Potenzfunktionen y = a · xⁿ

Worum geht es?

Eine Potenzfunktion hat die Form

f(x) = a \cdot x^n \qquad (a \neq 0,\; n \text{ ganzzahlig})

Der Exponent $n$ bestimmt die Form des Graphen, der Streckfaktor $a$ streckt ( $|a| > 1$ ) oder staucht ( $|a| < 1$ ) ihn in $y$ -Richtung; für $a < 0$ wird er zusätzlich an der $x$ -Achse gespiegelt. Der Punkt $Q(1 \mid a)$ liegt immer auf dem Graphen, denn $1^n = 1$ .

Je nach $n$ unterscheidet man vier Klassen (in der Simulation farbig):

Exponent	Graph (für $a = 1$ )	Symmetrie	$D$	$W$
$n$ gerade, $n > 0$	Parabel $n$ -ter Ordnung, beide Äste oben	zur $y$ -Achse	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}_0^+$
$n$ ungerade, $n > 0$	Parabel $n$ -ter Ordnung (für $n = 1$ Ursprungsgerade), von links unten nach rechts oben	zum Ursprung	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
$n$ gerade, $n < 0$	Hyperbel, beide Äste oben	zur $y$ -Achse	$\mathbb{R} \setminus \{0\}$	$\mathbb{R}^+$
$n$ ungerade, $n < 0$	Hyperbel, Äste im I. und III. Quadranten	zum Ursprung	$\mathbb{R} \setminus \{0\}$	$\mathbb{R} \setminus \{0\}$

Symmetrie: Für gerades $n$ gilt $f(-x) = f(x)$ , der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Für ungerades $n$ gilt $f(-x) = -f(x)$ , der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Negative Exponenten: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ . Bei $x = 0$ ist die Funktion nicht definiert (Polstelle); die Achsen $x = 0$ und $y = 0$ sind Asymptoten.
Sonderfälle: $n = 1$ ergibt die Ursprungsgerade $y = a \cdot x$ . Für $n = 0$ ist $x^0 = 1$ (für $x \neq 0$ ), also $f(x) = a$ : eine Parallele zur $x$ -Achse. Den Ausdruck $0^0$ betrachten wir hier nicht – die Simulation nimmt die Stelle $0$ aus der Definitionsmenge heraus (hohler Punkt).
Gemeinsame Punkte: Alle Graphen von $y = x^n$ gehen durch $(1 \mid 1)$ . Bei geradem $n$ gehen sie durch $(-1 \mid 1)$ , bei ungeradem durch $(-1 \mid -1)$ , und für $n > 0$ durch den Ursprung.
Zwischen $-1$ und $1$ gilt: Je größer der (positive) Exponent, desto flacher der Graph, z. B. $0{,}5^4 = 0{,}0625 < 0{,}5^2 = 0{,}25$ . Außerhalb ist es umgekehrt.

Ausprobieren

Bewege den Regler für $n$ langsam von $-4$ bis $6$ oder klicke auf Alle Exponenten durchlaufen. Der Graph verwandelt sich weich. Bei welchen $n$ ändert sich die Klasse? Achte auf die Farbe und auf das Schild oben rechts im Steckbrief.
Klicke bei $n = 3$ auf Symmetrie zeigen: Der rechte Teil wird um $180°$ um den Ursprung gedreht. Probiere dasselbe bei $n = 4$ . Beispiel laden
Ziehe den Punkt $Q(1 \mid a)$ nach oben und unten. Was passiert für $a < 0$ mit Wertemenge und Monotonie? Beispiel laden
Ziehe $P$ am Graphen entlang und vergleiche die Rechnung im Bild mit der Wertetabelle. An den Stellen der Tabelle ist die passende Zeile markiert.
Wähle die Ansicht Familie und tippe auf die einzelnen Exponenten. Die anderen Graphen der Familie sind blass und mit ihrem Exponenten beschriftet. Welche Punkte bleiben immer gleich? Gerade Exponenten · Ungerade Exponenten
Vergleiche $x$ und $x^3$ und lass die senkrechte Linie mit Vergleich von links nach rechts durchfahren. Wo liegt $x^3$ oberhalb von $x$ ? Beispiel laden
Stelle $n = -1$ und $n = -2$ ein. Wie verhalten sich die Funktionswerte nahe $0$ links und rechts? Beispiel laden

Aufgaben

Aufgabe 1: Punktprobe

Liegen die Punkte $A(-2 \mid -4)$ und $B(3 \mid 13)$ auf dem Graphen von $f(x) = 0{,}5 \cdot x^3$ ?

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$f(-2) = 0{,}5 \cdot (-2)^3 = 0{,}5 \cdot (-8) = -4$ , also liegt $A$ auf dem Graphen. $f(3) = 0{,}5 \cdot 27 = 13{,}5 \neq 13$ , also liegt $B$ nicht darauf. In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Streckfaktor bestimmen

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Der Graph von $f(x) = a \cdot x^4$ geht durch den Punkt $(2 \mid 8)$ . Bestimme $a$ und gib die Wertemenge an.

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$a \cdot 2^4 = 8 \Rightarrow 16a = 8 \Rightarrow a = 0{,}5$ . Weil $n$ gerade und $a > 0$ ist, gilt $W = \mathbb{R}_0^+$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Steckbrief

Erstelle einen Steckbrief für $f(x) = -2 \cdot x^{-3}$ : Definitionsmenge, Wertemenge, Symmetrie, Monotonie, Verhalten für $x \to \pm\infty$ und nahe $0$ . Berechne $f(1)$ und $f(-1)$ .

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$D = W = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ , punktsymmetrisch zum Ursprung ( $n$ ungerade). Wegen $a < 0$ ist der Graph der Hyperbel $\frac{1}{x^3}$ an der $x$ -Achse gespiegelt: Die Äste liegen im II. und IV. Quadranten, $f$ ist steigend für $x < 0$ und für $x > 0$ . Für $x \to \pm\infty$ gilt $f(x) \to 0$ ; links von $0$ gilt $f(x) \to +\infty$ , rechts $f(x) \to -\infty$ . Asymptoten $x = 0$ und $y = 0$ . $f(1) = -2$ , $f(-1) = -2 \cdot \frac{1}{-1} = 2$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Wer ist größer?

Für welche $x$ gilt $x^4 < x^2$ ? Begründe mit einem Zahlenbeispiel.

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Die Graphen schneiden sich bei $x = -1$ , $0$ und $1$ . Für $0 < |x| < 1$ gilt $x^4 < x^2$ , z. B. $0{,}5^4 = 0{,}0625 < 0{,}25 = 0{,}5^2$ . Für $|x| > 1$ ist es umgekehrt, z. B. $2^4 = 16 > 4$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 5: Gemeinsame Punkte

Welche Punkte haben alle Graphen von $y = x^n$ mit ungeradem $n > 0$ gemeinsam? Welcher fällt weg, wenn man auch $n = -1$ und $n = -3$ zulässt?

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$(-1 \mid -1)$ , $(0 \mid 0)$ und $(1 \mid 1)$ , denn $(-1)^n = -1$ , $0^n = 0$ und $1^n = 1$ . Für negative $n$ ist $0$ nicht in der Definitionsmenge, also fällt der Ursprung weg. In der Simulation zeigen

Aufgabe 6: Graph erkennen

Ein Graph von $f(x) = x^n$ liegt vollständig oberhalb der $x$ -Achse, ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse und hat bei $x = 0$ eine Polstelle. Was weißt du über $n$ ? Gib ein Beispiel an.

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$n$ ist gerade und negativ, z. B. $n = -2$ : $f(x) = \frac{1}{x^2}$ mit $W = \mathbb{R}^+$ . In der Simulation zeigen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 9/10, Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten und Erweiterung des Potenzbegriffs, danach ganzrationale Funktionen. Die negativen Exponenten knüpfen an die Hyperbel $y = \frac{1}{x}$ an; ob und in welchem Umfang sie im Unterricht vorkommen, hängt vom Lehrplan ab.
Entdeckend: Die Familien-Ansicht eignet sich zum Sammeln von Vermutungen („Was haben alle gemeinsam?“), die anschließend mit $1^n$ , $(-1)^n$ und $0^n$ begründet werden.
Symmetrie begründen: Die Animation zeigt, was Achsen- und Punktsymmetrie bedeuten; die Begründung $(-x)^n = x^n$ bzw. $(-x)^n = -x^n$ kann daran anschließen.
Häufige Stolpersteine:
- „ $x^4$ ist immer größer als $x^2$ .“ – Nur für $|x| > 1$ ; zwischen $-1$ und $1$ ist es umgekehrt.
- $x^{-2}$ wird als $-x^2$ gelesen. – Richtig ist $x^{-2} = \frac{1}{x^2} > 0$ .
- Bei $n = 0$ wird $0^0$ einfach als $1$ gesetzt. – Die Simulation lässt die Stelle $0$ bewusst weg; hier lohnt ein kurzes Gespräch.
- Monotonie bei ungeradem negativem $n$ : $\frac{1}{x}$ ist auf beiden Teilen fallend, aber nicht auf ganz $D$ (z. B. $f(-1) = -1 < f(1) = 1$ ).
Aufgabenmodus: Mit info=0 und Teilen → Ergebnisse verdecken werden Steckbrief, Wertetabelle und Rechnung durch „?“ ersetzt; der Graph bleibt sichtbar.