Die natürliche Exponentialfunktion
Warum ist die Zahl e so besonders? Bei der e-Funktion sind Graph und Ableitung genau gleich.
Mathematik – Jahrgangsstufe 12/13
Qualifikationsphase (G9: Jahrgangsstufen 12 und 13). Der Kernlehrplan unterscheidet Grundkurs und Leistungskurs, verteilt die Inhalte aber nicht auf Halbjahre; die Lernbereiche stehen deshalb bei 12 und 13 gleich. Abgebildet sind die Schwerpunkte des Leistungskurses; „Nur LK“ kennzeichnet, was im Grundkurs fehlt. Die Buchstaben A, G und S stehen im Lehrplan; die Nummern sind von uns vergeben.
Lernbereich Q-AFunktionen und Analysis (A)
Exponentialfunktionen und die e-Funktion, Produkt- und Kettenregel, Extremwertprobleme und Steckbriefaufgaben sowie Integralrechnung bis zum Hauptsatz.
Q-A.1Funktionen
Ganzrationale Funktionen und Exponentialfunktionen; nur LK: allgemeine Sinus- und Kosinusfunktionen und die natürliche Logarithmusfunktion.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Funktionsplotter mit eigenen Termen
Bis zu drei eigene Funktionen gleichzeitig, mit Wertetabelle, Nullstellen und Schnittpunkten. Das Werkzeug für alles, was ein Graph sein kann.
Q-A.2Eigenschaften von Funktionen
Verlauf, Definitions- und Wertebereich, Nullstellen, Symmetrie, Verhalten für große x und Umkehrfunktionen (GK an der Wurzelfunktion).
Grenzverhalten und Asymptoten
Was passiert mit einem Graphen, wenn x sehr groß wird? Ein Punkt läuft nach außen, und eine Lupe zeigt, wie nah er der Asymptote kommt.
Umkehrfunktionen: Spiegeln an y = x
Den Graphen an y = x spiegeln, und die Umkehrfunktion ist da. Das klappt nur, wenn kein Funktionswert zweimal vorkommt.
Q-A.3Fortführung der Differentialrechnung
Produkt- und Kettenregel, Extremwertprobleme mit Nebenbedingung, Steckbriefaufgaben und Funktionen mit Parametern (im LK als Funktionsscharen).
Extremwertprobleme
Welche Schachtel fasst am meisten, welche Dose braucht am wenigsten Blech? An fünf Alltagsproblemen findest du mit der Ableitung das Optimum.
Funktionenscharen
Ein Parameter, unendlich viele Graphen. Wohin wandern die Hochpunkte, wenn k wächst? Auf einer eigenen Kurve, der Ortskurve.
Monotonie, Extrem- und Wendestellen
Untersuche einen Graphen Schritt für Schritt: Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und wo er steigt oder fällt.
Q-A.4Integralrechnung
Produktsumme, orientierte Fläche, Bestands-, Integral- und Stammfunktion, bestimmtes Integral und Hauptsatz; nur LK: uneigentliche Integrale und Rotationsvolumen.
Integral als Flächenbilanz (Rechtecksummen)
Fülle die Fläche unter einem Graphen mit Rechtecken. Je mehr Rechtecke, desto genauer wird der Wert des Integrals.
Integral als Gesamtänderung: von der Geschwindigkeit zum Weg
Aus der Geschwindigkeit eines Autos wird der zurückgelegte Weg: Die Fläche unter der Kurve zeigt die Gesamtänderung.
Vom Graphen zur Stammfunktion
Die Höhe eines Graphen wird zur Steigung eines neuen: Wer Kontostände kennt, versteht die Stammfunktion schneller als gedacht.
Integralfunktion und Hauptsatz
Die Fläche unter einem Graphen wächst mit. Ihre Änderungsrate ist genau die Funktion selbst: Das ist der Hauptsatz.
Rotationskörper
Die Fläche unter einem Graphen dreht sich um die x-Achse und wird zu einem Körper. Sein Volumen wird mit Scheiben berechnet.
Lernbereich Q-GAnalytische Geometrie und Lineare Algebra (G)
Skalarprodukt, Ebenen in Parameter- und Koordinatenform, Schnittpunkte und Schnittwinkel, lineare Gleichungssysteme und im Leistungskurs Lagebeziehungen und Abstände.
Q-G.1Vektoroperation
Skalarprodukt: Orthogonalität, Betrag und Winkel zwischen Vektoren.
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Das Skalarprodukt verrät den Winkel zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor und eine Fläche.
Q-G.2Ebenen
Parameterform, Koordinatenform und Normalenvektor (LK: Normalenform), Orientierung im Raum.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
Q-G.3Schnittwinkel
Winkel zwischen Geraden, zwischen Gerade und Ebene und zwischen Ebenen.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
Q-G.4Schnittpunkte
Schnittpunkte von Geraden und Ebenen.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
Q-G.5Lagebeziehungen und Abstände
Nur LK: Lage und Abstände von Punkten, Geraden und Ebenen in allen Kombinationen, Spiegelungen an Ebenen.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
Q-G.6Lineare Gleichungssysteme
Ein algorithmisches Lösungsverfahren für bis zu drei Unbekannte, Lösungsmengen deuten.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich Q-SStochastik (S)
Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten, Zufallsgrößen mit Erwartungswert und Streuung, Binomialverteilung und im Leistungskurs Prognose- und Konfidenzintervalle sowie die Normalverteilung.
Q-S.1Mehrstufige Zufallsexperimente
Urnenmodelle, Baumdiagramme, Vierfeldertafeln, Gegenereignis, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit und Pfadregeln.
Vierfeldertafel und Mengendiagramm
Vierfeldertafel, Mengendiagramm und Baumdiagramm zeigen dieselben Daten und hängen zusammen. Wer eins verändert, sieht die anderen mitlaufen.
Bedingte Wahrscheinlichkeit am Beispiel medizinischer Tests
Ein medizinischer Test ist positiv, aber wie wahrscheinlich ist man wirklich krank? 1000 Personen zeigen, warum die Antwort oft überrascht.
Geburtstagsproblem simulieren
Wie wahrscheinlich ist es, dass zwei in der Klasse am selben Tag Geburtstag haben? Schon ab 23 Personen ist es wahrscheinlicher als nicht.
Q-S.2Kenngrößen
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.
Binomialverteilung
Das Histogramm der Binomialverteilung: Wähle einen Bereich und lies die Wahrscheinlichkeit direkt ab.
Q-S.3Diskrete Zufallsgrößen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Kenngrößen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q-S.4Binomialverteilung
Kenngrößen und Histogramme, Einfluss von n und p; nur LK: Binomialkoeffizient und σ-Regeln.
Binomialverteilung
Das Histogramm der Binomialverteilung: Wähle einen Bereich und lies die Wahrscheinlichkeit direkt ab.
Galtonbrett
An jedem Nagel links oder rechts, rein zufällig. Trotzdem türmen sich die Kugeln jedes Mal zur selben Glockenform auf.
Q-S.5Beurteilende Statistik
Nur LK: Prognoseintervall, Konfidenzintervall und nötiger Stichprobenumfang.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Q-S.6Normalverteilung
Nur LK: Dichtefunktion (Gauß’sche Glockenkurve), Parameter μ und σ und Verteilungsfunktion als Integralfunktion.
Normalverteilung
Wie viele Flaschen sind zu leicht befüllt? Unter der Glockenkurve ist jede Wahrscheinlichkeit eine Fläche, mit den Sigma-Regeln als Faustregel.
Die Kurzbeschreibungen fassen den Lehrplan in eigenen Worten zusammen. Verbindlich ist der Originaltext. Originaltext: Kernlehrplan, Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 12/13