Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Vielfachheit und Randverhalten
Schneidet der Graph die x-Achse oder berührt er sie nur? Die Vielfachheit der Nullstelle entscheidet, der höchste Exponent das Verhalten weit draußen.
Mathematik – Jahrgangsstufe 11
Einführungsphase E1/E2 „Grundlagen der Analysis“. Verbindlich sind die Themenfelder E.1–E.5. Das Kerncurriculum nennt nur Kurshalbjahre; die Zuordnung zu Jahrgangsstufe 11 ist eine Annahme (G9).
Lernbereich E.1Funktionen und ihre Darstellung
Verbindliches Themenfeld. Wiederholung und Vertiefung des Funktionsbegriffs an ganzrationalen Funktionen: Eigenschaften, besondere Punkte und Modellieren mit linearen und quadratischen Funktionen.
E.1.1Erarbeiten grundlegender Begriffe und Eigenschaften anhand von ganzrationalen Funktionen
Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, Verhalten für große |x| sowie Verschieben und Strecken von Graphen.
Graphen verschieben, strecken und spiegeln
Verschieben, strecken, spiegeln: Jede Bewegung des Graphen hinterlässt eine Spur im Funktionsterm.
Grenzverhalten und Asymptoten
Was passiert mit einem Graphen, wenn x sehr groß wird? Ein Punkt läuft nach außen, und eine Lupe zeigt, wie nah er der Asymptote kommt.
E.1.2Bestimmen besonderer Punkte
Achsenschnittpunkte und Schnittpunkte zweier Graphen grafisch und rechnerisch finden.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
E.1.3Modellieren von Realsituationen durch geeignete Funktionsklassen
Sachsituationen vor allem mit linearen und quadratischen Funktionen beschreiben.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich E.2Einführung des Ableitungsbegriffs
Verbindliches Themenfeld. Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Sekante wird zur Tangente, Ableitung an einer Stelle und Ableitungsfunktion, erste Ableitungsregeln.
E.2.1Bedeutung der Ableitung als lokale Änderungsrate und als Tangentensteigung
Änderungsraten in Sachkontexten deuten, besonders Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit.
Von der Sekante zur Tangente
Lass einen Punkt Q auf P zulaufen: Aus der Sekante wird die Tangente und aus der mittleren Steigung die Ableitung.
E.2.2Ableitung einer Funktion an einer Stelle
Grenzübergang vom Differenzen- zum Differenzialquotienten mit propädeutischem Grenzwertbegriff; Tangente und Normale.
Von der Sekante zur Tangente
Lass einen Punkt Q auf P zulaufen: Aus der Sekante wird die Tangente und aus der mittleren Steigung die Ableitung.
E.2.3Zusammenhang von Ableitungs- und Funktionsgraphen
Grafisch ableiten, Graphen von f und f′ einander begründet zuordnen; Begriff der Stammfunktion.
Ableitungsfunktion grafisch
Eine Tangente gleitet am Graphen entlang und zeichnet dabei die Steigung als neuen Graphen: die Ableitungsfunktion.
E.2.4Ableitungsregeln
Potenz-, Faktor- und Summenregel begründen und ganzrationale Funktionen ableiten.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich E.3Anwendungen des Ableitungsbegriffs
Verbindliches Themenfeld. Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen, Rekonstruktion von Funktionen aus Eigenschaften und Lösen von Extremalproblemen.
E.3.1Funktionsuntersuchung bei ganzrationalen Funktionen
Monotonie, Krümmung, Extrem- und Wendestellen mit notwendigen und hinreichenden Kriterien bestimmen.
Monotonie, Extrem- und Wendestellen
Untersuche einen Graphen Schritt für Schritt: Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und wo er steigt oder fällt.
Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Vielfachheit und Randverhalten
Schneidet der Graph die x-Achse oder berührt er sie nur? Die Vielfachheit der Nullstelle entscheidet, der höchste Exponent das Verhalten weit draußen.
E.3.2Rekonstruktion von ganzrationalen Funktionen anhand ihrer Eigenschaften
Aus Bedingungen (z. B. Extrempunkt, knickfreier Anschluss) eine passende Funktionsgleichung bestimmen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
E.3.3Extremalprobleme
Inner- und außermathematische Optimierungsaufgaben mit der Ableitung lösen.
Extremwertprobleme
Welche Schachtel fasst am meisten, welche Dose braucht am wenigsten Blech? An fünf Alltagsproblemen findest du mit der Ableitung das Optimum.
Lernbereich E.4Exponentialfunktionen
Verbindliches Themenfeld. Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall, die e-Funktion und ihre Ableitung, Produkt- und Kettenregel sowie Lösen von Exponentialgleichungen.
E.4.1Wachstums- und Zerfallsprozesse
Parameter in f(x) = a·bˣ + c deuten, Halbwerts- und Verdopplungszeit, Modellieren mit Daten.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
E.4.2Die (natürliche) Exponentialfunktion f(x) = eˣ
Die Zahl e und die Ableitung von eˣ anschaulich herleiten; Basiswechsel zur Basis e.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
E.4.3Produkt- und Kettenregel
Produkte und Verkettungen aus ganzrationalen und Exponentialfunktionen ableiten.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
E.4.4Exponentialgleichungen
Exponentialgleichungen über das Logarithmieren algebraisch lösen.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Lernbereich E.5Trigonometrische Funktionen
Verbindliches Themenfeld. Periodische Vorgänge mit Sinus- und Kosinusfunktionen beschreiben, Parameter deuten und die Ableitungen dieser Funktionen bestimmen.
E.5.1Periodische Prozesse
Bogenmaß, Bedeutung der Parameter in a·sin[b·(x − c)] + d, Periode, Amplitude und Modellieren mit Daten.
Allgemeine Sinusfunktion
Verändere Amplitude, Periode und Verschiebung einer Sinuskurve mit Reglern oder durch Ziehen.
E.5.2Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion
Ableitungen durch grafisches Differenzieren begründen.
Ableitungsfunktion grafisch
Eine Tangente gleitet am Graphen entlang und zeichnet dabei die Steigung als neuen Graphen: die Ableitungsfunktion.
E.5.3Ableitung von f(x) = a·sin[b·(x − c)] + d beziehungsweise f(x) = a·cos[b·(x − c)] + d
Mit der Kettenregel ableiten und Ableitungswerte im Sachkontext deuten; Tangenten und Normalen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich E.6Weitere Verfahren zum Lösen von Gleichungen
Nicht verbindliches Themenfeld. Polynomdivision zur Nullstellensuche und numerische Näherungsverfahren für Gleichungen.
E.6.1Polynomdivision
Polynome faktorisieren, um Nullstellen zu bestimmen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
E.6.2Numerische Lösungsverfahren
Bisektion, Newton-Verfahren und Regula falsi vergleichen, inklusive Konvergenz und Grenzen.
Newton-Verfahren
Finde eine Nullstelle näherungsweise mit Tangenten. Jeder Schritt bringt dich näher, aber manchmal geht es auch schief.
Lernbereich E.7Folgen und Reihen
Nicht verbindliches Themenfeld. Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen sowie deren Grenzwerte.
E.7.1Folgen
Konvergenz und Divergenz begründen und Grenzwerte mit Grenzwertsätzen bestimmen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
E.7.2Reihen
Arithmetische und geometrische Reihen und ihre Grenzwerte untersuchen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Die Kurzbeschreibungen fassen den Lehrplan in eigenen Worten zusammen. Verbindlich ist der Originaltext. Originaltext: Kerncurriculum, Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 11