Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Mathematik – Jahrgangsstufe 12
Studienstufe, zweites Jahr (S3/S4; am Gymnasium: Jahrgangsstufe 12): Module 4 und 5 sowie eines der Wahlpflichtmodule 6 (Analytische Geometrie) und 7 (Lineare Algebra). eA = nur auf erhöhtem Anforderungsniveau. Die Nummern sind die Modulnummern des Bildungsplans.
Lernbereich 4Änderungsraten und Bestände (Exponentialfunktionen)
Wachstumsmodelle mit e-Funktionen, Eulersche Zahl, ln-Funktion als Umkehrfunktion, Ableitungen und Integrale als Bestandsänderungen; eA: Funktionsscharen, numerische Nullstellenbestimmung.
Umkehrfunktionen: Spiegeln an y = x
Den Graphen an y = x spiegeln, und die Umkehrfunktion ist da. Das klappt nur, wenn kein Funktionswert zweimal vorkommt.
Die natürliche Exponentialfunktion
Warum ist die Zahl e so besonders? Bei der e-Funktion sind Graph und Ableitung genau gleich.
Newton-Verfahren
Finde eine Nullstelle näherungsweise mit Tangenten. Jeder Schritt bringt dich näher, aber manchmal geht es auch schief.
Monotonie, Extrem- und Wendestellen
Untersuche einen Graphen Schritt für Schritt: Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und wo er steigt oder fällt.
Funktionenscharen
Ein Parameter, unendlich viele Graphen. Wohin wandern die Hochpunkte, wenn k wächst? Auf einer eigenen Kurve, der Ortskurve.
Integral als Gesamtänderung: von der Geschwindigkeit zum Weg
Aus der Geschwindigkeit eines Autos wird der zurückgelegte Weg: Die Fläche unter der Kurve zeigt die Gesamtänderung.
Lernbereich 5Anwendungsprobleme der Stochastik
Diskrete Zufallsgrößen, Binomialverteilung mit Erwartungswert, Standardabweichung und Sigma-Regeln; eA: Hypothesentests und Normalverteilung.
Galtonbrett
An jedem Nagel links oder rechts, rein zufällig. Trotzdem türmen sich die Kugeln jedes Mal zur selben Glockenform auf.
Binomialverteilung
Das Histogramm der Binomialverteilung: Wähle einen Bereich und lies die Wahrscheinlichkeit direkt ab.
Einseitiger Signifikanztest: Fehler 1. und 2. Art
Ein Test entscheidet zwischen zwei Vermutungen. Farbige Flächen zeigen, wie oft er sich irren kann.
Normalverteilung
Wie viele Flaschen sind zu leicht befüllt? Unter der Glockenkurve ist jede Wahrscheinlichkeit eine Fläche, mit den Sigma-Regeln als Faustregel.
Lernbereich 6Analytische Geometrie (Wahlpflichtmodul)
Geraden und Ebenen mit Vektoren, Ebenengleichungen, Spurpunkte, Lagebeziehungen, Schnittpunkte und Winkel, Normalenvektoren, Spiegelung; eA: Abstände, Gauß-Verfahren.
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Das Skalarprodukt verrät den Winkel zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor und eine Fläche.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
Lernbereich 7Lineare Algebra (Wahlpflichtmodul)
Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren, Wachstums- und Umverteilungsprozesse mit Übergangsmatrizen, Matrixpotenzen, Fixvektoren und Langzeitverhalten.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Die Kurzbeschreibungen fassen den Lehrplan in eigenen Worten zusammen. Verbindlich ist der Originaltext. Originaltext: Bildungsplan, Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 12