Ganze Zahlen an der Zahlengeraden addieren und subtrahieren
Ein Frosch hüpft über die Null hinaus ins Minus. Thermometer und Kontostand zeigen, warum minus 3 plus 5 genau 2 ergibt.
Mathematik – Jahrgangsstufe 7–9
Jahrgangsstufen 7 bis 9: Die Fachanforderungen fassen die Inhalte der Jahrgänge 7, 8 und 9 zusammen; die Lernbereiche stehen deshalb bei 7, 8 und 9 gleich und werden als eine Stufe gezeigt. Mit * gekennzeichnete Themen können in Klasse 10 vertieft werden. Im achtjährigen Bildungsgang (G8) sind die Inhalte der Jahrgänge 7–10 in 6–9 zu behandeln; abgebildet ist G9. Die Nummern sind von uns vergeben.
Lernbereich 1Zahl und Operation
Ganze und rationale Zahlen, Prozente und Zinsen, Quadratwurzeln, reelle Zahlen und Potenzen.
1.1ganze Zahlen
Betrag und Vorzeichen, ganze Zahlen an der Zahlengeraden ordnen und mit ihnen rechnen.
1.2rationale Zahlen
Zahlbereichserweiterung begründen, mit rationalen Zahlen rechnen und Rechengesetze nutzen.
Ganze Zahlen an der Zahlengeraden addieren und subtrahieren
Ein Frosch hüpft über die Null hinaus ins Minus. Thermometer und Kontostand zeigen, warum minus 3 plus 5 genau 2 ergibt.
Termbaum: die Struktur von Termen
Ein Term, als Baum gezeichnet: Was unten hängt, wird zuerst gerechnet. Punkt vor Strich ist plötzlich keine Regel mehr, sondern sichtbar.
1.3Prozente und Zinsen
Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz, Darstellung mit Prozentstreifen, Kapital, Zinsen und Zinseszins.
Prozentstreifen
Rabatt, Mehrwertsteuer, Umfrage: Auf einem einzigen Streifen liegen Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert übereinander.
1.4Ziehen von Quadratwurzeln als Rechenoperation
Quadrat- und Kubikwurzeln mit dem Taschenrechner und im Kopf bestimmen.
Quadratwurzeln und das Heron-Verfahren
Aus einem Rechteck wird Schritt für Schritt ein Quadrat mit derselben Fläche. Das Verfahren ist fast 2000 Jahre alt und landet erstaunlich schnell bei √2.
1.5reelle Zahlen
Irrationale Zahlen als nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahlen, Näherungsverfahren wie Intervallschachtelung und Heron-Verfahren.
Quadratwurzeln und das Heron-Verfahren
Aus einem Rechteck wird Schritt für Schritt ein Quadrat mit derselben Fläche. Das Verfahren ist fast 2000 Jahre alt und landet erstaunlich schnell bei √2.
1.6Potenzen
Potenzgesetze, negative und gebrochene Exponenten und die wissenschaftliche Schreibweise.
Potenzen, Zehnerpotenzen und Größenordnungen
Vom Sandkorn bis zur Erde in Zehnerschritten. Unterwegs wird klar, warum 10⁶ eine Million ist und wie man winzige Zahlen schreibt.
Lernbereich 2Größen und Messen
Flächeninhalte von n-Ecken, Kreis und Kreiszahl, Körperberechnungen, Sachaufgaben sowie zentrische Streckungen oder Strahlensätze.
2.1Flächenberechnung an n-Ecken
Dreiecke, Parallelogramm, Trapez, Drachen und Raute auf flächengleiche Rechtecke zurückführen, n-Ecke zerlegen und ergänzen.
Parallelogramm, Dreieck und Trapez durch Zerlegen und Ergänzen
Ein Dreieck abschneiden, an der anderen Seite anlegen: Aus dem Parallelogramm wird ein Rechteck. Dreieck und Trapez funktionieren genauso.
2.2einfache Berechnungen am Kreis
Kreisumfang und Kreisfläche, einen Näherungswert für π bestimmen.
Kreisumfang, Kreisfläche und die Zahl π
Ein Rad rollt einmal ab und kommt etwas mehr als dreimal so weit wie sein Durchmesser. Zerschnitten wird der Kreis zum Rechteck, und die Flächenformel ergibt sich.
Monte-Carlo-Methode: π mit Zufall bestimmen
Zufällige Punkte fallen auf ein Quadrat mit einem Kreis darin. Aus dem Anteil im Kreis lässt sich π schätzen.
2.3Berechnungen an Körpern
Oberfläche und Volumen von Quader, Würfel, Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel sowie zusammengesetzten Körpern.
Prisma und Zylinder: Oberfläche und Volumen
Schicht auf Schicht wächst ein Prisma in die Höhe, und der Mantel eines Zylinders rollt sich zum Rechteck aus.
Pyramide, Kegel und Kugel
Dreimal umschütten, dann ist das Prisma voll: Eine Pyramide fasst genau ein Drittel. Kegel und Kugel lassen sich in 3D drehen und vermessen.
Netze und Oberflächen von Körpern
Falte Netze von Würfel, Quader, Prisma, Pyramide und Zylinder in 3D zum Körper und berechne die Oberfläche.
2.4Sachaufgaben
Größen in Sachzusammenhängen bestimmen und Ergebnisse und Lösungsweg bewerten.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
2.5zentrische Streckungen oder Strahlensätze*
Streckenlängen mit Strahlensätzen oder zentrischer Streckung berechnen; der Streckfaktor geht in Längen, Flächen und Volumina linear, quadratisch oder kubisch ein.
Strahlensätze
Wie hoch ist der Baum, ohne hinaufzuklettern? Zwei Strahlen und eine Parallele genügen, denn die Verhältnisse bleiben gleich.
Ähnliche Figuren: Wie wachsen Fläche und Volumen?
Vergrößere Strecken, Flächen und Körper. Bei doppelter Länge wird die Fläche viermal und das Volumen achtmal so groß.
Lernbereich 3Strukturen und funktionaler Zusammenhang
Variablen und Terme, Funktionen mit ihren Darstellungsformen, proportionale, antiproportionale, lineare und quadratische Funktionen sowie lineare und quadratische Gleichungen.
3.1Variablen und Terme
Terme aufstellen, berechnen und umformen, Summen multiplizieren, faktorisieren, binomische Formeln und quadratische Ergänzung.
Termbaum: die Struktur von Termen
Ein Term, als Baum gezeichnet: Was unten hängt, wird zuerst gerechnet. Punkt vor Strich ist plötzlich keine Regel mehr, sondern sichtbar.
Binomische Formeln am Quadrat
Die drei binomischen Formeln als Flächen: Ein Quadrat zerfällt in kleinere Quadrate und Rechtecke.
3.2Funktionen und ihre Darstellungsformen
Zuordnungen und Funktionen in Text, Tabelle, Graph und Term, Schreibweise f(x), Definitions- und Wertemenge.
Funktion oder nicht? Zuordnungen und ihre Graphen
Jedem x genau ein y? Pfeilbild, Tabelle und Graph verraten sofort, ob eine Zuordnung eine Funktion ist.
Funktionsplotter mit eigenen Termen
Bis zu drei eigene Funktionen gleichzeitig, mit Wertetabelle, Nullstellen und Schnittpunkten. Das Werkzeug für alles, was ein Graph sein kann.
3.3proportionale Funktionen
Proportionale Zuordnungen mit Quotientengleichheit und Proportionalitätsfaktor.
Direkte und indirekte Proportionalität
Doppelt so viele Äpfel kosten doppelt so viel. Bild, Tabelle und Graph zeigen gemeinsam, wann eine Zuordnung proportional ist, mit Dreisatz.
3.4antiproportionale Funktionen
Antiproportionale Zuordnungen mit Produktgleichheit und ihre Graphen.
Direkte und indirekte Proportionalität
Doppelt so viele Äpfel kosten doppelt so viel. Bild, Tabelle und Graph zeigen gemeinsam, wann eine Zuordnung proportional ist, mit Dreisatz.
Hyperbeln und ihre Asymptoten
Die Hyperbel kommt ihren Asymptoten immer näher und berührt sie doch nie. Verschieben und Strecken zeigt, was die Parameter bewirken.
3.5Dreisatz
Sachprobleme mit Dreisatz und umgekehrtem Dreisatz lösen.
Direkte und indirekte Proportionalität
Doppelt so viele Äpfel kosten doppelt so viel. Bild, Tabelle und Graph zeigen gemeinsam, wann eine Zuordnung proportional ist, mit Dreisatz.
3.6lineare Gleichungen
Gleichungen durch Probieren, Umkehren und Äquivalenzumformungen lösen, auch als Schnittpunkt von Graphen; einfache Ungleichungen.
Lineare Gleichungen am Waagemodell
Lineare Gleichungen auf einer Balkenwaage lösen: Was du auf beiden Seiten gleich machst, hält die Waage im Gleichgewicht.
Gleichungen grafisch lösen: Schnittpunkte von Graphen
Zeichne beide Seiten einer Gleichung als Graphen. Die Lösungen liegen dort, wo sich die Graphen schneiden.
3.7lineare Gleichungssysteme
Systeme mit zwei Variablen lösen, auch über- und unterbestimmte.
Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen
Zwei Gleichungen sind zwei Geraden. Ihr Schnittpunkt ist die Lösung, die du ablesen und durch Einsetzen prüfen kannst.
3.8lineare Funktionen
Gerade mit Steigung, Steigungsdreieck und Achsenschnittpunkten, lineares Wachstum, Bedeutung der Parameter.
Lineare Funktion
Verändere Steigung und y-Achsenabschnitt einer Geraden und lies Steigungsdreieck und Nullstelle ab.
Funktionsplotter mit eigenen Termen
Bis zu drei eigene Funktionen gleichzeitig, mit Wertetabelle, Nullstellen und Schnittpunkten. Das Werkzeug für alles, was ein Graph sein kann.
3.9quadratische Funktionen*
Parabeln mit Scheitelpunkt, Symmetrie und Achsenschnittpunkten, Normal-, Scheitelpunkts- und faktorisierte Form, Verschieben, Strecken und Spiegeln.
Funktionsplotter mit eigenen Termen
Bis zu drei eigene Funktionen gleichzeitig, mit Wertetabelle, Nullstellen und Schnittpunkten. Das Werkzeug für alles, was ein Graph sein kann.
Quadratische Funktion
Strecke, spiegle und verschiebe Parabeln und lies Scheitelpunkt und Nullstellen ab.
Parabel durch drei Punkte
Ziehe drei Punkte, und die passende Parabel geht immer durch alle drei. Die Gleichung wird Schritt für Schritt berechnet.
Extremwertaufgaben mit Parabeln
Welches Gehege hat die größte Fläche? Bild und Graph zeigen das Maximum, erst durch Probieren, dann genau berechnet.
3.10quadratische Gleichungen*
Quadratische Gleichungen rechnerisch und grafisch lösen.
Gleichungen grafisch lösen: Schnittpunkte von Graphen
Zeichne beide Seiten einer Gleichung als Graphen. Die Lösungen liegen dort, wo sich die Graphen schneiden.
Quadratische Funktion
Strecke, spiegle und verschiebe Parabeln und lies Scheitelpunkt und Nullstellen ab.
Lernbereich 4Raum und Form
Winkelsätze und Geometrie an Dreiecken, Vierecken und am Kreis, Kongruenz, Abbildungen, Satz des Pythagoras und Körper.
4.1Geometrie an Dreiecken, Vierecken und am Kreis
Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel, Innenwinkelsumme, Basiswinkelsatz, besondere Linien im Dreieck und der Satz des Thales.
Winkel an Geradenkreuzungen
Zwei Geraden kreuzen sich, eine dreht sich. Welche Winkel bleiben gleich? An Parallelen heißen sie Stufen- und Wechselwinkel.
Innenwinkelsumme in Dreieck und Vieleck
Drei Ecken abreißen, aneinanderlegen, fertig ist die gerade Linie: 180°, bei jedem Dreieck. Beim Viereck sind es dann 360°.
Umkreis, Inkreis und besondere Linien im Dreieck
Konstruiere die besonderen Linien im Dreieck. Je drei davon schneiden sich immer in einem Punkt, zum Beispiel im Mittelpunkt von Umkreis und Inkreis.
Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende
Ein Punkt, der von A und B gleich weit entfernt ist, liegt nie zufällig: Die Mittelsenkrechte zeigt sich, bevor man sie mit dem Zirkel zieht.
Satz des Thales
Ziehe einen Punkt auf dem Halbkreis: Der Winkel dort ist immer ein rechter Winkel.
Das Haus der Vierecke
Eine Ecke verschoben, und aus dem Quadrat wird ein Drachen. Wann trägt ein Viereck welchen Namen?
4.2Kongruenzsätze
Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW und SSW und Dreieckskonstruktionen.
Kongruenzsätze und Dreieckskonstruktionen
Konstruiere Dreiecke aus drei gegebenen Stücken mit Lineal und Zirkel, Schritt für Schritt wie im Heft. Manchmal gibt es keine, eine oder zwei Lösungen.
4.3Abbildungsgeometrie
Achsenspiegelung, Drehung, Punktspiegelung und Verschiebung.
Achsen- und Punktspiegelung
Achse oder Punkt: Die Figur klappt um, und jeder Konstruktionsschritt mit dem Geodreieck bleibt sichtbar.
4.4Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck
Satz des Pythagoras und seine Umkehrung, pythagoreische Tripel; Höhen- und Kathetensatz zur Differenzierung.
Satz des Pythagoras
Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und ein Puzzle-Beweis zeigen: a² + b² = c².
4.5Körper
Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel und Kugeln mit Netzen und Schrägbildern.
Netze und Oberflächen von Körpern
Falte Netze von Würfel, Quader, Prisma, Pyramide und Zylinder in 3D zum Körper und berechne die Oberfläche.
Lernbereich 5Daten und Zufall
Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeit, mehrstufige Zufallsexperimente und beschreibende Statistik.
5.1Häufigkeit
Absolute und relative Häufigkeiten in Häufigkeitstabellen, Kreisdiagrammen und Histogrammen.
Gesetz der großen Zahlen
Wirf eine Münze, einen Würfel oder einen Reißnagel tausendmal: Je öfter du wirfst, desto näher kommt die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit.
Diagramme lesen und kritisch prüfen
Stelle dieselben Daten als Säulen-, Linien-, Kreisdiagramm und mehr dar und entdecke, wie Diagramme täuschen können.
5.2Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit über das empirische Gesetz der großen Zahlen, Ereignisse und Laplace-Experimente.
Gesetz der großen Zahlen
Wirf eine Münze, einen Würfel oder einen Reißnagel tausendmal: Je öfter du wirfst, desto näher kommt die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit.
5.3mehrstufige Zufallsexperimente
Zwei- und mehrstufige Zufallsexperimente im Baumdiagramm mit Additions- und Multiplikationsregel.
Zählprinzip und Baumdiagramm
Wie viele Outfits oder Eiskombinationen gibt es? Ein Baumdiagramm wächst Stufe für Stufe, und du siehst, warum man die Möglichkeiten multipliziert.
Mehrstufige Zufallsexperimente und Pfadregeln
Ziehe Kugeln aus einer Urne, mit oder ohne Zurücklegen. Das Baumdiagramm und die Pfadregeln zeigen, wie man Wahrscheinlichkeiten berechnet.
Geburtstagsproblem simulieren
Wie wahrscheinlich ist es, dass zwei in der Klasse am selben Tag Geburtstag haben? Schon ab 23 Personen ist es wahrscheinlicher als nicht.
5.4Beschreibende Statistik
Median und arithmetisches Mittel, Diagramme auswerten und kritisch prüfen.
Mittelwert, Median und Boxplot
Ein Ausreißer zieht den Mittelwert weg, der Median bleibt fast stehen. Ziehen an einzelnen Datenpunkten zeigt, wie robust welcher Wert ist.
Diagramme lesen und kritisch prüfen
Stelle dieselben Daten als Säulen-, Linien-, Kreisdiagramm und mehr dar und entdecke, wie Diagramme täuschen können.
Die Kurzbeschreibungen fassen den Lehrplan in eigenen Worten zusammen. Verbindlich ist der Originaltext. Originaltext: Fachanforderungen, Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 7–9