschaften und Ableitungen von f(x) = 1/xⁿ und f(x) = √x.
Polstellen und Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen
Nullstelle oder Polstelle, Lücke oder Sprung ins Unendliche? Zieht man am Bruchterm, verrät der Graph den Unterschied.
Grenzverhalten und Asymptoten
Was passiert mit einem Graphen, wenn x sehr groß wird? Ein Punkt läuft nach außen, und eine Lupe zeigt, wie nah er der Asymptote kommt.
Q2.1.2Verschiebung und Streckung
Graphen verschieben, strecken und spiegeln; g(x) = a·f(b·(x − c)) + d deuten.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q2.1.3Umkehrfunktion
Umkehrfunktion aufstellen und als Spiegelung an y = x deuten; Definitions- und Wertemenge.
Umkehrfunktionen: Spiegeln an y = x
Den Graphen an y = x spiegeln, und die Umkehrfunktion ist da. Das klappt nur, wenn kein Funktionswert zweimal vorkommt.
Q2.1.4Die natürliche Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) (nur LK)
Ln als Umkehrfunktion der e-Funktion beschreiben und transformieren.
Umkehrfunktionen: Spiegeln an y = x
Den Graphen an y = x spiegeln, und die Umkehrfunktion ist da. Das klappt nur, wenn kein Funktionswert zweimal vorkommt.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Q2.1.5Die natürliche Logarithmusfunktion als Stammfunktion von 1/x (nur LK)
Ln(x) als Stammfunktion von 1/x nutzen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q2.1.6Verknüpfen und Verketten von Funktionen (nur LK)
Eigenschaften von Summen, Produkten und Verkettungen anhand der Graphen begründen.
Funktionsplotter mit eigenen Termen
Bis zu drei eigene Funktionen gleichzeitig, mit Wertetabelle, Nullstellen und Schnittpunkten. Das Werkzeug für alles, was ein Graph sein kann.
Lernbereich Q2.2Orientieren und Bewegen im Raum
Verbindliches Themenfeld. Räumliches Koordinatensystem, Vektoren, Skalarprodukt und Winkel sowie Untersuchung einfacher Körper und Figuren im Raum.
Q2.2.1Räumliche Koordinatensysteme
Punkte und Körper im 3D-Koordinatensystem darstellen, auch mit Software.
Punkte und Körper im räumlichen Koordinatensystem
Setze Punkte im räumlichen Koordinatensystem, drehe die Ansicht und berechne Abstände mit dem Satz des Pythagoras.
Q2.2.2Vektoren
Verschiebungen als Vektoren, Rechnen mit Vektoren, Kollinearität, Betrag und Abstand.
Vektoren addieren und vervielfachen (3D)
Ziehe Vektorpfeile im Raum, addiere sie und vervielfache sie. Die Rechnung steht daneben in Spaltenschreibweise.
Q2.2.3Winkel
Skalarprodukt, Orthogonalität und Winkel zwischen Vektoren.
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Das Skalarprodukt verrät den Winkel zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor und eine Fläche.
Q2.2.4Einfache geometrische Körper und Figuren im Raum
Würfel, Prismen, Pyramiden und ebene Figuren im Raum untersuchen und berechnen.
Punkte und Körper im räumlichen Koordinatensystem
Setze Punkte im räumlichen Koordinatensystem, drehe die Ansicht und berechne Abstände mit dem Satz des Pythagoras.
Lernbereich Q2.3Geraden und Ebenen im Raum
Verbindliches Themenfeld. Lineare Gleichungssysteme, Geraden und Ebenen in verschiedenen Darstellungen, Lagebeziehungen, Winkel, Abstände und Anwendungen wie Schattenwurf.
Q2.3.1Systematisches Lösen von linearen Gleichungssystemen (auch über- und unterbestimmte)
Gleichungssysteme algorithmisch lösen und Lösungsmengen geometrisch deuten.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q2.3.2Parameterdarstellungen
Geraden und Strecken mit Parametergleichungen, Punktprobe und Spurpunkte.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
Q2.3.3Lagebeziehung von Geraden
Schneiden, parallel, identisch oder windschief; Schnittpunkt und Schnittwinkel.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
Q2.3.4Anwendung auf geradlinige Bewegungen
Bewegungen mit Geraden beschreiben; Richtungsvektor als Geschwindigkeit.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
Q2.3.5Ebenen in verschiedenen Darstellungsformen
Parameter- und Koordinatenform, Normalenvektor.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
Q2.3.6Darstellen von Ebenen und von begrenzten Flächen (insbesondere Dreieck, Parallelogramm) im Raum mit Parametergleichung
Punktprobe und Spurpunkte von Ebenen.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
Q2.3.7Umwandeln der verschiedenen Darstellungsformen einer Ebene ineinander
Formen umwandeln; Lage von Gerade und Ebene und Durchstoßpunkte bestimmen.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
Q2.3.8Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene sowie zwischen Ebene und Ebene
Schnittwinkel mithilfe von Richtungs- und Normalenvektoren.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q2.3.9Untersuchung von Winkeln (insbesondere auf Orthogonalität und Parallelität) sowie von den genannten Lagebeziehungen jeweils in Abhängigkeit von einem (zusätzlichen) Parameter
Lage und Winkel abhängig von einem Parameter untersuchen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q2.3.10Spiegelung und orthogonale Projektion
Punkt an Ebene spiegeln; Lotfußpunktverfahren für den Abstand Punkt–Ebene.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
Q2.3.11Anwendung in Sachzusammenhängen
Schattenwürfe, Projektionen auf Koordinatenebenen und Flächenberechnungen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q2.3.12Normalenform einer Ebene (nur LK)
Ebenen über Normalenvektor und Aufpunkt beschreiben.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
Q2.3.13Weitere Lagebeziehungen und Abstandsbestimmungen (nur LK)
Lage zweier Ebenen, Schnittgeraden, Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen, allgemeine Spiegelungen.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
Q2.3.14Vektorprodukt (nur LK)
Vektorprodukt für Normalenvektoren und Flächeninhalte nutzen.
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Das Skalarprodukt verrät den Winkel zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor und eine Fläche.
Q2.3.15Geradenscharen (nur LK)
Geraden mit Parameter untersuchen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q2.3.16Ebenenscharen, insbesondere in der Darstellung durch eine Koordinatengleichung (nur LK)
Ebenen mit Parameter untersuchen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q2.3.17Darstellung von Parabelbahnen mithilfe von Parametern (nur LK)
Flugbahnen (z. B. eines Balls) parametrisch beschreiben.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich Q2.4Matrizen zur Beschreibung von Übergangsprozessen
Nicht verbindliches Themenfeld. Übergangsprozesse mit Graphen, Zustandsvektoren und Übergangsmatrizen modellieren, Matrizenrechnung und Markov-Ketten.
Q2.4.1Beschreiben von Übergangsprozessen mithilfe von Zustands- beziehungsweise Übergangsgraphen, Zustandsvektoren und Übergangsmatrizen
Z. B. Populationen, Wählerwanderung oder Kundenströme modellieren.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q2.4.2Rechnen mit Matrizen
Skalar-, Matrix-Vektor- und Matrixmultiplikation, Addition, einfache Inverse.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q2.4.3Markov-Ketten
Zustände schrittweise (auch rückwärts) berechnen und stabile Zustände über Fixvektoren finden.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q2.4.4Bestimmen und Interpretieren von Matrixeinträgen bei Potenzen von Matrizen
Einträge von M² usw. im Kontext deuten.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q2.4.5Langfristige Entwicklung von Übergangsprozessen (nur LK)
Matrixpotenzen, Grenzprozesse und Grenzmatrizen interpretieren.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich Q2.5Matrizen zur Darstellung linearer geometrischer Abbildungen
Nicht verbindliches Themenfeld. Geometrische Abbildungen wie Spiegelungen, Projektionen und Streckungen mit Matrizen darstellen und verketten.
Q2.5.1Beschreiben von geometrischen Abbildungen mithilfe von Matrizen
Z. B. Schattenwürfe als Abbildung mit einer Matrix beschreiben.
Matrizen als lineare Abbildungen
Zwei Pfeile bestimmen alles: Wohin sie zeigen, dorthin dreht, streckt oder spiegelt die Matrix das ganze Gitter.
Q2.5.2Rechnen mit Matrizen
Matrizen addieren, multiplizieren und einfache Inverse bestimmen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q2.5.3Darstellen linearer geometrischer Abbildungen mit Matrizen
Abbildungsmatrizen für Spiegelungen, Parallelprojektionen, zentrische Streckungen und deren Verkettung.
Matrizen als lineare Abbildungen
Zwei Pfeile bestimmen alles: Wohin sie zeigen, dorthin dreht, streckt oder spiegelt die Matrix das ganze Gitter.
Q2.5.4Darstellen linearer geometrischer Abbildungen im dreidimensionalen euklidischen Raum ℝ³ mit Matrizen (nur LK)
Drehungen um Koordinatenachsen, Projektionen auf beliebige Ursprungsebenen, Fixpunkte.
Matrizen als lineare Abbildungen
Zwei Pfeile bestimmen alles: Wohin sie zeigen, dorthin dreht, streckt oder spiegelt die Matrix das ganze Gitter.
Die Kurzbeschreibungen fassen den Lehrplan in eigenen Worten zusammen. Verbindlich ist der Originaltext. Originaltext: Kerncurriculum, Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 12