Parabel durch drei Punkte

Worum geht es?

Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade. Für eine Parabel $y = ax^2 + bx + c$ braucht man drei Punkte, denn es sind drei Zahlen $a$, $b$, $c$ zu bestimmen. Setzt man jeden Punkt $P_i(x_i \mid y_i)$ in den Ansatz ein, entsteht für jeden Punkt eine Gleichung – zusammen ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten:

Die Unbekannten sind hier $a$, $b$ und $c$ – die Koordinaten der Punkte sind bekannte Zahlen. Gelöst wird mit dem Additionsverfahren:

1. c eliminieren: $\text{IV} = \text{II} - \text{I}$ und $\text{V} = \text{III} - \text{I}$ enthalten nur noch $a$ und $b$. Liegt ein Punkt auf der $y$-Achse ($x = 0$), liest man sofort $c = y$ ab und setzt es ein.
2. b eliminieren: IV und V mit passenden Zahlen multiplizieren und subtrahieren – übrig bleibt eine Gleichung für $a$.
3. Zurückrechnen: $a$ in IV einsetzen liefert $b$, $a$ und $b$ in I einsetzen liefert $c$.

Beispiel mit $P_1(-1 \mid 1{,}5)$, $P_2(2 \mid 3)$, $P_3(4 \mid -1)$: Aus $a - b + c = 1{,}5$, $4a + 2b + c = 3$ und $16a + 4b + c = -1$ wird $\text{IV}: 3a + 3b = 1{,}5$ und $\text{V}: 15a + 5b = -2{,}5$. Dann $5 \cdot \text{IV} - 3 \cdot \text{V}: -30a = 15$, also $a = -\frac{1}{2}$, $b = 1$, $c = 3$:

Kürzere Wege, wenn die Punkte besonders liegen:

• Ist ein Punkt der Scheitel $S(x_S \mid y_S)$, hilft die Scheitelform $y = a(x - x_S)^2 + y_S$. Ein weiterer Punkt liefert $a$.
• Liegen zwei Punkte auf der $x$-Achse, sind es Nullstellen $x_1$, $x_2$: $y = a(x - x_1)(x - x_2)$. Der dritte Punkt liefert $a$.

Sonderfälle:

• Haben zwei Punkte denselben $x$-Wert, aber verschiedene $y$-Werte, gibt es keine Funktion durch sie. Im Gleichungssystem zeigt sich das als Widerspruch wie $0 = -4{,}5$.
• Fallen zwei Punkte zusammen, fehlt eine Bedingung: Unendlich viele Parabeln gehen hindurch.
• Liegen die drei Punkte auf einer Geraden, ergibt die Rechnung $a = 0$. Dann ist $f(x) = bx + c$ eine lineare Funktion und keine Parabel.

Ausprobieren

1. Ziehe die drei Punkte. Die Parabel gleitet mit und geht immer durch alle drei. Wann ist sie nach oben, wann nach unten geöffnet? Beispiel laden
2. Klicke auf Rechenweg Schritt für Schritt. Achte darauf, woher die farbigen Zahlen in den Gleichungen I, II und III kommen.
3. Lade die Punkte $(0 \mid 0)$, $(1 \mid 1)$ und $(2 \mid 4)$. Welche Parabel ist das? Warum steht in Gleichung I nur „c = 0“? Beispiel laden
4. Diese drei Punkte liegen auf einer Geraden. Ziehe $P_2$ langsam nach oben und wieder zurück: Wie wird aus der Parabel eine Gerade? Was passiert mit $a$? Beispiel laden
5. Hier haben $P_1$ und $P_2$ denselben $x$-Wert. Warum kann keine Funktion durch beide gehen? Welche Gleichung entsteht bei II − I? Beispiel laden
6. Lege zwei Punkte genau aufeinander. Wie viele Parabeln gibt es jetzt? Beispiel laden
7. Stelle den Lösungsweg Scheitelform ein: Hier ist $P_2$ der Scheitel. Vergleiche die Länge der Rechnung mit dem Gleichungssystem. Beispiel laden
8. Wähle die Anwendung Wurfbahn eines Balls und wirf den Ball. Wo landet er? Beispiel laden

Aufgaben

Aufgabe 1: Gleichungssystem aufstellen und lösen

Bestimme die Parabel durch $A(0 \mid 1)$, $B(1 \mid 0)$ und $C(2 \mid 3)$. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Scheitel gegeben

Eine Parabel hat den Scheitel $S(2 \mid -3)$ und geht durch $P(4 \mid 1)$. Bestimme ihren Term in Scheitelform und in allgemeiner Form.

Aufgabe 3: Nullstellen gegeben

Eine Parabel hat die Nullstellen $-2$ und $4$ und geht durch $(2 \mid 4)$. Bestimme den Funktionsterm.

Aufgabe 4: Parabel oder nicht?

Gibt es eine Parabel durch $(-1 \mid -1)$, $(1 \mid 3)$ und $(2{,}5 \mid 6)$? Begründe mit dem Gleichungssystem.

Aufgabe 5: Wurfbahn

Von einem geworfenen Ball wurden drei Positionen gemessen (Koordinaten in m): $(-5 \mid 1)$, $(-3 \mid 4)$, $(3 \mid 1)$. Bestimme die Wurfparabel, die größte Höhe und den Landepunkt.

Aufgabe 6: Brückenbogen

Ein parabelförmiger Brückenbogen ist am Boden $10\,\text{m}$ breit und in der Mitte $5\,\text{m}$ hoch. Wie hoch ist der Bogen $3\,\text{m}$ neben der Mitte?

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Etwa Klasse 9, quadratische Funktionen. Die Simulation verbindet die Parabel mit dem Lösen linearer Gleichungssysteme. Wie weit Systeme mit drei Unbekannten verbindlich sind, unterscheidet sich je nach Lehrplan und Lehrwerk. Gut geeignet zur Vertiefung und zum Modellieren (Wurfbahn, Brückenbogen).
• Bedienung: Die Punkte rasten auf das $0{,}5$er-Gitter ein, damit die Rechnung exakt bleibt. Nicht abbrechende Ergebnisse erscheinen als gekürzter Bruch. Der Term oben links im Bild ist auf zwei Nachkommastellen gerundet.
• Rechenweg: Gezeigt wird das Additionsverfahren mit $\text{II} - \text{I}$ und $\text{III} - \text{I}$. Liegt ein Punkt auf der $y$-Achse, wird $c$ direkt abgelesen. Andere Reihenfolgen sind genauso richtig; ein Vergleich mit Schülerlösungen lohnt sich.
• Häufige Stolpersteine:
  • „$x$ und $y$ sind die Unbekannten.“ – Beim Aufstellen sind $a$, $b$, $c$ gesucht, die Koordinaten sind bekannte Zahlen.
  • Vorzeichenfehler beim Quadrieren: $(-2)^2 = 4$, nicht $-4$. Die Animation zeigt zuerst die eingesetzte Form mit Klammern.
  • „Durch drei Punkte geht immer eine Parabel.“ – Nicht bei gleichen $x$-Werten (keine Funktion) und nicht bei Punkten auf einer Geraden ($a = 0$).
• Aufgabenmodus: Mit calc=0 und Teilen → Ergebnisse verdecken sind Rechenweg, Term und Scheitel verdeckt. Die Parabel bleibt sichtbar und dient zur Kontrolle.