Grenzverhalten und Asymptoten
Was passiert mit einem Graphen, wenn x sehr groß wird? Ein Punkt läuft nach außen, und eine Lupe zeigt, wie nah er der Asymptote kommt.
MathematikLehrplan Sachsen-Anhalt · Gymnasium
Mathematik – Jahrgangsstufe 11/12
Qualifikationsphase (Schuljahrgänge 11/12): Der Fachlehrplan beschreibt beide Jahrgänge gemeinsam, getrennt nach grundlegendem (gA) und erhöhtem Anforderungsniveau (eA). Die Lernbereiche stehen deshalb bei 11 und 12 gleich, und beide werden als eine Stufe gezeigt. Die Nummern sind von uns vergeben.
Lernbereich gA-1Analysis (grundlegendes Anforderungsniveau)
Grenzwerte und Ableitung, Untersuchung von Funktionen und Integralrechnung im grundlegenden Anforderungsniveau.
gA-1.1Grundlagen der Infinitesimalrechnung
Verhalten von Funktionen im Unendlichen und an einer Stelle, Grenzwerte, mittlere und lokale Änderungsrate, Ableitung als Tangentensteigung.
Polstellen und Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen
Nullstelle oder Polstelle, Lücke oder Sprung ins Unendliche? Zieht man am Bruchterm, verrät der Graph den Unterschied.
Von der Sekante zur Tangente
Lass einen Punkt Q auf P zulaufen: Aus der Sekante wird die Tangente und aus der mittleren Steigung die Ableitung.
Ableitungsfunktion grafisch
Eine Tangente gleitet am Graphen entlang und zeichnet dabei die Steigung als neuen Graphen: die Ableitungsfunktion.
gA-1.2Differentialrechnung
Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen, die e-Funktion sowie Sinus und Kosinus; Monotonie, Krümmung, Extrem- und Wendepunkte, Tangenten und Extremwertaufgaben.
Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Vielfachheit und Randverhalten
Schneidet der Graph die x-Achse oder berührt er sie nur? Die Vielfachheit der Nullstelle entscheidet, der höchste Exponent das Verhalten weit draußen.
Ableitungsfunktion grafisch
Eine Tangente gleitet am Graphen entlang und zeichnet dabei die Steigung als neuen Graphen: die Ableitungsfunktion.
Monotonie, Extrem- und Wendestellen
Untersuche einen Graphen Schritt für Schritt: Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und wo er steigt oder fällt.
Extremwertprobleme
Welche Schachtel fasst am meisten, welche Dose braucht am wenigsten Blech? An fünf Alltagsproblemen findest du mit der Ableitung das Optimum.
Die natürliche Exponentialfunktion
Warum ist die Zahl e so besonders? Bei der e-Funktion sind Graph und Ableitung genau gleich.
Vom Graphen zur Stammfunktion
Die Höhe eines Graphen wird zur Steigung eines neuen: Wer Kontostände kennt, versteht die Stammfunktion schneller als gedacht.
gA-1.3Integralrechnung
Stammfunktionen, das bestimmte Integral als rekonstruierter Bestand und als Flächeninhalt, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Integral als Flächenbilanz (Rechtecksummen)
Fülle die Fläche unter einem Graphen mit Rechtecken. Je mehr Rechtecke, desto genauer wird der Wert des Integrals.
Integralfunktion und Hauptsatz
Die Fläche unter einem Graphen wächst mit. Ihre Änderungsrate ist genau die Funktion selbst: Das ist der Hauptsatz.
Integral als Gesamtänderung: von der Geschwindigkeit zum Weg
Aus der Geschwindigkeit eines Autos wird der zurückgelegte Weg: Die Fläche unter der Kurve zeigt die Gesamtänderung.
Vom Graphen zur Stammfunktion
Die Höhe eines Graphen wird zur Steigung eines neuen: Wer Kontostände kennt, versteht die Stammfunktion schneller als gedacht.
Lernbereich gA-2Analytische Geometrie (grundlegendes Anforderungsniveau)
Geraden, Ebenen und Kreise mit Gleichungen beschreiben und ihre Lage untersuchen.
gA-2.1Geraden und Ebenen
Geraden und Ebenen durch Gleichungen beschreiben, Lage von Gerade und Gerade oder Gerade und Ebene untersuchen, Schnittpunkte, Winkel und Abstände berechnen.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
gA-2.2Kreise
Kreise in der Ebene durch Gleichungen beschreiben und die Lage von Punkt oder Gerade zum Kreis untersuchen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich gA-3Stochastik (grundlegendes Anforderungsniveau)
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Binomialverteilung.
gA-3.1Bedingte Wahrscheinlichkeit
Zweistufige Versuche mit der Vierfeldertafel beschreiben, bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen und deuten, Ereignisse auf Unabhängigkeit prüfen.
Vierfeldertafel und Mengendiagramm
Vierfeldertafel, Mengendiagramm und Baumdiagramm zeigen dieselben Daten und hängen zusammen. Wer eins verändert, sieht die anderen mitlaufen.
Bedingte Wahrscheinlichkeit am Beispiel medizinischer Tests
Ein medizinischer Test ist positiv, aber wie wahrscheinlich ist man wirklich krank? 1000 Personen zeigen, warum die Antwort oft überrascht.
Ziegenproblem
Spiele selbst oder simuliere tausende Spiele: Lohnt es sich, die Tür zu wechseln?
gA-3.2Binomialverteilung
Bernoulli-Ketten, binomialverteilte Zufallsgrößen mit ihren Kenngrößen, typische Gestalt der Verteilung und Vertrauensintervalle.
Galtonbrett
An jedem Nagel links oder rechts, rein zufällig. Trotzdem türmen sich die Kugeln jedes Mal zur selben Glockenform auf.
Binomialverteilung
Das Histogramm der Binomialverteilung: Wähle einen Bereich und lies die Wahrscheinlichkeit direkt ab.
Lernbereich eA-1Analysis (erhöhtes Anforderungsniveau)
Grenzwerte und Ableitung, Untersuchung von Funktionen und Integralrechnung im erhöhten Anforderungsniveau, mit Funktionsscharen und Rotationskörpern.
eA-1.1Grundlagen der Infinitesimalrechnung
Wie im grundlegenden Niveau, zusätzlich Grenzwertsätze und lineare Näherung einer Funktion an einer Stelle.
Grenzverhalten und Asymptoten
Was passiert mit einem Graphen, wenn x sehr groß wird? Ein Punkt läuft nach außen, und eine Lupe zeigt, wie nah er der Asymptote kommt.
Polstellen und Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen
Nullstelle oder Polstelle, Lücke oder Sprung ins Unendliche? Zieht man am Bruchterm, verrät der Graph den Unterschied.
Von der Sekante zur Tangente
Lass einen Punkt Q auf P zulaufen: Aus der Sekante wird die Tangente und aus der mittleren Steigung die Ableitung.
Ableitungsfunktion grafisch
Eine Tangente gleitet am Graphen entlang und zeichnet dabei die Steigung als neuen Graphen: die Ableitungsfunktion.
eA-1.2Differentialrechnung
Wie im grundlegenden Niveau, zusätzlich Logarithmusfunktionen, Kettenregel, Newtonverfahren sowie Funktionsscharen und Ortskurven.
Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Vielfachheit und Randverhalten
Schneidet der Graph die x-Achse oder berührt er sie nur? Die Vielfachheit der Nullstelle entscheidet, der höchste Exponent das Verhalten weit draußen.
Ableitungsfunktion grafisch
Eine Tangente gleitet am Graphen entlang und zeichnet dabei die Steigung als neuen Graphen: die Ableitungsfunktion.
Monotonie, Extrem- und Wendestellen
Untersuche einen Graphen Schritt für Schritt: Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und wo er steigt oder fällt.
Extremwertprobleme
Welche Schachtel fasst am meisten, welche Dose braucht am wenigsten Blech? An fünf Alltagsproblemen findest du mit der Ableitung das Optimum.
Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Hoch wie viel ergibt diese Zahl? Mit Graphen, Rechengesetzen und Exponentialgleichungen.
Die natürliche Exponentialfunktion
Warum ist die Zahl e so besonders? Bei der e-Funktion sind Graph und Ableitung genau gleich.
Newton-Verfahren
Finde eine Nullstelle näherungsweise mit Tangenten. Jeder Schritt bringt dich näher, aber manchmal geht es auch schief.
Funktionenscharen
Ein Parameter, unendlich viele Graphen. Wohin wandern die Hochpunkte, wenn k wächst? Auf einer eigenen Kurve, der Ortskurve.
Vom Graphen zur Stammfunktion
Die Höhe eines Graphen wird zur Steigung eines neuen: Wer Kontostände kennt, versteht die Stammfunktion schneller als gedacht.
eA-1.3Integralrechnung
Wie im grundlegenden Niveau, zusätzlich lineare Substitution, ln als Stammfunktion von 1/x und das Volumen von Rotationskörpern.
Integral als Flächenbilanz (Rechtecksummen)
Fülle die Fläche unter einem Graphen mit Rechtecken. Je mehr Rechtecke, desto genauer wird der Wert des Integrals.
Integralfunktion und Hauptsatz
Die Fläche unter einem Graphen wächst mit. Ihre Änderungsrate ist genau die Funktion selbst: Das ist der Hauptsatz.
Integral als Gesamtänderung: von der Geschwindigkeit zum Weg
Aus der Geschwindigkeit eines Autos wird der zurückgelegte Weg: Die Fläche unter der Kurve zeigt die Gesamtänderung.
Vom Graphen zur Stammfunktion
Die Höhe eines Graphen wird zur Steigung eines neuen: Wer Kontostände kennt, versteht die Stammfunktion schneller als gedacht.
Rotationskörper
Die Fläche unter einem Graphen dreht sich um die x-Achse und wird zu einem Körper. Sein Volumen wird mit Scheiben berechnet.
Lernbereich eA-2Analytische Geometrie (erhöhtes Anforderungsniveau)
Geraden, Ebenen und Kreise im erhöhten Anforderungsniveau, auch Ebene-Ebene und Tangenten an Kreise.
eA-2.1Geraden und Ebenen
Wie im grundlegenden Niveau, zusätzlich die Lage zweier Ebenen mit Schnittgerade sowie Abstände zwischen Punkt und Gerade und zwischen zwei Geraden im Raum.
Geraden und Ebenen im Raum
Ein Punkt läuft auf einer Geraden durch den Raum, zwei Vektoren spannen eine Ebene auf. Parameter-, Normalen- und Koordinatenform zeigen dasselbe.
Lagebeziehungen und Abstände im Raum
Schneiden sich die Geraden, laufen sie parallel oder aneinander vorbei? Im drehbaren 3D-Raum werden Schnittpunkte, Winkel und Abstände sichtbar.
eA-2.2Kreise
Wie im grundlegenden Niveau, zusätzlich die Lage zweier Kreise und Tangenten an einen Kreis, auch von einem Punkt außerhalb.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich eA-3Stochastik (erhöhtes Anforderungsniveau)
Bedingte Wahrscheinlichkeit, Binomial- und Normalverteilung und beurteilende Statistik.
eA-3.1Bedingte Wahrscheinlichkeit
Vierfeldertafel, bedingte Wahrscheinlichkeiten und stochastische Unabhängigkeit wie im grundlegenden Niveau.
Vierfeldertafel und Mengendiagramm
Vierfeldertafel, Mengendiagramm und Baumdiagramm zeigen dieselben Daten und hängen zusammen. Wer eins verändert, sieht die anderen mitlaufen.
Bedingte Wahrscheinlichkeit am Beispiel medizinischer Tests
Ein medizinischer Test ist positiv, aber wie wahrscheinlich ist man wirklich krank? 1000 Personen zeigen, warum die Antwort oft überrascht.
Ziegenproblem
Spiele selbst oder simuliere tausende Spiele: Lohnt es sich, die Tür zu wechseln?
eA-3.2Binomial- und Normalverteilung
Binomialverteilte Zufallsgrößen mit Kenngrößen und σ-Umgebungen; diskrete und stetige Zufallsgrößen, Normalverteilung mit der Gaußschen Dichtefunktion.
Galtonbrett
An jedem Nagel links oder rechts, rein zufällig. Trotzdem türmen sich die Kugeln jedes Mal zur selben Glockenform auf.
Binomialverteilung
Das Histogramm der Binomialverteilung: Wähle einen Bereich und lies die Wahrscheinlichkeit direkt ab.
Normalverteilung
Wie viele Flaschen sind zu leicht befüllt? Unter der Glockenkurve ist jede Wahrscheinlichkeit eine Fläche, mit den Sigma-Regeln als Faustregel.
eA-3.3Beurteilende Statistik
Mit Simulationen Stichproben erkunden, von der Grundgesamtheit auf Stichproben schließen, unbekannte Wahrscheinlichkeiten schätzen und Prognose- und Vertrauensintervalle angeben.
Binomialverteilung
Das Histogramm der Binomialverteilung: Wähle einen Bereich und lies die Wahrscheinlichkeit direkt ab.
Die Kurzbeschreibungen fassen den Lehrplan in eigenen Worten zusammen. Verbindlich ist der Originaltext. Originaltext: Fachlehrplan, Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 11/12