Quadratwurzeln und das Heron-Verfahren
Aus einem Rechteck wird Schritt für Schritt ein Quadrat mit derselben Fläche. Das Verfahren ist fast 2000 Jahre alt und landet erstaunlich schnell bei √2.
Mathematik – Jahrgangsstufe 9/10
Klassenstufen 9 und 10 (Mittlerer Schulabschluss): Der Rahmenlehrplan beschreibt beide Klassenstufen gemeinsam; die Lernbereiche stehen deshalb bei 9 und 10 gleich und werden als eine Stufe gezeigt. Am Gymnasium gelten Basis (B), Erweiterung (E) und Vertiefung (V); der eigene Teil „Klassenstufe 9 (Qualifikation der Berufsreife)“ gilt nicht für das Gymnasium und ist nicht abgebildet. Die Nummern sind von uns vergeben.
Lernbereich 1Zahl und Zahlbereiche
Quadratwurzeln und reelle Zahlen, Näherungsverfahren für Wurzeln und π sowie Potenzen mit ganzen und gebrochenen Exponenten, n-te Wurzel und Logarithmus.
1.1Quadratwurzeln – reelle Zahlen
Quadratwurzeln als Umkehrung des Quadrierens bestimmen und abschätzen, Wurzelgesetze anwenden, irrationale und reelle Zahlen einführen (E).
1.2Näherungsverfahren
Ein Iterationsverfahren für irrationale Wurzeln und eines für π begründen und ausführen, auch mit Software (E); Merkmale eines Algorithmus (V).
Quadratwurzeln und das Heron-Verfahren
Aus einem Rechteck wird Schritt für Schritt ein Quadrat mit derselben Fläche. Das Verfahren ist fast 2000 Jahre alt und landet erstaunlich schnell bei √2.
Kreisumfang, Kreisfläche und die Zahl π
Ein Rad rollt einmal ab und kommt etwas mehr als dreimal so weit wie sein Durchmesser. Zerschnitten wird der Kreis zum Rechteck, und die Flächenformel ergibt sich.
1.3Potenzieren und entsprechende Umkehrungen
Potenzen auf negative und gebrochene Exponenten erweitern, Zehnerpotenzschreibweise, Potenzgesetze, n-te Wurzel und Logarithmus als Umkehrungen (E).
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Lernbereich 2Messen und Größen
Strahlensätze und Bruchgleichungen, Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck, Bogenmaß sowie Volumen und Oberfläche von Pyramide, Kegel und Kugel.
2.1Strahlensätze
Streckenverhältnisse bei zentrisch gestreckten Figuren mit den Strahlensätzen berechnen und für Messungen im Gelände nutzen, einfache Bruchgleichungen lösen (E).
Strahlensätze
Wie hoch ist der Baum, ohne hinaufzuklettern? Zwei Strahlen und eine Parallele genügen, denn die Verhältnisse bleiben gleich.
2.2Trigonometrische Beziehungen
Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck, Beziehungen zwischen ihnen und Sachaufgaben; Sinus- oder Kosinussatz kann exemplarisch erarbeitet werden (E).
Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck hängt das Verhältnis zweier Seiten nur vom Winkel ab. Daraus entstehen Sinus, Kosinus und Tangens, mit Beispielen wie Rampe oder Leiter.
Sinussatz und Kosinussatz
Berechne Seiten und Winkel in beliebigen Dreiecken mit Sinussatz und Kosinussatz. Ein Helfer zeigt, welcher Satz zu deiner Aufgabe passt.
Einheitskreis
Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis und wie daraus die Sinuskurve entsteht.
2.3Bogenmaß
Winkel vom Gradmaß ins Bogenmaß umrechnen und umgekehrt und Sinus, Kosinus und Tangens für Winkel im Bogenmaß angeben (V).
Einheitskreis
Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis und wie daraus die Sinuskurve entsteht.
2.4Berechnungen an Körpern
Volumen und Oberfläche der Pyramide, von Kegel und Kugel (E) berechnen, auch zusammengesetzte Körper; Formeln herleiten, etwa mit dem Satz von Cavalieri (E).
Pyramide, Kegel und Kugel
Dreimal umschütten, dann ist das Prisma voll: Eine Pyramide fasst genau ein Drittel. Kegel und Kugel lassen sich in 3D drehen und vermessen.
Prinzip von Cavalieri
Schiebe einen Münzstapel schief: Die Form ändert sich, das Volumen bleibt gleich. Das ist das Prinzip von Cavalieri.
Lernbereich 3Raum und Form
Ähnliche Figuren und zentrische Streckung, die Satzgruppe des Pythagoras sowie Schrägbilder und Netze von Pyramide und Kegel.
3.1Geometrische Abbildungen
Ähnliche Figuren durch Vergrößern und Verkleinern erzeugen, die Wirkung auf Winkel, Längen und Flächeninhalt untersuchen; zentrische Streckung (E), Ähnlichkeitsabbildungen (V).
Ähnliche Figuren: Wie wachsen Fläche und Volumen?
Vergrößere Strecken, Flächen und Körper. Bei doppelter Länge wird die Fläche viermal und das Volumen achtmal so groß.
3.2Satzgruppe des Pythagoras
Den Satz des Pythagoras begründen und anwenden, einen Beweis erarbeiten, Umkehrung, Kathetensatz und Höhensatz (E), weiteren Beweis vergleichen (V).
Satz des Pythagoras
Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und ein Puzzle-Beweis zeigen: a² + b² = c².
3.3Körper und ihre Darstellungen
Schrägbilder und Netze von Pyramide und Kegel zeichnen und mit dem Körper in Beziehung setzen.
Pyramide, Kegel und Kugel
Dreimal umschütten, dann ist das Prisma voll: Eine Pyramide fasst genau ein Drittel. Kegel und Kugel lassen sich in 3D drehen und vermessen.
Lernbereich 4Funktionaler Zusammenhang: Nicht-lineare Funktionen
Quadratische Funktionen, Potenz-, Exponential- und trigonometrische Funktionen in Sachsituationen erkennen, ihre Graphen beschreiben und den Einfluss der Parameter untersuchen.
4.1Quadratische Funktionen
Parabeln mit Symmetrie, Nullstellen und Scheitelpunkt, Verschieben und Strecken der Normalparabel, Sachsituationen (E); Umkehrung mit Wurzelfunktion (V).
Quadratische Funktion
Strecke, spiegle und verschiebe Parabeln und lies Scheitelpunkt und Nullstellen ab.
Extremwertaufgaben mit Parabeln
Welches Gehege hat die größte Fläche? Bild und Graph zeigen das Maximum, erst durch Probieren, dann genau berechnet.
Funktionsplotter mit eigenen Termen
Bis zu drei eigene Funktionen gleichzeitig, mit Wertetabelle, Nullstellen und Schnittpunkten. Das Werkzeug für alles, was ein Graph sein kann.
Graphen verschieben, strecken und spiegeln
Verschieben, strecken, spiegeln: Jede Bewegung des Graphen hinterlässt eine Spur im Funktionsterm.
Umkehrfunktionen: Spiegeln an y = x
Den Graphen an y = x spiegeln, und die Umkehrfunktion ist da. Das klappt nur, wenn kein Funktionswert zweimal vorkommt.
4.2Potenzfunktionen
Graphen von Potenzfunktionen mit natürlichen und ganzzahligen Exponenten mit Symmetrie, Monotonie und Asymptoten beschreiben, f(x) = a(x + b)ᶻ + c (E); Potenzgleichungen (V).
Potenzfunktionen y = a · xⁿ
Gerade oder ungerade Hochzahl, positiv oder negativ: Mit jedem Exponenten verwandelt sich y = a · xⁿ, nur einige Punkte bleiben immer gleich.
Hyperbeln und ihre Asymptoten
Die Hyperbel kommt ihren Asymptoten immer näher und berührt sie doch nie. Verschieben und Strecken zeigt, was die Parameter bewirken.
Graphen verschieben, strecken und spiegeln
Verschieben, strecken, spiegeln: Jede Bewegung des Graphen hinterlässt eine Spur im Funktionsterm.
4.3Exponentialfunktionen
Wachstums- und Zerfallsprozesse mit Exponentialfunktionen beschreiben, Eigenschaften der Graphen, einfache Exponentialgleichungen lösen (E); Logarithmusfunktion als Umkehrung (V).
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Exponentielles Wachstum und Zerfall
Seerosen auf dem Teich, Zinseszins und Zerfall: Exponentielles Wachstum im Vergleich mit linearem Wachstum.
Umkehrfunktionen: Spiegeln an y = x
Den Graphen an y = x spiegeln, und die Umkehrfunktion ist da. Das klappt nur, wenn kein Funktionswert zweimal vorkommt.
4.4Trigonometrische Funktionen
Periodische Vorgänge erkennen, Kreisbewegungen mit Sinus- und Kosinusfunktion am Einheitskreis beschreiben, Symmetrie, Nullstellen, Periode (E); im Bogenmaß (V).
Einheitskreis
Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis und wie daraus die Sinuskurve entsteht.
Allgemeine Sinusfunktion
Verändere Amplitude, Periode und Verschiebung einer Sinuskurve mit Reglern oder durch Ziehen.
Lernbereich 5Funktionaler Zusammenhang: Terme und Gleichungen
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen und quadratische Gleichungen grafisch und rechnerisch lösen und ihre Lösbarkeit untersuchen.
5.1Lineare Gleichungssysteme
Systeme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen grafisch und rechnerisch lösen, Lösbarkeit untersuchen, Sachaufgaben (E); einfache Systeme mit drei Variablen (V).
Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen
Zwei Gleichungen sind zwei Geraden. Ihr Schnittpunkt ist die Lösung, die du ablesen und durch Einsetzen prüfen kannst.
Parabel durch drei Punkte
Ziehe drei Punkte, und die passende Parabel geht immer durch alle drei. Die Gleichung wird Schritt für Schritt berechnet.
5.2Quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen grafisch und mit der Lösungsformel lösen, Lösbarkeit mit der Diskriminante untersuchen (E); mit Parameter (V).
Gleichungen grafisch lösen: Schnittpunkte von Graphen
Zeichne beide Seiten einer Gleichung als Graphen. Die Lösungen liegen dort, wo sich die Graphen schneiden.
Quadratische Funktion
Strecke, spiegle und verschiebe Parabeln und lies Scheitelpunkt und Nullstellen ab.
Lernbereich 6Daten und Zufall
Statistische Daten mit Vierfeldertafeln darstellen, Wahrscheinlichkeiten zweistufiger Zufallsexperimente mit Baumdiagramm und Pfadregeln bestimmen und Zufall simulieren.
6.1Daten
Statistische Daten aus Quellen entnehmen, darstellen und deuten, auch in Vierfeldertafeln.
Vierfeldertafel und Mengendiagramm
Vierfeldertafel, Mengendiagramm und Baumdiagramm zeigen dieselben Daten und hängen zusammen. Wer eins verändert, sieht die anderen mitlaufen.
Diagramme lesen und kritisch prüfen
Stelle dieselben Daten als Säulen-, Linien-, Kreisdiagramm und mehr dar und entdecke, wie Diagramme täuschen können.
6.2Zufällige Erscheinungen
Wahrscheinlichkeiten zweistufiger Zufallsexperimente mit Baumdiagramm und Pfadregeln bestimmen (E) und mit Simulationen ermitteln, etwa nach dem Monte-Carlo-Verfahren (V).
Mehrstufige Zufallsexperimente und Pfadregeln
Ziehe Kugeln aus einer Urne, mit oder ohne Zurücklegen. Das Baumdiagramm und die Pfadregeln zeigen, wie man Wahrscheinlichkeiten berechnet.
Geburtstagsproblem simulieren
Wie wahrscheinlich ist es, dass zwei in der Klasse am selben Tag Geburtstag haben? Schon ab 23 Personen ist es wahrscheinlicher als nicht.
Monte-Carlo-Methode: π mit Zufall bestimmen
Zufällige Punkte fallen auf ein Quadrat mit einem Kreis darin. Aus dem Anteil im Kreis lässt sich π schätzen.
Ziegenproblem
Spiele selbst oder simuliere tausende Spiele: Lohnt es sich, die Tür zu wechseln?
Die Kurzbeschreibungen fassen den Lehrplan in eigenen Worten zusammen. Verbindlich ist der Originaltext. Originaltext: Rahmenlehrplan und Lehrplan, Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 9/10