Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens

Worum geht es?

Beim Potenzieren fragt man: Was ergibt $2^3$? Antwort: $8$. Der Logarithmus stellt die umgekehrte Frage: „2 hoch wie viel ergibt 8?“ Antwort: $3$. Man schreibt $\log_2 8 = 3$.

Dabei heißt $b$ die Basis und $y$ der Numerus. Zwei Logarithmen haben eigene Namen: der Zehnerlogarithmus $\lg y = \log_{10} y$ und der natürliche Logarithmus $\ln y = \log_e y$ mit der eulerschen Zahl $e \approx 2{,}718$.

• Nicht definiert: Für $y \le 0$ gibt es keinen Logarithmus, denn $b^x$ ist immer positiv. Die Basis $b = 1$ ist ausgeschlossen, weil $1^x = 1$ für alle $x$ gilt.
• Besondere Werte: $\log_b 1 = 0$ (denn $b^0 = 1$) und $\log_b b = 1$ (denn $b^1 = b$). Zahlen zwischen $0$ und $1$ haben bei $b > 1$ negative Logarithmen, z. B. $\log_2 0{,}5 = -1$.
• Umkehrfunktion: Die Funktion $f(x) = \log_b x$ ist die Umkehrfunktion von $g(x) = b^x$. Ihr Graph entsteht durch Spiegelung an der Geraden $y = x$: Aus dem Punkt $(x \mid b^x)$ wird $(b^x \mid x)$.
• Steckbrief von $f(x) = \log_b x$: $D = \mathbb{R}^+$, $W = \mathbb{R}$, Nullstelle $x = 1$, Punkt $(b \mid 1)$, senkrechte Asymptote $x = 0$; streng monoton steigend für $b > 1$, fallend für $0 < b < 1$.

Rechengesetze (für $u, v > 0$): Sie folgen direkt aus den Potenzgesetzen, z. B. $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$.

Exponentialgleichungen wie $2^x = 10$ löst man durch Logarithmieren: $x = \log_2 10$. Mit dem Taschenrechner hilft der Basiswechsel:

Die Simulation schreibt „=“ bei exakten Werten (z. B. $\log_2 8 = 3$) und „≈“ bei gerundeten Werten (z. B. $\lg 20 \approx 1{,}3010$).

Ausprobieren

1. Ziehe den Punkt $P$ auf dem blauen Graphen von $y = 2^x$. Sein Spiegelbild $P'$ auf dem roten Graphen von $y = \log_2 x$ hat die Koordinaten vertauscht. Lies an $P'$ ab: $\log_2 4 = 2$, $\log_2 0{,}5 = -1$.
2. Klicke auf An y = x spiegeln: Der Exponentialgraph klappt um die Gerade $y = x$ und wird zum Logarithmusgraphen. Die Musterpunkte wandern dabei senkrecht zu $y = x$.
3. Ziehe den Punkt $B(1 \mid b)$ nach unten unter $1$. Was passiert mit beiden Graphen? Warum springt die Basis über die $1$ hinweg? Beispiel laden
4. Tippe im Bild auf die Basen $2$, $e$, $10$ und $0{,}5$. Welche Punkte bleiben immer gleich? Natürlicher Logarithmus
5. Wähle die Ansicht Rechengesetze und klicke auf Pfeile aneinanderlegen: Zwei Pfeile der Längen $\log_2 4 = 2$ und $\log_2 8 = 3$ ergeben zusammen $\log_2 32 = 5$ – und $4 \cdot 8 = 32$. So funktionierte früher der Rechenschieber. Beispiel laden
6. Ziehe die Pfeilenden und beobachte die Rechnung. Probiere auch Quotienten- und Potenzregel. Beispiel mit lg
7. Wähle Exponentialgleichung lösen und ziehe den Schnittpunkt $S$. Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt die Lösung von $2^x = 10$? Beispiel laden

Aufgaben

Aufgabe 1: Logarithmen im Kopf

Bestimme ohne Taschenrechner: $\log_2 32$, $\log_3 \frac{1}{9}$, $\lg 0{,}001$, $\log_5 1$ und $\log_4 2$.

Aufgabe 2: Eine Exponentialgleichung lösen

Löse $2^x = 10$. Grenze die Lösung zuerst zwischen zwei ganzen Zahlen ein und berechne sie dann mit dem Basiswechsel auf zwei Nachkommastellen. Aufgabe laden

Aufgabe 3: Noch eine Gleichung

Löse $3^x = 50$ und mache die Probe. Aufgabe laden

Aufgabe 4: Rechengesetze anwenden

Berechne ohne Taschenrechner: a) $\lg 20 + \lg 50$, b) $\log_2 48 - \log_2 3$, c) $\log_3\left(9^4\right)$.

Aufgabe 5: Basis kleiner als 1

Für welches $x$ gilt $0{,}5^x = 8$? Begründe am Graphen, warum die Lösung negativ ist.

Aufgabe 6: Wann verdoppelt sich das Kapital?

Ein Guthaben wächst jedes Jahr um $5\,\%$, also mit dem Faktor $1{,}05$. Nach wie vielen Jahren hat es sich verdoppelt?

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Etwa Klasse 10, exponentielles Wachstum und Logarithmus: Einführung des Logarithmus über die Frage „$b$ hoch wie viel?“, Exponentialgleichungen, Rechengesetze. Die Logarithmusfunktion und der natürliche Logarithmus $\ln$ als Umkehrfunktion der $e$-Funktion gehören meist in die Oberstufe.
• Einstieg ohne Formel: Die Wertetabelle von $2^x$ „rückwärts lesen“ lassen und dann mit der Spiegelung an $y = x$ zum Graphen übergehen.
• Rechenschieber: Die Ansicht „Rechengesetze“ eignet sich, um zu zeigen, warum man vor dem Taschenrechner mit Logarithmentafeln und Rechenschiebern multiplizierte: Aus einer Multiplikation wird eine Addition von Strecken.
• Häufige Stolpersteine:
  • „$\log_b(u + v) = \log_b u + \log_b v$“ – falsch; das Produktgesetz gilt für das Produkt, z. B. $\lg(20 + 50) \neq \lg 20 + \lg 50 = 3$.
  • „$\log_2 0{,}5$ gibt es nicht“ – doch: $-1$. Nur für Zahlen $\le 0$ ist der Logarithmus nicht definiert.
  • Beim Basiswechsel werden Zähler und Nenner vertauscht: richtig ist $\log_b c = \frac{\lg c}{\lg b}$ – die Probe $b^x \approx c$ deckt den Fehler sofort auf.
  • Die Basis $b = 1$ wird versucht: $1^x = 1$ liefert für $c \neq 1$ keine und für $c = 1$ unendlich viele Lösungen.
• Aufgabenmodus: Mit info=0 und Teilen → Ergebnisse verdecken werden Logarithmen und Lösungen im Bild durch „?“ ersetzt; mit Lösung zeigen lässt sich die Lösung animiert aufdecken.