Von der Sekante zur Tangente
Lass einen Punkt Q auf P zulaufen: Aus der Sekante wird die Tangente und aus der mittleren Steigung die Ableitung.
Mathematik – Jahrgangsstufe 11
Qualifikationsphase, 1. und 2. Kurshalbjahr (Q1, Q2; am Gymnasium mit Abitur nach Klasse 12: Jahrgangsstufe 11). Der Rahmenlehrplan ordnet die Standards den Kurshalbjahren schwerpunktmäßig zu; Verschiebungen zwischen Q1 und Q2 sowie zwischen Q2 und Q4 sind zulässig. LK = nur im Leistungskurs. Die Nummern sind von uns vergeben.
Lernbereich Q11. Kurshalbjahr: Analysis (Differentialrechnung)
Mittlere und lokale Änderungsrate, Ableitung und Ableitungsregeln, Kurvenuntersuchung und Modellieren mit Potenz-, ganzrationalen und Exponentialfunktionen.
Q1.1Ableitung und Ableitungsfunktion
Sekanten- und Tangentensteigung, Ableitung als lokale Änderungsrate, Ableitungsfunktion, Konstanten-, Potenz-, Faktor-, Summen-, Produkt- und Kettenregel; Ableitungsgraph aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt.
Ableitungsfunktion grafisch
Eine Tangente gleitet am Graphen entlang und zeichnet dabei die Steigung als neuen Graphen: die Ableitungsfunktion.
Grenzverhalten und Asymptoten
Was passiert mit einem Graphen, wenn x sehr groß wird? Ein Punkt läuft nach außen, und eine Lupe zeigt, wie nah er der Asymptote kommt.
Die natürliche Exponentialfunktion
Warum ist die Zahl e so besonders? Bei der e-Funktion sind Graph und Ableitung genau gleich.
Q1.2Funktionsuntersuchung und Modellieren
Monotonie, Extrema und Wendepunkte, Rekonstruktion von Funktionsgleichungen und Extremalprobleme mit Potenz-, ganzrationalen und Exponentialfunktionen; LK: gebrochenrationale und weitere Funktionen, Asymptoten und Funktionenscharen.
Monotonie, Extrem- und Wendestellen
Untersuche einen Graphen Schritt für Schritt: Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und wo er steigt oder fällt.
Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Vielfachheit und Randverhalten
Schneidet der Graph die x-Achse oder berührt er sie nur? Die Vielfachheit der Nullstelle entscheidet, der höchste Exponent das Verhalten weit draußen.
Potenzfunktionen y = a · xⁿ
Gerade oder ungerade Hochzahl, positiv oder negativ: Mit jedem Exponenten verwandelt sich y = a · xⁿ, nur einige Punkte bleiben immer gleich.
Graphen verschieben, strecken und spiegeln
Verschieben, strecken, spiegeln: Jede Bewegung des Graphen hinterlässt eine Spur im Funktionsterm.
Parabel durch drei Punkte
Ziehe drei Punkte, und die passende Parabel geht immer durch alle drei. Die Gleichung wird Schritt für Schritt berechnet.
Extremwertprobleme
Welche Schachtel fasst am meisten, welche Dose braucht am wenigsten Blech? An fünf Alltagsproblemen findest du mit der Ableitung das Optimum.
Polstellen und Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen
Nullstelle oder Polstelle, Lücke oder Sprung ins Unendliche? Zieht man am Bruchterm, verrät der Graph den Unterschied.
Funktionenscharen
Ein Parameter, unendlich viele Graphen. Wohin wandern die Hochpunkte, wenn k wächst? Auf einer eigenen Kurve, der Ortskurve.
Funktionsplotter mit eigenen Termen
Bis zu drei eigene Funktionen gleichzeitig, mit Wertetabelle, Nullstellen und Schnittpunkten. Das Werkzeug für alles, was ein Graph sein kann.
Lernbereich Q22. Kurshalbjahr: Analysis (Integralrechnung) und Stochastik (Wahrscheinlichkeitsrechnung)
Bestimmtes Integral, Hauptsatz und Stammfunktionen; Lage- und Streumaße, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, Urnenmodell und Simulationen.
Q2.1Analysis (Integralrechnung)
Bestände aus Änderungsraten rekonstruieren, Flächen mit bestimmten Integralen, Hauptsatz geometrisch begründen, Stammfunktionen; LK: ln als Stammfunktion von 1/x, uneigentliche Integrale und Rotationskörper.
Integral als Flächenbilanz (Rechtecksummen)
Fülle die Fläche unter einem Graphen mit Rechtecken. Je mehr Rechtecke, desto genauer wird der Wert des Integrals.
Integralfunktion und Hauptsatz
Die Fläche unter einem Graphen wächst mit. Ihre Änderungsrate ist genau die Funktion selbst: Das ist der Hauptsatz.
Vom Graphen zur Stammfunktion
Die Höhe eines Graphen wird zur Steigung eines neuen: Wer Kontostände kennt, versteht die Stammfunktion schneller als gedacht.
Integral als Gesamtänderung: von der Geschwindigkeit zum Weg
Aus der Geschwindigkeit eines Autos wird der zurückgelegte Weg: Die Fläche unter der Kurve zeigt die Gesamtänderung.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Umkehrfunktionen: Spiegeln an y = x
Den Graphen an y = x spiegeln, und die Umkehrfunktion ist da. Das klappt nur, wenn kein Funktionswert zweimal vorkommt.
Q2.2Stochastik (Wahrscheinlichkeitsrechnung)
Erhebungen auswerten, Baumdiagramm und Vierfeldertafel bei bedingten Wahrscheinlichkeiten, stochastische Unabhängigkeit, Urnenmodell mit und ohne Zurücklegen und Simulationen.
Vierfeldertafel und Mengendiagramm
Vierfeldertafel, Mengendiagramm und Baumdiagramm zeigen dieselben Daten und hängen zusammen. Wer eins verändert, sieht die anderen mitlaufen.
Bedingte Wahrscheinlichkeit am Beispiel medizinischer Tests
Ein medizinischer Test ist positiv, aber wie wahrscheinlich ist man wirklich krank? 1000 Personen zeigen, warum die Antwort oft überrascht.
Ziegenproblem
Spiele selbst oder simuliere tausende Spiele: Lohnt es sich, die Tür zu wechseln?
Geburtstagsproblem simulieren
Wie wahrscheinlich ist es, dass zwei in der Klasse am selben Tag Geburtstag haben? Schon ab 23 Personen ist es wahrscheinlicher als nicht.
Die Kurzbeschreibungen fassen den Lehrplan in eigenen Worten zusammen. Verbindlich ist der Originaltext. Originaltext: Rahmenlehrplan, Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 11