Quadratwurzeln und das Heron-Verfahren
Aus einem Rechteck wird Schritt für Schritt ein Quadrat mit derselben Fläche. Das Verfahren ist fast 2000 Jahre alt und landet erstaunlich schnell bei √2.
Mathematik – Jahrgangsstufe 9/10
Zweite Stufe bis zum Ende der Sekundarstufe I. Der Kernlehrplan nennt keine genauen Jahrgänge; die zweite Stufe steht deshalb als Doppeljahrgangsstufe 9/10 (G9, Ende der Sekundarstufe I nach Klasse 10), die Lernbereiche stehen bei 9 und 10 gleich; beide werden als eine Stufe gezeigt. Die Nummern sind von uns vergeben.
Lernbereich 9Arithmetik/Algebra
Reelle Zahlen, Potenzen, Wurzeln und Logarithmen mit ihren Gesetzen, Näherungsverfahren sowie quadratische Gleichungen und Exponentialgleichungen lösen.
9.1Zahlbereichserweiterung
Reelle Zahlen; rationale und irrationale Zahlen unterscheiden.
9.2Begriffsbildung
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, Zehnerpotenzschreibweise.
Quadratwurzeln und das Heron-Verfahren
Aus einem Rechteck wird Schritt für Schritt ein Quadrat mit derselben Fläche. Das Verfahren ist fast 2000 Jahre alt und landet erstaunlich schnell bei √2.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
9.3Gesetze und Regeln
Potenzgesetze und Wurzelgesetze, Wurzel- und Potenzschreibweise.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
9.4Lösungsverfahren und Algorithmen
Näherungsverfahren für Quadratwurzeln, quadratische Gleichungen mit quadratischer Ergänzung, p-q-Formel und Satz von Vieta, Exponentialgleichungen durch Probieren und Logarithmieren.
Quadratwurzeln und das Heron-Verfahren
Aus einem Rechteck wird Schritt für Schritt ein Quadrat mit derselben Fläche. Das Verfahren ist fast 2000 Jahre alt und landet erstaunlich schnell bei √2.
Gleichungen grafisch lösen: Schnittpunkte von Graphen
Zeichne beide Seiten einer Gleichung als Graphen. Die Lösungen liegen dort, wo sich die Graphen schneiden.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Lernbereich 10Funktionen
Quadratische Funktionen in verschiedenen Termformen, exponentielles Wachstum und Sinusfunktionen für periodische Vorgänge; Parameter deuten und Modelle auswählen.
10.1Quadratische Funktionen
Normal-, Scheitelpunkt- und faktorisierte Form, Scheitelpunkt, Symmetrie, Öffnung, Nullstellen, Verschieben und Strecken der Normalparabel und Extremwertprobleme.
Quadratische Funktion
Strecke, spiegle und verschiebe Parabeln und lies Scheitelpunkt und Nullstellen ab.
Parabel durch drei Punkte
Ziehe drei Punkte, und die passende Parabel geht immer durch alle drei. Die Gleichung wird Schritt für Schritt berechnet.
Extremwertaufgaben mit Parabeln
Welches Gehege hat die größte Fläche? Bild und Graph zeigen das Maximum, erst durch Probieren, dann genau berechnet.
Funktionsplotter mit eigenen Termen
Bis zu drei eigene Funktionen gleichzeitig, mit Wertetabelle, Nullstellen und Schnittpunkten. Das Werkzeug für alles, was ein Graph sein kann.
10.2Exponentielle Funktionen
Anfangswert, Wachstumsfaktor und -rate, Verdopplungs- und Halbwertszeit, langfristige Entwicklung im Vergleich mit linearem Wachstum.
Exponentielles Wachstum und Zerfall
Seerosen auf dem Teich, Zinseszins und Zerfall: Exponentielles Wachstum im Vergleich mit linearem Wachstum.
10.3Sinusfunktionen
Sinus und Kosinus am Einheitskreis, Grad- und Bogenmaß, Amplitude und Periode zeitlich periodischer Vorgänge.
Einheitskreis
Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis und wie daraus die Sinuskurve entsteht.
Allgemeine Sinusfunktion
Verändere Amplitude, Periode und Verschiebung einer Sinuskurve mit Reglern oder durch Ziehen.
Lernbereich 11Geometrie
Kreis und Kreisteile, Oberfläche und Volumen von Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel, zentrische Streckung und Ähnlichkeit, Satz des Pythagoras, Kosinussatz und Trigonometrie.
11.1Kreis
Umfang und Flächeninhalt von Kreis, Kreisbogen und Kreissektor, Herleitung durch Näherung, Tangente.
Kreisumfang, Kreisfläche und die Zahl π
Ein Rad rollt einmal ab und kommt etwas mehr als dreimal so weit wie sein Durchmesser. Zerschnitten wird der Kreis zum Rechteck, und die Flächenformel ergibt sich.
11.2Körper
Oberfläche und Volumen von Kugel, Zylinder, Prisma, Kegel und Pyramide; Prinzip von Cavalieri.
Prisma und Zylinder: Oberfläche und Volumen
Schicht auf Schicht wächst ein Prisma in die Höhe, und der Mantel eines Zylinders rollt sich zum Rechteck aus.
Pyramide, Kegel und Kugel
Dreimal umschütten, dann ist das Prisma voll: Eine Pyramide fasst genau ein Drittel. Kegel und Kugel lassen sich in 3D drehen und vermessen.
Prinzip von Cavalieri
Schiebe einen Münzstapel schief: Die Form ändert sich, das Volumen bleibt gleich. Das ist das Prinzip von Cavalieri.
11.3Abbildung/Lagebeziehung
Zentrische Streckungen mit Zentrum und Streckfaktor, ähnliche Figuren.
Strahlensätze
Wie hoch ist der Baum, ohne hinaufzuklettern? Zwei Strahlen und eine Parallele genügen, denn die Verhältnisse bleiben gleich.
Ähnliche Figuren: Wie wachsen Fläche und Volumen?
Vergrößere Strecken, Flächen und Körper. Bei doppelter Länge wird die Fläche viermal und das Volumen achtmal so groß.
11.4Geometrische Sätze
Satz des Pythagoras mit Beweis, Kosinussatz als seine Verallgemeinerung.
Satz des Pythagoras
Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und ein Puzzle-Beweis zeigen: a² + b² = c².
Sinussatz und Kosinussatz
Berechne Seiten und Winkel in beliebigen Dreiecken mit Sinussatz und Kosinussatz. Ein Helfer zeigt, welcher Satz zu deiner Aufgabe passt.
11.5Trigonometrie
Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse ähnlicher rechtwinkliger Dreiecke; Längen und Winkel berechnen.
Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck hängt das Verhältnis zweier Seiten nur vom Winkel ab. Daraus entstehen Sinus, Kosinus und Tangens, mit Beispielen wie Rampe oder Leiter.
Sinussatz und Kosinussatz
Berechne Seiten und Winkel in beliebigen Dreiecken mit Sinussatz und Kosinussatz. Ein Helfer zeigt, welcher Satz zu deiner Aufgabe passt.
Lernbereich 12Stochastik
Statistische Erhebungen planen und Manipulationen in Diagrammen erkennen; bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, Vierfeldertafel, Baumdiagramm und Kombinatorik.
12.1Statistische Daten
Erhebungen mit digitalen Werkzeugen planen und auswerten, Diagramme kritisch prüfen und Manipulationen erkennen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
12.2Wahrscheinlichkeiten und Zufallsexperimente
Bedingte Wahrscheinlichkeit, stochastische Unabhängigkeit, Vierfeldertafel, Baumdiagramme und Pfadregeln sowie Anzahlen durch kombinatorische Überlegungen.
Vierfeldertafel und Mengendiagramm
Vierfeldertafel, Mengendiagramm und Baumdiagramm zeigen dieselben Daten und hängen zusammen. Wer eins verändert, sieht die anderen mitlaufen.
Bedingte Wahrscheinlichkeit am Beispiel medizinischer Tests
Ein medizinischer Test ist positiv, aber wie wahrscheinlich ist man wirklich krank? 1000 Personen zeigen, warum die Antwort oft überrascht.
Mehrstufige Zufallsexperimente und Pfadregeln
Ziehe Kugeln aus einer Urne, mit oder ohne Zurücklegen. Das Baumdiagramm und die Pfadregeln zeigen, wie man Wahrscheinlichkeiten berechnet.
Zählprinzip und Baumdiagramm
Wie viele Outfits oder Eiskombinationen gibt es? Ein Baumdiagramm wächst Stufe für Stufe, und du siehst, warum man die Möglichkeiten multipliziert.
Ziegenproblem
Spiele selbst oder simuliere tausende Spiele: Lohnt es sich, die Tür zu wechseln?
Die Kurzbeschreibungen fassen den Lehrplan in eigenen Worten zusammen. Verbindlich ist der Originaltext. Originaltext: Kernlehrplan, Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 9/10