Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Mathematik – Jahrgangsstufe 10
Jahrgangsstufe 10: Der Rahmenlehrplan 1–10 ist nach Niveaustufen A–H gegliedert, nicht nach Jahrgängen; für das Gymnasium gilt in Jahrgangsstufe 10 die Niveaustufe H, die Eingangsvoraussetzungen für die Qualifikationsphase. Lernbereiche sind die Themenbereiche, Unterbereiche ihre Themen; die Nummern sind von uns vergeben.
Lernbereich 1Zahlen und Operationen (Niveaustufe H)
1.1Zahlvorstellungen
Zahlen situationsgerecht darstellen, ganze, rationale und reelle Zahlen angemessen verwenden, Einschachtelung von Quadratwurzeln oder π.
Passende Simulationen stehen bei Jahrgangsstufe 5/6, Jahrgangsstufe 7, Jahrgangsstufe 8, Jahrgangsstufe 9
1.2Operationsvorstellungen und Rechenstrategien
Potenzen mit rationalen Exponenten und Wurzelgesetze, Logarithmen als Umkehrung des Potenzierens.
Lernbereich 2Größen und Messen (Niveaustufe H)
2.1Größenvorstellungen und Messen
Bogen- und Gradmaß am Einheitskreis, krummlinig begrenzte Figuren näherungsweise bestimmen.
Einheitskreis
Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis und wie daraus die Sinuskurve entsteht.
2.2Rechnen mit Größen
Volumen schiefer Prismen, Zylinder und Pyramiden mit dem Satz von Cavalieri, Kosinussatz auch für Winkel.
Prinzip von Cavalieri
Schiebe einen Münzstapel schief: Die Form ändert sich, das Volumen bleibt gleich. Das ist das Prinzip von Cavalieri.
Sinussatz und Kosinussatz
Berechne Seiten und Winkel in beliebigen Dreiecken mit Sinussatz und Kosinussatz. Ein Helfer zeigt, welcher Satz zu deiner Aufgabe passt.
Pyramide, Kegel und Kugel
Dreimal umschütten, dann ist das Prisma voll: Eine Pyramide fasst genau ein Drittel. Kegel und Kugel lassen sich in 3D drehen und vermessen.
Lernbereich 3Raum und Form (Niveaustufe H)
3.1Geometrische Objekte
Eigenschaften geometrischer Objekte mit Symmetrie, Winkelsätzen, trigonometrischen Beziehungen und den Sätzen von Thales und Pythagoras begründen.
Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck hängt das Verhältnis zweier Seiten nur vom Winkel ab. Daraus entstehen Sinus, Kosinus und Tangens, mit Beispielen wie Rampe oder Leiter.
3.2Geometrische Abbildungen
Eigenschaften geometrischer Objekte mit Kongruenz und Ähnlichkeit begründen.
Passende Simulationen stehen bei Jahrgangsstufe 5/6, Jahrgangsstufe 7, Jahrgangsstufe 9
Lernbereich 4Gleichungen und Funktionen (Niveaustufe H)
4.1Terme und Gleichungen
Quadratische Ergänzung, Exponentialgleichungen mit Logarithmus, Gleichungen höheren Grades und lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen, etwa zur Rekonstruktion quadratischer Funktionen.
Parabel durch drei Punkte
Ziehe drei Punkte, und die passende Parabel geht immer durch alle drei. Die Gleichung wird Schritt für Schritt berechnet.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen
Zwei Gleichungen sind zwei Geraden. Ihr Schnittpunkt ist die Lösung, die du ablesen und durch Einsetzen prüfen kannst.
4.2Zuordnungen und Funktionen
Quadratische, trigonometrische, Potenz- und Exponentialfunktionen mit Parametern, Umkehrfunktionen, mittlere und lokale Änderungsrate ganzrationaler Funktionen und Skizze der Ableitungsfunktion.
Quadratische Funktion
Strecke, spiegle und verschiebe Parabeln und lies Scheitelpunkt und Nullstellen ab.
Allgemeine Sinusfunktion
Verändere Amplitude, Periode und Verschiebung einer Sinuskurve mit Reglern oder durch Ziehen.
Einheitskreis
Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis und wie daraus die Sinuskurve entsteht.
Potenzfunktionen y = a · xⁿ
Gerade oder ungerade Hochzahl, positiv oder negativ: Mit jedem Exponenten verwandelt sich y = a · xⁿ, nur einige Punkte bleiben immer gleich.
Hyperbeln und ihre Asymptoten
Die Hyperbel kommt ihren Asymptoten immer näher und berührt sie doch nie. Verschieben und Strecken zeigt, was die Parameter bewirken.
Exponentielles Wachstum und Zerfall
Seerosen auf dem Teich, Zinseszins und Zerfall: Exponentielles Wachstum im Vergleich mit linearem Wachstum.
Umkehrfunktionen: Spiegeln an y = x
Den Graphen an y = x spiegeln, und die Umkehrfunktion ist da. Das klappt nur, wenn kein Funktionswert zweimal vorkommt.
Graphen verschieben, strecken und spiegeln
Verschieben, strecken, spiegeln: Jede Bewegung des Graphen hinterlässt eine Spur im Funktionsterm.
Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Vielfachheit und Randverhalten
Schneidet der Graph die x-Achse oder berührt er sie nur? Die Vielfachheit der Nullstelle entscheidet, der höchste Exponent das Verhalten weit draußen.
Von der Sekante zur Tangente
Lass einen Punkt Q auf P zulaufen: Aus der Sekante wird die Tangente und aus der mittleren Steigung die Ableitung.
Ableitungsfunktion grafisch
Eine Tangente gleitet am Graphen entlang und zeichnet dabei die Steigung als neuen Graphen: die Ableitungsfunktion.
Funktionsplotter mit eigenen Termen
Bis zu drei eigene Funktionen gleichzeitig, mit Wertetabelle, Nullstellen und Schnittpunkten. Das Werkzeug für alles, was ein Graph sein kann.
Lernbereich 5Daten und Zufall (Niveaustufe H)
5.1Daten
Mittelwerte und Streumaße wie Spannweite und Boxbreite analysieren und interpretieren.
Passende Simulationen stehen bei Jahrgangsstufe 5/6, Jahrgangsstufe 7, Jahrgangsstufe 8, Jahrgangsstufe 9
5.2Zählstrategien und Wahrscheinlichkeiten
Anzahlen mit Fakultät und Binomialkoeffizient, Wahrscheinlichkeiten über relative Häufigkeiten und Simulationen schätzen und Häufigkeiten vorhersagen.
Geburtstagsproblem simulieren
Wie wahrscheinlich ist es, dass zwei in der Klasse am selben Tag Geburtstag haben? Schon ab 23 Personen ist es wahrscheinlicher als nicht.
Monte-Carlo-Methode: π mit Zufall bestimmen
Zufällige Punkte fallen auf ein Quadrat mit einem Kreis darin. Aus dem Anteil im Kreis lässt sich π schätzen.
Bedingte Wahrscheinlichkeit am Beispiel medizinischer Tests
Ein medizinischer Test ist positiv, aber wie wahrscheinlich ist man wirklich krank? 1000 Personen zeigen, warum die Antwort oft überrascht.
Die Kurzbeschreibungen fassen den Lehrplan in eigenen Worten zusammen. Verbindlich ist der Originaltext. Originaltext: Rahmenlehrplan, Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 10