Integral als Flächenbilanz (Rechtecksummen)
Fülle die Fläche unter einem Graphen mit Rechtecken. Je mehr Rechtecke, desto genauer wird der Wert des Integrals.
Mathematik – Jahrgangsstufe 12
Erstes Jahr der Qualifikationsphase (G9: Jahrgangsstufe 12). Innerhalb der Qualifikationsphase dürfen Themen zwischen den beiden Jahren verschoben werden. Inhalte, die über das grundlegende Anforderungsniveau hinausgehen, sind für das erhöhte Niveau verbindlich. Die Nummern sind von uns vergeben.
Lernbereich AAnalysis
Integralrechnung, e-Funktion und Vertiefung der Differenzial- und Integralrechnung.
A.1Integralrechnung
Flächen mit Rechteckstreifen annähern, bestimmtes Integral als rekonstruierter Bestand, Integral- und Stammfunktion, Hauptsatz, Mittelwerte und Rotationskörper.
Integralfunktion und Hauptsatz
Die Fläche unter einem Graphen wächst mit. Ihre Änderungsrate ist genau die Funktion selbst: Das ist der Hauptsatz.
Vom Graphen zur Stammfunktion
Die Höhe eines Graphen wird zur Steigung eines neuen: Wer Kontostände kennt, versteht die Stammfunktion schneller als gedacht.
Integral als Gesamtänderung: von der Geschwindigkeit zum Weg
Aus der Geschwindigkeit eines Autos wird der zurückgelegte Weg: Die Fläche unter der Kurve zeigt die Gesamtänderung.
Rotationskörper
Die Fläche unter einem Graphen dreht sich um die x-Achse und wird zu einem Körper. Sein Volumen wird mit Scheiben berechnet.
A.2e-Funktion
Die e-Funktion als ihre eigene Ableitung, ln als Umkehrfunktion und als Stammfunktion von 1/x, Exponentialgleichungen.
Die natürliche Exponentialfunktion
Warum ist die Zahl e so besonders? Bei der e-Funktion sind Graph und Ableitung genau gleich.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Umkehrfunktionen: Spiegeln an y = x
Den Graphen an y = x spiegeln, und die Umkehrfunktion ist da. Das klappt nur, wenn kein Funktionswert zweimal vorkommt.
A.3Vertiefung der Differenzial- und Integralrechnung
Produkt- und Kettenregel, Untersuchung zusammengesetzter Funktionen, Optimierung und Integrationsregeln.
Monotonie, Extrem- und Wendestellen
Untersuche einen Graphen Schritt für Schritt: Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und wo er steigt oder fällt.
Extremwertprobleme
Welche Schachtel fasst am meisten, welche Dose braucht am wenigsten Blech? An fünf Alltagsproblemen findest du mit der Ableitung das Optimum.
Ableitungsfunktion grafisch
Eine Tangente gleitet am Graphen entlang und zeichnet dabei die Steigung als neuen Graphen: die Ableitungsfunktion.
Lernbereich GGeometrie
Skalar- und Vektorprodukt, Ebenen, Lagebeziehungen und Abstände.
G.1Skalarprodukt
Betrag von Vektoren, Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen, Orthogonalität.
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Das Skalarprodukt verrät den Winkel zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor und eine Fläche.
G.2Ebenen
Ebenen in Parameter-, Koordinaten- und Normalenform.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
G.3Vektorprodukt
Vektorprodukt für Normalenvektoren, Flächeninhalte von Dreiecken und Parallelogrammen und Spatvolumen.
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Das Skalarprodukt verrät den Winkel zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor und eine Fläche.
G.4Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen und zwischen Ebenen
Schnittmengen von Geraden und Ebenen und von Ebenen bestimmen, Lösen linearer Gleichungssysteme als Schnittproblem.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
G.5Abstände
Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen, Lotfußpunktverfahren.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
Lernbereich SStochastik
Zufallsgrößen mit Kenngrößen, Binomial-, hypergeometrische und Normalverteilung.
S.1Zufallsgröße, Erwartungswert, Streuungsmaße
Wahrscheinlichkeitsverteilungen als Prognose, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung, faires Spiel.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
S.2Binomialverteilung
Bernoulli-Ketten, Binomialkoeffizient, Binomialverteilung mit Erwartungswert und Standardabweichung, Sigma-Regeln.
Galtonbrett
An jedem Nagel links oder rechts, rein zufällig. Trotzdem türmen sich die Kugeln jedes Mal zur selben Glockenform auf.
Binomialverteilung
Das Histogramm der Binomialverteilung: Wähle einen Bereich und lies die Wahrscheinlichkeit direkt ab.
S.3Hypergeometrische Verteilung
Ziehen ohne Zurücklegen mit der hypergeometrischen Verteilung beschreiben.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
S.4Normalverteilung
Dichtefunktion und Glockenkurve, Bedeutung von μ und σ, Näherung der Binomialverteilung nach Moivre-Laplace.
Normalverteilung
Wie viele Flaschen sind zu leicht befüllt? Unter der Glockenkurve ist jede Wahrscheinlichkeit eine Fläche, mit den Sigma-Regeln als Faustregel.
Die Kurzbeschreibungen fassen den Lehrplan in eigenen Worten zusammen. Verbindlich ist der Originaltext. Originaltext: Fachanforderungen, Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 12