Newton-Verfahren
Finde eine Nullstelle näherungsweise mit Tangenten. Jeder Schritt bringt dich näher, aber manchmal geht es auch schief.
Mathematik – Jahrgangsstufe 12/13
Kursstufe (Klassen 12/13), derselbe Inhalt steht auch bei Klasse 13. Leistungsfach (3.5, Überschriften mit „(nur Leistungsfach)“) und Basisfach (3.6, „(Basisfach)“) stehen in diesem einen Eintrag.
Lernbereich 3.5.1Leitidee Zahl – Variable – Operation (nur Leistungsfach)
Näherungsverfahren für e und für Nullstellen, Produkt- und Kettenregel, Integrationsregeln und uneigentliche Integrale. Skalar- und Vektorprodukt sowie das Gaußverfahren für lineare Gleichungssysteme.
3.5.1 (1)–(2)Zahlenwerte approximieren
Die eulersche Zahl näherungsweise bestimmen und ein Iterationsverfahren für Nullstellen begründen und durchführen.
Taylorpolynome
Summand für Summand schmiegt sich ein Polynom an eine Funktion wie sin x an. Ziemlich genau so rechnet ein Taschenrechner.
3.5.1 (3)–(4)weitere Ableitungsregeln anwenden
Produkt- und Kettenregel anwenden, auch für einfache gebrochenrationale Funktionen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
3.5.1 (5)–(8)Integrationsregeln verwenden und Integrale berechnen
Stammfunktionen mit Potenz-, Faktor- und Summenregel und linearer Substitution bestimmen, bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz berechnen und uneigentliche Integrale untersuchen.
Integralfunktion und Hauptsatz
Die Fläche unter einem Graphen wächst mit. Ihre Änderungsrate ist genau die Funktion selbst: Das ist der Hauptsatz.
3.5.1 (9)–(10)Produkte von Vektoren bilden
Skalarprodukt und Vektorprodukt berechnen, geometrisch deuten und nutzen.
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Das Skalarprodukt verrät den Winkel zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor und eine Fläche.
3.5.1 (11)–(13)Gauß-Algorithmus verwenden
Das Gaußverfahren als Algorithmus erläutern, auch in Matrixschreibweise durchführen und die Lösungsmenge eines 3×3-Systems geometrisch deuten.
Matrizen als lineare Abbildungen
Zwei Pfeile bestimmen alles: Wohin sie zeigen, dorthin dreht, streckt oder spiegelt die Matrix das ganze Gitter.
Lernbereich 3.5.2Leitidee Messen (nur Leistungsfach)
Winkel, Abstände (auch zwischen windschiefen Geraden) und Flächen mit Skalar- und Vektorprodukt. Das Integral für Flächen, Mittelwerte und Rotationsvolumen.
3.5.2 (1)–(6)Winkelweiten, Abstände und Flächeninhalte in kartesischen Koordinatensystemen berechnen
Orthogonalität und Winkel mit dem Skalarprodukt, Schnittwinkel von Geraden und Ebenen, Abstände mit der Hesse’schen Normalenform und zwischen windschiefen Geraden sowie Flächen mit dem Vektorprodukt.
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Das Skalarprodukt verrät den Winkel zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor und eine Fläche.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
3.5.2 (7)–(10)das Integral nutzen
Das Integral als Grenzwert von Summen deuten, Mittelwerte von Funktionen, Flächen zwischen Graphen und Volumen von Rotationskörpern berechnen.
Integral als Flächenbilanz (Rechtecksummen)
Fülle die Fläche unter einem Graphen mit Rechtecken. Je mehr Rechtecke, desto genauer wird der Wert des Integrals.
Rotationskörper
Die Fläche unter einem Graphen dreht sich um die x-Achse und wird zu einem Körper. Sein Volumen wird mit Scheiben berechnet.
Lernbereich 3.5.3Leitidee Raum und Form (nur Leistungsfach)
Ebenen in Parameter-, Koordinaten- und Normalenform und Lagebeziehungen im Raum. Spiegelungen, Bewegungen und Beweise mit Vektoren.
3.5.3 (1)–(2)Produkte von Vektoren geometrisch nutzen
Skalar- und Vektorprodukt geometrisch deuten und einen Vektor senkrecht zu zwei gegebenen bestimmen.
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Das Skalarprodukt verrät den Winkel zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor und eine Fläche.
3.5.3 (3)–(7)vektorielle Darstellungen zur Beschreibung des Anschauungsraumes verwenden
Ebenen mit Spurgeraden darstellen, in drei Formen beschreiben und umrechnen, Lagebeziehungen und Schnittgebilde bestimmen sowie Spiegelungen, Abstände, Flächen, Volumen und geradlinige Bewegungen bearbeiten.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
Kugeln, Geraden und Ebenen
Eine Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis, berührt sie in einem Punkt oder verfehlt sie ganz. Kugelgleichung und Tangentialebene inklusive.
3.5.3 (8)vektorielle Darstellungen beim Beweisen nutzen
Einfache geometrische Sätze mit Vektoren beweisen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich 3.5.4Leitidee Funktionaler Zusammenhang (nur Leistungsfach)
Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion, Umkehrfunktionen und zusammengesetzte Funktionen; Extremwertprobleme, Steckbriefaufgaben und Funktionenscharen. Integral, Hauptsatz und Rekonstruktion von Beständen.
3.5.4 (1)–(5)mit der natürlichen Exponential- und Logarithmusfunktion umgehen
Die Rolle der Basis e erklären, Graphen von eˣ und ln x als Umkehrfunktionen skizzieren und ihre Ableitungen und eine Stammfunktion von eˣ angeben.
Die natürliche Exponentialfunktion
Warum ist die Zahl e so besonders? Bei der e-Funktion sind Graph und Ableitung genau gleich.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
3.5.4 (6)–(8)mit Umkehrfunktionen arbeiten
Definitions- und Wertemengen bestimmen, Umkehrbarkeit über strenge Monotonie nachweisen und Terme von Umkehrfunktionen aufstellen.
Umkehrfunktionen: Spiegeln an y = x
Den Graphen an y = x spiegeln, und die Umkehrfunktion ist da. Das klappt nur, wenn kein Funktionswert zweimal vorkommt.
3.5.4 (9)–(11)mit zusammengesetzten Funktionen umgehen
Verkettungen bilden und erkennen, Quotienten bekannter Funktionen auf Asymptoten und Nullstellen untersuchen und Summen, Produkte und Verkettungen analysieren.
Polstellen und Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen
Nullstelle oder Polstelle, Lücke oder Sprung ins Unendliche? Zieht man am Bruchterm, verrät der Graph den Unterschied.
Funktionsplotter mit eigenen Termen
Bis zu drei eigene Funktionen gleichzeitig, mit Wertetabelle, Nullstellen und Schnittpunkten. Das Werkzeug für alles, was ein Graph sein kann.
Grenzverhalten und Asymptoten
Was passiert mit einem Graphen, wenn x sehr groß wird? Ein Punkt läuft nach außen, und eine Lupe zeigt, wie nah er der Asymptote kommt.
Fourier-Reihen
Rechteck, Sägezahn und andere Formen entstehen aus vielen Sinusschwingungen. Auf Wunsch kannst du sie auch anhören.
3.5.4 (12)–(14)Differentialrechnung anwenden
Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen lösen, Funktionsterme aus Eigenschaften ermitteln und Funktionenscharen untersuchen.
Funktionenscharen
Ein Parameter, unendlich viele Graphen. Wohin wandern die Hochpunkte, wenn k wächst? Auf einer eigenen Kurve, der Ortskurve.
Extremwertprobleme
Welche Schachtel fasst am meisten, welche Dose braucht am wenigsten Blech? An fünf Alltagsproblemen findest du mit der Ableitung das Optimum.
3.5.4 (15)–(22)die Grundidee der Integralrechnung verstehen und mit Integralen umgehen
Das Integral als orientierte Fläche und Bestandsänderung deuten, Bestände aus Änderungsraten rekonstruieren, Hauptsatz, Integral- und Stammfunktion unterscheiden und nutzen sowie grafisch zwischen Funktion und Stammfunktion schließen.
Integralfunktion und Hauptsatz
Die Fläche unter einem Graphen wächst mit. Ihre Änderungsrate ist genau die Funktion selbst: Das ist der Hauptsatz.
Vom Graphen zur Stammfunktion
Die Höhe eines Graphen wird zur Steigung eines neuen: Wer Kontostände kennt, versteht die Stammfunktion schneller als gedacht.
Integral als Flächenbilanz (Rechtecksummen)
Fülle die Fläche unter einem Graphen mit Rechtecken. Je mehr Rechtecke, desto genauer wird der Wert des Integrals.
Integral als Gesamtänderung: von der Geschwindigkeit zum Weg
Aus der Geschwindigkeit eines Autos wird der zurückgelegte Weg: Die Fläche unter der Kurve zeigt die Gesamtänderung.
Lernbereich 3.5.5Leitidee Daten und Zufall (nur Leistungsfach)
Ein- und zweiseitige Hypothesentests bei binomialverteilten Zufallsgrößen mit Fehlern erster und zweiter Art. Normalverteilung als stetige Verteilung.
3.5.5 (1)–(7)Hypothesen bei binomialverteilten Zufallsgrößen testen
Die Logik des Testens erklären, Nullhypothesen formulieren, Ablehnungsbereich und Irrtumswahrscheinlichkeit bestimmen und darstellen sowie Fehler erster und zweiter Art und den Einfluss des Stichprobenumfangs erläutern.
Einseitiger Signifikanztest: Fehler 1. und 2. Art
Ein Test entscheidet zwischen zwei Vermutungen. Farbige Flächen zeigen, wie oft er sich irren kann.
Binomialverteilung
Das Histogramm der Binomialverteilung: Wähle einen Bereich und lies die Wahrscheinlichkeit direkt ab.
3.5.5 (8)–(10)mit Normalverteilungen umgehen
Diskrete und stetige Zufallsgrößen unterscheiden, die Dichtefunktion mit Erwartungswert und Standardabweichung angeben und Wahrscheinlichkeiten bei annähernd normalverteilten Größen berechnen.
Galtonbrett
An jedem Nagel links oder rechts, rein zufällig. Trotzdem türmen sich die Kugeln jedes Mal zur selben Glockenform auf.
Normalverteilung
Wie viele Flaschen sind zu leicht befüllt? Unter der Glockenkurve ist jede Wahrscheinlichkeit eine Fläche, mit den Sigma-Regeln als Faustregel.
Lernbereich 3.6.1Leitidee Zahl – Variable – Operation (Basisfach)
Natürlicher Logarithmus, Produktregel und Kettenregel mit linearer innerer Funktion, Integrationsregeln. Skalar- und Vektorprodukt und das Gaußverfahren ohne Parameter.
3.6.1 (1)den natürlichen Logarithmus nutzen
Exponentialgleichungen mit dem natürlichen Logarithmus lösen.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
3.6.1 (2)–(3)weitere Ableitungsregeln anwenden
Produktregel und Kettenregel (mit linearer innerer Funktion) anwenden.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
3.6.1 (4)–(6)Integrationsregeln verwenden und Integrale berechnen
Stammfunktionen mit den Grundregeln und linearer Substitution bestimmen und bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz berechnen.
Integralfunktion und Hauptsatz
Die Fläche unter einem Graphen wächst mit. Ihre Änderungsrate ist genau die Funktion selbst: Das ist der Hauptsatz.
3.6.1 (7)–(8)Produkte von Vektoren bilden
Skalarprodukt und Vektorprodukt berechnen und bei Berechnungen nutzen.
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Das Skalarprodukt verrät den Winkel zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor und eine Fläche.
3.6.1 (9)–(10)lineare Gleichungssysteme untersuchen
Das Gaußverfahren bis zur Stufenform anwenden und die Lösungsvielfalt angeben.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich 3.6.2Leitidee Messen (Basisfach)
Winkel, Abstand Punkt–Ebene und Flächen mit Skalar- und Vektorprodukt. Das Integral zur Flächenberechnung.
3.6.2 (1)–(5)Winkelweiten, Abstände und Flächeninhalte in kartesischen Koordinatensystemen berechnen
Orthogonalität und Winkel mit dem Skalarprodukt prüfen, Schnittwinkel und den Abstand eines Punktes von einer Ebene bestimmen sowie Flächen mit dem Vektorprodukt berechnen.
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Das Skalarprodukt verrät den Winkel zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor und eine Fläche.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
3.6.2 (6)–(7)das Integral nutzen
Das Integral anschaulich als Grenzprozess beschreiben und Flächen zwischen Graph und x-Achse sowie zwischen zwei Graphen bestimmen.
Integral als Flächenbilanz (Rechtecksummen)
Fülle die Fläche unter einem Graphen mit Rechtecken. Je mehr Rechtecke, desto genauer wird der Wert des Integrals.
Lernbereich 3.6.3Leitidee Raum und Form (Basisfach)
Ebenen in Parameter- und Koordinatenform und Lagebeziehungen von Gerade und Ebene sowie zweier Ebenen. Anwendungen wie Spiegelungen und geradlinige Bewegungen.
3.6.3 (1)–(2)Produkte von Vektoren geometrisch nutzen
Skalar- und Vektorprodukt geometrisch deuten und einen gemeinsamen senkrechten Vektor bestimmen.
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Das Skalarprodukt verrät den Winkel zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor und eine Fläche.
3.6.3 (3)–(8)vektorielle Darstellungen zur Beschreibung des Anschauungsraumes verwenden
Ebenen mit Spurgeraden darstellen, in Parameter- und Koordinatenform beschreiben, Lage von Gerade und Ebene sowie zweier Ebenen untersuchen und Anwendungsaufgaben lösen.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
Lernbereich 3.6.4Leitidee Funktionaler Zusammenhang (Basisfach)
Natürliche Exponentialfunktion und einfache zusammengesetzte Funktionen; Extremwerte in Sachzusammenhängen und Funktionsbestimmung. Integral als Fläche und Bestandsänderung, Hauptsatz.
3.6.4 (1)–(3)mit der natürlichen Exponentialfunktion umgehen
Die besondere Basis e beschreiben, den Graphen von eˣ mit Asymptote skizzieren und Ableitung und Stammfunktion angeben.
Die natürliche Exponentialfunktion
Warum ist die Zahl e so besonders? Bei der e-Funktion sind Graph und Ableitung genau gleich.
3.6.4 (4)–(5)mit zusammengesetzten Funktionen umgehen
Verkettungen mit linearer innerer Funktion erkennen und Summen, Produkte und solche Verkettungen untersuchen.
Funktionsplotter mit eigenen Termen
Bis zu drei eigene Funktionen gleichzeitig, mit Wertetabelle, Nullstellen und Schnittpunkten. Das Werkzeug für alles, was ein Graph sein kann.
3.6.4 (6)–(7)Differentialrechnung anwenden
Extremwerte in Sachzusammenhängen bestimmen und eindeutig festgelegte Funktionsterme ermitteln.
Extremwertprobleme
Welche Schachtel fasst am meisten, welche Dose braucht am wenigsten Blech? An fünf Alltagsproblemen findest du mit der Ableitung das Optimum.
3.6.4 (8)–(13)die Grundidee der Integralrechnung verstehen und mit Integralen umgehen
Das Integral als orientierte Fläche und Bestandsänderung deuten, Bestände rekonstruieren, den Hauptsatz anwenden und grafisch zwischen Funktion und Stammfunktion schließen.
Integralfunktion und Hauptsatz
Die Fläche unter einem Graphen wächst mit. Ihre Änderungsrate ist genau die Funktion selbst: Das ist der Hauptsatz.
Vom Graphen zur Stammfunktion
Die Höhe eines Graphen wird zur Steigung eines neuen: Wer Kontostände kennt, versteht die Stammfunktion schneller als gedacht.
Integral als Gesamtänderung: von der Geschwindigkeit zum Weg
Aus der Geschwindigkeit eines Autos wird der zurückgelegte Weg: Die Fläche unter der Kurve zeigt die Gesamtänderung.
Lernbereich 3.6.5Leitidee Daten und Zufall (Basisfach)
Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung: diskrete und stetige Zufallsgrößen und die Glockenkurve.
3.6.5 (1)–(3)mit Normalverteilungen umgehen
Diskrete und stetige Zufallsgrößen unterscheiden, den Einfluss von Erwartungswert und Standardabweichung auf die Glockenkurve beschreiben und Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Galtonbrett
An jedem Nagel links oder rechts, rein zufällig. Trotzdem türmen sich die Kugeln jedes Mal zur selben Glockenform auf.
Normalverteilung
Wie viele Flaschen sind zu leicht befüllt? Unter der Glockenkurve ist jede Wahrscheinlichkeit eine Fläche, mit den Sigma-Regeln als Faustregel.
Die Kurzbeschreibungen fassen den Lehrplan in eigenen Worten zusammen. Verbindlich ist der Originaltext. Originaltext: Bildungsplan, Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 12/13