Gleichungen grafisch lösen: Schnittpunkte von Graphen
Zeichne beide Seiten einer Gleichung als Graphen. Die Lösungen liegen dort, wo sich die Graphen schneiden.
MathematikLehrplan Baden-Württemberg · Gymnasium
Mathematik – Jahrgangsstufe 9/10
Abschnitt 3.3 gilt für die Doppelklassenstufe 9/10; derselbe Inhalt steht auch bei Klasse 10. Simulationen stehen nur dort, wo ihre Klassenstufe passt.
Lernbereich 3.3.1Leitidee Zahl – Variable – Operation
Potenzen mit rationalen Exponenten und das Lösen von quadratischen, Wurzel-, Potenz-, Bruch- und Exponentialgleichungen. Exponentielles Wachstum am Beispiel der Zinseszinsformel.
3.3.1 (1)–(3)mit Potenzen umgehen
Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise angeben, Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzeln deuten und die Potenzgesetze begründen und anwenden.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
3.3.1 (4)–(15)Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen mit Formel, Nullprodukt und grafisch lösen und ihre Lösbarkeit untersuchen; dazu einfache Bruch-, Wurzel-, Potenz- und Exponentialgleichungen, der Logarithmus und die Substitution.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
3.3.1 (16)–(17)exponentielles Wachstum anwenden
Begriffe der Zinsrechnung erklären und die Formel für das Endkapital als exponentielles Wachstum nutzen und nach jeder Größe auflösen.
Exponentielles Wachstum und Zerfall
Seerosen auf dem Teich, Zinseszins und Zerfall: Exponentielles Wachstum im Vergleich mit linearem Wachstum.
Lernbereich 3.3.2Leitidee Messen
Kreis mit Bogenmaß, Kreisbogen und Kreisausschnitt sowie Oberfläche und Volumen von Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel. Formeln werden auch mit dem Prinzip von Cavalieri begründet.
3.3.2 (1)–(8)Größen bei Figuren und Körpern berechnen
Kreisumfang und Kreisfläche über einen Grenzprozess erklären, Winkel im Bogenmaß angeben, Bogenlängen und Sektoren berechnen sowie Mantel, Oberfläche und Volumen von Körpern herleiten und berechnen.
Kreisumfang, Kreisfläche und die Zahl π
Ein Rad rollt einmal ab und kommt etwas mehr als dreimal so weit wie sein Durchmesser. Zerschnitten wird der Kreis zum Rechteck, und die Flächenformel ergibt sich.
Prisma und Zylinder: Oberfläche und Volumen
Schicht auf Schicht wächst ein Prisma in die Höhe, und der Mantel eines Zylinders rollt sich zum Rechteck aus.
Prinzip von Cavalieri
Schiebe einen Münzstapel schief: Die Form ändert sich, das Volumen bleibt gleich. Das ist das Prinzip von Cavalieri.
Pyramide, Kegel und Kugel
Dreimal umschütten, dann ist das Prisma voll: Eine Pyramide fasst genau ein Drittel. Kegel und Kugel lassen sich in 3D drehen und vermessen.
Lernbereich 3.3.3Leitidee Raum und Form
Körper in Schrägbild und Netz darstellen. Mit dem Satz des Pythagoras und mit Sinus, Kosinus und Tangens Längen und Winkel berechnen.
3.3.3 (1)Körper zeichnerisch darstellen
Schrägbilder und Netze von Prismen, Pyramiden, Zylindern und Kegeln skizzieren und ineinander überführen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
3.3.3 (2)–(4)geometrische Zusammenhänge beweisen und mit trigonometrischen Beziehungen arbeiten
Mit dem Satz des Pythagoras und seiner Umkehrung rechnen, Seiten und Winkel mit Sinus, Kosinus und Tangens bestimmen und Beziehungen wie sin² + cos² = 1 herleiten.
Satz des Pythagoras
Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und ein Puzzle-Beweis zeigen: a² + b² = c².
Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck hängt das Verhältnis zweier Seiten nur vom Winkel ab. Daraus entstehen Sinus, Kosinus und Tangens, mit Beispielen wie Rampe oder Leiter.
Einheitskreis
Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis und wie daraus die Sinuskurve entsteht.
Sinussatz und Kosinussatz
Berechne Seiten und Winkel in beliebigen Dreiecken mit Sinussatz und Kosinussatz. Ein Helfer zeigt, welcher Satz zu deiner Aufgabe passt.
Lernbereich 3.3.4Leitidee Funktionaler Zusammenhang
Neue Funktionstypen: quadratische Funktionen, Potenz-, Wurzel- und Exponentialfunktionen, ganzrationale und trigonometrische Funktionen. Parameter werden als Streckung, Spiegelung und Verschiebung gedeutet.
3.3.4 (1)–(7)mit quadratischen Funktionen umgehen
Parabeln zeichnen und skizzieren, die Parameter der Scheitelform deuten, zwischen Normal-, Scheitel- und Linearfaktorform wechseln und Anwendungsaufgaben mit größten und kleinsten Werten lösen.
Quadratische Funktion
Strecke, spiegle und verschiebe Parabeln und lies Scheitelpunkt und Nullstellen ab.
Extremwertaufgaben mit Parabeln
Welches Gehege hat die größte Fläche? Bild und Graph zeigen das Maximum, erst durch Probieren, dann genau berechnet.
Parabel durch drei Punkte
Ziehe drei Punkte, und die passende Parabel geht immer durch alle drei. Die Gleichung wird Schritt für Schritt berechnet.
3.3.4 (8)–(13)mit Potenz- und Exponentialfunktionen umgehen
Graphen von Potenz-, Wurzel- und Exponentialfunktionen skizzieren, an x² und √x Definitions-, Wertemenge und Umkehrfunktion erklären, Wachstum mit Halbwerts- und Verdopplungszeit beschreiben und Parameter deuten.
Potenzfunktionen y = a · xⁿ
Gerade oder ungerade Hochzahl, positiv oder negativ: Mit jedem Exponenten verwandelt sich y = a · xⁿ, nur einige Punkte bleiben immer gleich.
Hyperbeln und ihre Asymptoten
Die Hyperbel kommt ihren Asymptoten immer näher und berührt sie doch nie. Verschieben und Strecken zeigt, was die Parameter bewirken.
Exponentielles Wachstum und Zerfall
Seerosen auf dem Teich, Zinseszins und Zerfall: Exponentielles Wachstum im Vergleich mit linearem Wachstum.
Umkehrfunktionen: Spiegeln an y = x
Den Graphen an y = x spiegeln, und die Umkehrfunktion ist da. Das klappt nur, wenn kein Funktionswert zweimal vorkommt.
Graphen verschieben, strecken und spiegeln
Verschieben, strecken, spiegeln: Jede Bewegung des Graphen hinterlässt eine Spur im Funktionsterm.
3.3.4 (14)–(19)mit ganzrationalen und trigonometrischen Funktionen umgehen
Nullstellen ganzrationaler Funktionen (auch mehrfache) bestimmen und faktorisieren, allgemeine Sinusfunktionen skizzieren und für periodische Vorgänge nutzen sowie Verhalten im Unendlichen und Symmetrie untersuchen.
Einheitskreis
Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis und wie daraus die Sinuskurve entsteht.
Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Vielfachheit und Randverhalten
Schneidet der Graph die x-Achse oder berührt er sie nur? Die Vielfachheit der Nullstelle entscheidet, der höchste Exponent das Verhalten weit draußen.
Allgemeine Sinusfunktion
Verändere Amplitude, Periode und Verschiebung einer Sinuskurve mit Reglern oder durch Ziehen.
Grenzverhalten und Asymptoten
Was passiert mit einem Graphen, wenn x sehr groß wird? Ein Punkt läuft nach außen, und eine Lupe zeigt, wie nah er der Asymptote kommt.
Lernbereich 3.3.5Leitidee Daten und Zufall
Vierfeldertafel, bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit. Zufallsgrößen mit Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.
3.3.5 (1)–(8)Wahrscheinlichkeiten verstehen und mit Wahrscheinlichkeiten rechnen
Vierfeldertafeln erstellen und für bedingte Wahrscheinlichkeiten nutzen, Ereignisse auf Unabhängigkeit prüfen und Verteilung, Erwartungswert und Streuung einer Zufallsgröße bestimmen und deuten.
Vierfeldertafel und Mengendiagramm
Vierfeldertafel, Mengendiagramm und Baumdiagramm zeigen dieselben Daten und hängen zusammen. Wer eins verändert, sieht die anderen mitlaufen.
Mehrstufige Zufallsexperimente und Pfadregeln
Ziehe Kugeln aus einer Urne, mit oder ohne Zurücklegen. Das Baumdiagramm und die Pfadregeln zeigen, wie man Wahrscheinlichkeiten berechnet.
Bedingte Wahrscheinlichkeit am Beispiel medizinischer Tests
Ein medizinischer Test ist positiv, aber wie wahrscheinlich ist man wirklich krank? 1000 Personen zeigen, warum die Antwort oft überrascht.
Ziegenproblem
Spiele selbst oder simuliere tausende Spiele: Lohnt es sich, die Tür zu wechseln?
Geburtstagsproblem simulieren
Wie wahrscheinlich ist es, dass zwei in der Klasse am selben Tag Geburtstag haben? Schon ab 23 Personen ist es wahrscheinlicher als nicht.
Monte-Carlo-Methode: π mit Zufall bestimmen
Zufällige Punkte fallen auf ein Quadrat mit einem Kreis darin. Aus dem Anteil im Kreis lässt sich π schätzen.
Die Kurzbeschreibungen fassen den Lehrplan in eigenen Worten zusammen. Verbindlich ist der Originaltext. Originaltext: Bildungsplan, Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 9/10