Direkte und indirekte Proportionalität

Worum geht es?

Bei einer Zuordnung gehört zu jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert. Zwei besondere Zuordnungen kommen im Alltag ständig vor. In der Simulation hat jede Größe ihre Farbe: $x$ blau, $y$ violett, der Faktor $k$ orange.

Direkt proportional – „doppelt so viel, doppelt so teuer“: Zum Doppelten (Dreifachen, …) von $x$ gehört das Doppelte (Dreifache, …) von $y$. Alle Quotienten sind gleich (quotientengleich):

$k$ heißt Proportionalitätsfaktor. Der Graph ist eine Halbgerade durch den Ursprung; die Steigungsdreiecke „1 nach rechts, $k$ nach oben“ haben überall dieselbe Form.

Indirekt proportional (auch antiproportional) – „doppelt so viele, halb so lange“: Zum Doppelten von $x$ gehört die Hälfte von $y$, zum Dreifachen ein Drittel. Alle Produkte sind gleich (produktgleich):

Der Graph ist ein Hyperbelast. Die Rechtecke unter den Punkten haben alle den Flächeninhalt $k$ – sie werden schmaler und höher oder breiter und flacher, aber nie größer oder kleiner.

Der Dreisatz nutzt genau diese Eigenschaften: erst auf eine Einheit schließen, dann auf die gesuchte Menge. Beispiele: Äpfel ($4\,\text{kg}$ kosten $10\,€$) und ein Becken, das $6$ Pumpen in $10\,\text{h}$ füllen.

Vorsicht, Falle: Nicht jede „je mehr – desto mehr“-Zuordnung ist proportional. Ein Taxi kostet $3\,€$ Grundgebühr und $2\,€$ pro km. $5\,\text{km}$ kosten $13\,€$, $10\,\text{km}$ aber nur $23\,€$ – nicht $26\,€$. Die Quotienten $13 : 5 = 2{,}6$ und $23 : 10 = 2{,}3$ sind verschieden, und die Gerade $y = 2x + 3$ geht nicht durch den Ursprung.

So prüft man eine Wertetabelle: Quotienten $y : x$ berechnen – alle gleich? Dann direkt proportional. Sonst Produkte $x \cdot y$ berechnen – alle gleich? Dann indirekt proportional. Sonst keines von beiden.

Ausprobieren

1. Äpfel auf der Waage: Ziehe $P$ auf dem Graphen oder tippe eine Spalte der Tabelle an. Was bleibt in der Zeile $y : x$ immer gleich? Vergleiche die kleinen orangefarbenen Dreiecke.
2. Drücke „Verdoppeln“: Die Masse wird verdoppelt. Was passiert mit dem Preis auf der Waage, in der Tabelle (Pfeile unten) und im Graphen?
3. Pumpen am Becken: Drücke „Verdoppeln“. Wie schnell füllt sich das Becken jetzt? Ziehe dann $P$ und beobachte das Rechteck: Welche Zahl ändert sich nie?
4. Sechs Pumpen, zehn Stunden: Starte „Dreisatz Schritt für Schritt“. Warum steht rechts „$\cdot 6$“, wenn links „$: 6$“ steht?
5. Taxi-Falle: Drücke „Verdoppeln“. Wo liegt der Punkt „26 €?“ und wo der echte Preis? Was zeigen die gestrichelten Strahlen vom Ursprung?
6. Test: Pizza teilen: Tippe zuerst auf deine Vermutung, dann auf „Tabelle prüfen“. Mit „Nächste Tabelle“ geht es weiter – auch zu zwei Fallen.

Aufgaben

Aufgabe 1: Äpfel kaufen

$4\,\text{kg}$ Äpfel kosten $10\,€$. Wie viel kosten $7\,\text{kg}$? Aufgabe laden

Aufgabe 2: Pumpen am Becken

$6$ gleich starke Pumpen füllen ein Becken in $10$ Stunden. Wie lange brauchen $4$ Pumpen, wie lange $5$ Pumpen? Aufgabe laden

Aufgabe 3: Verdoppeln und Verdreifachen

$3$ Pumpen füllen ein Becken in $4$ Stunden. Wie lange brauchen $6$ Pumpen, wie lange $9$ Pumpen? Gib das zweite Ergebnis in Stunden und Minuten an. Aufgabe laden

Aufgabe 4: Lisa und das Taxi

Ein Taxi kostet $3\,€$ Grundgebühr und $2\,€$ pro km. Lisa sagt: „$5\,\text{km}$ kosten $13\,€$, also kosten $10\,\text{km}$ doppelt so viel, nämlich $26\,€$.“ Hat sie recht? Aufgabe laden

Aufgabe 5: Drei Tabellen prüfen

Welche Tabelle gehört zu einer direkt proportionalen, welche zu einer indirekt proportionalen Zuordnung, welche zu keiner von beiden? Gib bei den proportionalen den Wert $k$ an.

(a) $(1 \mid 3),\ (2 \mid 6),\ (5 \mid 15)$ (b) $(2 \mid 12),\ (3 \mid 8),\ (6 \mid 4)$ (c) $(1 \mid 5),\ (2 \mid 7),\ (3 \mid 9)$

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Aufgabe 6: Schneller ans Ziel

Für eine Strecke von $120\,\text{km}$ braucht man mit $40\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ genau $3\,\text{h}$. Begründe, warum Geschwindigkeit und Fahrzeit indirekt proportional sind, und berechne die Fahrzeit bei $50\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ und bei $90\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$. Aufgabe laden

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Proportionale und antiproportionale Zuordnungen mit Dreisatz (je nach Schulart und Bundesland in Klasse 6 oder 7) sowie die Wiederaufnahme bei den linearen Funktionen (direkte Proportionalität) und den Hyperbeln (indirekte Proportionalität).
• Drei Darstellungen: Bild, Tabelle und Graph reagieren gleichzeitig. Es kann sich lohnen, eine Darstellung abzudecken und vorhersagen zu lassen, was „Verdoppeln“ dort bewirken wird.
• Aufgaben aus dem Bild: Mit „Lösung zeigen“ aus (show=0) erscheinen gesuchte Werte als „?“. Im Test lässt sich erst eine Vermutung antippen und dann prüfen; „Nächste Tabelle“ eignet sich für eine kurze Runde im Plenum.
• Sortieraufgabe: Die Lernenden sammeln Alltagsbeispiele (Benzinpreis, Arbeiter und Arbeitszeit, Alter und Schuhgröße, Handytarif mit Grundgebühr …) und ordnen sie vor dem Prüfen den drei Fällen zu.
• Modell: Bei den Pumpen sind nur ganze Anzahlen sinnvoll; der Hyperbelast verbindet die sinnvollen Punkte. Die Werte zu Alter und Größe sind ungefähre Durchschnittswerte.
• Häufige Stolpersteine:
  • „Je mehr – desto mehr“ wird mit direkter Proportionalität gleichgesetzt (Taxi, Alter und Größe).
  • Beim indirekten Dreisatz wird rechts genauso gerechnet wie links – hier hilft die Merkhilfe „Gegenrichtung“.
  • Der Graph einer indirekten Proportionalität wird als fallende Gerade gezeichnet; die Produkte zeigen, dass das nicht passt.
  • Es wird nur ein Quotient berechnet. Für die Entscheidung braucht man alle Paare der Tabelle.