Allgemeine Sinusfunktion

Worum geht es?

Mit der allgemeinen Sinusfunktion

f(x) = a \cdot \sin\big(b\,(x - c)\big) + d

lassen sich periodische Vorgänge beschreiben – zum Beispiel Schwingungen, Gezeiten oder die Tageslänge im Jahresverlauf. Jeder Parameter hat eine anschauliche Bedeutung:

Parameter	Bedeutung	Wirkung auf den Graphen
$a$	Amplitude $\lvert a \rvert$	Streckung in y-Richtung; $a < 0$ spiegelt an der Mittellinie
$b$	Periode $p = \frac{2\pi}{b}$	Stauchung ( $b > 1$ ) oder Streckung ( $b < 1$ ) in x-Richtung
$c$	Verschiebung in x-Richtung	um $c$ nach rechts ( $c > 0$ ) bzw. links ( $c < 0$ )
$d$	Verschiebung in y-Richtung	Mittellinie $y = d$

Die Wertemenge ist $W = [\,d - |a|\,;\; d + |a|\,]$ .

Die x-Werte sind im Bogenmaß angegeben: $\pi$ entspricht $180^\circ$ , eine volle Periode des Sinus $2\pi$ entspricht $360^\circ$ .

Achtung, Schreibweise: Manche Bücher schreiben $f(x) = a \cdot \sin(bx + c) + d$ . Dort ist die Verschiebung in x-Richtung nicht $c$ , sondern $-\frac{c}{b}$ .

Der Kosinus ist ein verschobener Sinus: $\cos(x) = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ . Deshalb kann die Simulation beide Grundfunktionen gleich behandeln.

Ausprobieren

Verändere $a$ und $d$ . Beide wirken nur in y-Richtung. Amplitude 3 Mittellinie y = 1
Verändere $b$ . Wird die Periode bei größerem $b$ länger oder kürzer? b = 2 b = 0,5
Verschiebe den Graphen mit $c$ oder ziehe den Punkt $(c \mid d)$ auf der Mittellinie, an dem die Periode beginnt. c = π/4
Ziehe den Hochpunkt (Amplitude) und den hohlen Punkt am Ende der Periode direkt im Koordinatensystem.
Zeige, dass der Kosinus ein verschobener Sinus ist. Sinus um π/2 nach links – vergleiche mit der Kosinusfunktion.

Aufgaben

Aufgabe 1: Parameter ablesen

Aufgabe laden Bestimme Amplitude, Periode, Verschiebungen, Wertemenge und die Funktionsgleichung. Die gestrichelte Kurve ist $y = \sin x$ .

Lösung anzeigen

Mittellinie $y = 1$ , also $d = 1$ . Amplitude 2, also $a = 2$ . Eine volle Periode ist $\pi$ lang, also $b = \frac{2\pi}{\pi} = 2$ . Der Graph startet um $\frac{\pi}{4}$ nach rechts verschoben:

$f(x) = 2 \sin\!\left(2\left(x - \tfrac{\pi}{4}\right)\right) + 1, \qquad W = [-1;\, 3]$

Auch jede um ganze Perioden versetzte Verschiebung passt, z. B. $c = \frac{5\pi}{4}$ . In der Schreibweise $a \cdot \sin(b(x + c)) + d$ ist $c = -\frac{\pi}{4}$ . Unter Anzeige → Werte und Hilfslinien zeigen kannst du dein Ergebnis prüfen.

Aufgabe 2: Periode

Bestimme die Periode von $f(x) = \sin(3x)$ . Wie viele vollständige Schwingungen liegen im Intervall $[0;\, 2\pi]$ ?

Lösung anzeigen

$p = \frac{2\pi}{3}$ . Im Intervall $[0;\,2\pi]$ liegen genau 3 Schwingungen. In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Tageslänge (Modellieren)

In München ist der längste Tag (um den 21. Juni) etwa 16 Stunden lang, der kürzeste (um den 21. Dezember) etwa 8 Stunden 20 Minuten. Beschreibe die Abweichung der Tageslänge von 12 Stunden durch eine Sinusfunktion ( $t$ : Zeit in Monaten ab dem 1. Januar).

Lösung anzeigen

Mittelwert: $\frac{16 + 8{,}33}{2} \approx 12{,}2$ , also Mittellinie $d \approx 0{,}2$ (Abweichung von 12 h).
Amplitude: $a \approx \frac{16 - 8{,}33}{2} \approx 3{,}8$ .
Periode 12 Monate: $b = \frac{2\pi}{12} \approx 0{,}52$ .
Maximum Ende Juni ( $t \approx 5{,}7$ ). Beim Sinus liegt das Maximum eine Viertelperiode (3 Monate) nach $c$ , also $c \approx 2{,}7$ .

$f(t) \approx 3{,}8 \cdot \sin\big(0{,}52\,(t - 2{,}7)\big) + 0{,}2$

Modell in der Simulation zeigen

Ideen für den Unterricht

Reihenfolge: Zuerst die „vertikalen“ Parameter $a$ und $d$ , dann $c$ , zuletzt $b$ – die Wirkung von $b$ ist für viele am wenigsten intuitiv.
Häufige Stolpersteine:
- „Größeres $b$ – längere Periode“: Tatsächlich wird die Periode kürzer.
- Das Vorzeichen von $c$ wird wie bei Parabeln falsch gedeutet.
- Bei $\sin(bx + c)$ wird $c$ direkt als Verschiebung gelesen.
π-Achse: Standardmäßig ist die x-Achse in Vielfachen von $\pi$ beschriftet und $c$ rastet in Schritten von $\frac{\pi}{12}$ ein. Für Modellierungsaufgaben lässt sich das unter Anzeige abschalten; dann ist $c$ dezimal einstellbar.
Aufgabenmodus: Schalten Sie Werte und Hilfslinien zeigen aus. Dann sind Regler, Hilfslinien und Ergebnisse verdeckt, und die Klasse liest die Parameter am Graphen ab. Über Teilen lässt sich ein solcher Zustand als Link weitergeben.
Einstieg: Die Simulation „Einheitskreis“ zeigt, wie die Sinuskurve aus der Kreisbewegung entsteht.
Schreibweise: Manche Lehrpläne und Lehrwerke schreiben $a \cdot \sin(b \cdot (x + c)) + d$ . Unter Anzeige → Schreibweise lässt sich die Simulation darauf umstellen; ein positives $c$ verschiebt dann nach links.