Satz des Pythagoras
Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und ein Puzzle-Beweis zeigen: a² + b² = c².
MathematikLehrplan Hamburg · Gymnasium
Mathematik – Jahrgangsstufe 9/10
Doppeljahrgang 9/10: Die Unterrichtsmodule sind in der angegebenen Reihenfolge zu erarbeiten; die Lernbereiche stehen bei 9 und 10 gleich und werden als eine Stufe gezeigt. Die Module 9 und 10 tragen im Bildungsplan beide den Titel „Exponentielles Wachstum“. Die Nummern sind die Modulnummern des Bildungsplans.
Lernbereich 1Satz des Pythagoras
Satz des Pythagoras und Umkehrung, Seitenlängen berechnen, Anwendungen und Beweis.
Lernbereich 2Körper – Pyramide, Kegel und Kugel
Netze und Schrägbilder, Oberflächeninhalt und Volumen von Pyramide, Kegel und Kugel, Satz von Cavalieri, Herleitung der Volumenformeln.
Pyramide, Kegel und Kugel
Dreimal umschütten, dann ist das Prisma voll: Eine Pyramide fasst genau ein Drittel. Kegel und Kugel lassen sich in 3D drehen und vermessen.
Prinzip von Cavalieri
Schiebe einen Münzstapel schief: Die Form ändert sich, das Volumen bleibt gleich. Das ist das Prinzip von Cavalieri.
Lernbereich 3Quadratische Funktionen und Gleichungen
Quadratische Funktionen in Sachsituationen, Formen des Funktionsterms und Einfluss der Parameter, quadratische Gleichungen numerisch, grafisch und rechnerisch lösen.
Quadratische Funktion
Strecke, spiegle und verschiebe Parabeln und lies Scheitelpunkt und Nullstellen ab.
Parabel durch drei Punkte
Ziehe drei Punkte, und die passende Parabel geht immer durch alle drei. Die Gleichung wird Schritt für Schritt berechnet.
Extremwertaufgaben mit Parabeln
Welches Gehege hat die größte Fläche? Bild und Graph zeigen das Maximum, erst durch Probieren, dann genau berechnet.
Gleichungen grafisch lösen: Schnittpunkte von Graphen
Zeichne beide Seiten einer Gleichung als Graphen. Die Lösungen liegen dort, wo sich die Graphen schneiden.
Lernbereich 4Potenzgesetze
Zehnerpotenzschreibweise, Potenzgesetze erklären und beweisen, negative und rationale Exponenten, Wurzeln als Potenzen.
Quadratwurzeln und das Heron-Verfahren
Aus einem Rechteck wird Schritt für Schritt ein Quadrat mit derselben Fläche. Das Verfahren ist fast 2000 Jahre alt und landet erstaunlich schnell bei √2.
Lernbereich 5Wahrscheinlichkeitsrechnung II
Mehrstufige Zufallsexperimente mit Pfadregeln, Gegenwahrscheinlichkeit und Erwartungswert, Zählprinzipien, bedingte Wahrscheinlichkeiten mit Vierfeldertafeln und Baumdiagrammen.
Zählprinzip und Baumdiagramm
Wie viele Outfits oder Eiskombinationen gibt es? Ein Baumdiagramm wächst Stufe für Stufe, und du siehst, warum man die Möglichkeiten multipliziert.
Mehrstufige Zufallsexperimente und Pfadregeln
Ziehe Kugeln aus einer Urne, mit oder ohne Zurücklegen. Das Baumdiagramm und die Pfadregeln zeigen, wie man Wahrscheinlichkeiten berechnet.
Geburtstagsproblem simulieren
Wie wahrscheinlich ist es, dass zwei in der Klasse am selben Tag Geburtstag haben? Schon ab 23 Personen ist es wahrscheinlicher als nicht.
Vierfeldertafel und Mengendiagramm
Vierfeldertafel, Mengendiagramm und Baumdiagramm zeigen dieselben Daten und hängen zusammen. Wer eins verändert, sieht die anderen mitlaufen.
Bedingte Wahrscheinlichkeit am Beispiel medizinischer Tests
Ein medizinischer Test ist positiv, aber wie wahrscheinlich ist man wirklich krank? 1000 Personen zeigen, warum die Antwort oft überrascht.
Ziegenproblem
Spiele selbst oder simuliere tausende Spiele: Lohnt es sich, die Tür zu wechseln?
Lernbereich 6Ähnlichkeit
Ähnlichkeit und Kongruenz, Skalierungsfaktoren für Strecken, Flächen und Körper, ähnliche Dreiecke, Strahlensätze.
Strahlensätze
Wie hoch ist der Baum, ohne hinaufzuklettern? Zwei Strahlen und eine Parallele genügen, denn die Verhältnisse bleiben gleich.
Ähnliche Figuren: Wie wachsen Fläche und Volumen?
Vergrößere Strecken, Flächen und Körper. Bei doppelter Länge wird die Fläche viermal und das Volumen achtmal so groß.
Lernbereich 7Trigonometrie
Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck, Winkel und Seiten berechnen, Zusammenhänge in allgemeinen Dreiecken.
Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck hängt das Verhältnis zweier Seiten nur vom Winkel ab. Daraus entstehen Sinus, Kosinus und Tangens, mit Beispielen wie Rampe oder Leiter.
Sinussatz und Kosinussatz
Berechne Seiten und Winkel in beliebigen Dreiecken mit Sinussatz und Kosinussatz. Ein Helfer zeigt, welcher Satz zu deiner Aufgabe passt.
Lernbereich 8Periodische Vorgänge
Kreisbewegungen und ihre Projektionen, Sinus- und Kosinusfunktion, Einfluss der Parameter, periodische Vorgänge beschreiben.
Einheitskreis
Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis und wie daraus die Sinuskurve entsteht.
Allgemeine Sinusfunktion
Verändere Amplitude, Periode und Verschiebung einer Sinuskurve mit Reglern oder durch Ziehen.
Lernbereich 9Exponentielles Wachstum
Lineares und exponentielles Wachstum unterscheiden, Exponentialfunktionen in Sachsituationen und ihre Darstellungen, Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Exponentielles Wachstum und Zerfall
Seerosen auf dem Teich, Zinseszins und Zerfall: Exponentielles Wachstum im Vergleich mit linearem Wachstum.
Lernbereich 10Exponentielles Wachstum (Funktionen der Form a · bˣ)
Exponentialfunktionen der Form f(x) = a · bˣ in Sachsituationen, Darstellungswechsel und Merkmale, Logarithmen mit dem Taschenrechner.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Exponentielles Wachstum und Zerfall
Seerosen auf dem Teich, Zinseszins und Zerfall: Exponentielles Wachstum im Vergleich mit linearem Wachstum.
Lernbereich 11Üben und Vertiefen
Üben und Vertiefen zu allen Leitideen und prozessbezogenen Kompetenzen mit Blick auf die Prüfung.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich 12Funktionsklassen
Bekannte und neue Funktionen vergleichen, ganzrationale und einfache gebrochenrationale Funktionen, Nullstellen und Substitution, Wurzelfunktion als Umkehrfunktion.
Funktionsplotter mit eigenen Termen
Bis zu drei eigene Funktionen gleichzeitig, mit Wertetabelle, Nullstellen und Schnittpunkten. Das Werkzeug für alles, was ein Graph sein kann.
Hyperbeln und ihre Asymptoten
Die Hyperbel kommt ihren Asymptoten immer näher und berührt sie doch nie. Verschieben und Strecken zeigt, was die Parameter bewirken.
Potenzfunktionen y = a · xⁿ
Gerade oder ungerade Hochzahl, positiv oder negativ: Mit jedem Exponenten verwandelt sich y = a · xⁿ, nur einige Punkte bleiben immer gleich.
Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Vielfachheit und Randverhalten
Schneidet der Graph die x-Achse oder berührt er sie nur? Die Vielfachheit der Nullstelle entscheidet, der höchste Exponent das Verhalten weit draußen.
Graphen verschieben, strecken und spiegeln
Verschieben, strecken, spiegeln: Jede Bewegung des Graphen hinterlässt eine Spur im Funktionsterm.
Umkehrfunktionen: Spiegeln an y = x
Den Graphen an y = x spiegeln, und die Umkehrfunktion ist da. Das klappt nur, wenn kein Funktionswert zweimal vorkommt.
Lernbereich 13Einführung in die Differentialrechnung
Mittlere und lokale Änderungsrate, Tangentensteigung über den Differenzenquotienten, Ableitungsfunktion, Tangentengleichung und Steigungswinkel.
Von der Sekante zur Tangente
Lass einen Punkt Q auf P zulaufen: Aus der Sekante wird die Tangente und aus der mittleren Steigung die Ableitung.
Ableitungsfunktion grafisch
Eine Tangente gleitet am Graphen entlang und zeichnet dabei die Steigung als neuen Graphen: die Ableitungsfunktion.
Die Kurzbeschreibungen fassen den Lehrplan in eigenen Worten zusammen. Verbindlich ist der Originaltext. Originaltext: Bildungsplan, Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 9/10