Termbaum: die Struktur von Termen

Worum geht es?

Ein Term ist eine sinnvolle Rechenvorschrift aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern, z. B. $(12 - 4) \cdot 3 + 6 : 2$ . Im Termbaum (Rechenbaum) sieht man, wie der Term aufgebaut ist: Oben stehen die Zahlen, darunter die Rechnungen. Jede Rechnung verbindet zwei Teilterme, ganz unten steht die zuletzt ausgeführte Rechnung – sie liefert den Termwert.

Rechenreihenfolge:

Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet (bei mehreren Klammern die innerste zuerst).
Potenz vor Punkt vor Strich: erst Potenzen, dann $\cdot$ und $:$ , zuletzt $+$ und $-$ .
Sonst wird von links nach rechts gerechnet: $20 - 8 - 2 = 12 - 2 = 10$ .

Termart: Ein Term wird nach der zuletzt ausgeführten Rechnung benannt:

letzte Rechnung	Termart	Glieder
$+$	Summe	1. Summand $+$ 2. Summand
$-$	Differenz	Minuend $-$ Subtrahend
$\cdot$	Produkt	1. Faktor $\cdot$ 2. Faktor
$:$	Quotient	Dividend $:$ Divisor
Potenzieren	Potenz	Basis $^{\text{Exponent}}$

So ist $(12 + 4) - 3 \cdot 2$ eine Differenz: die Differenz aus der Summe aus $12$ und $4$ und dem Produkt aus $3$ und $2$ .

Vorsicht bei Vorzeichen und Potenzen: $-3^2$ ist die Gegenzahl von $3^2$ , also $-9$ . Dagegen ist $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$ . Genauso bedeutet $2x^2$ dasselbe wie $2 \cdot x^2$ – nicht $(2x)^2$ .

Variablen: Setzt man für eine Variable eine Zahl ein, erhält man einen Termwert. Negative Zahlen werden dabei eingeklammert: Für $x = -2$ ist $3x + 1 = 3 \cdot (-2) + 1 = -5$ .

Ausprobieren

Vergleiche die Bäume von 3 + 4 · 5 und (3 + 4) · 5. Welche Rechnung steht jeweils unten? Welche Termart ergibt sich?
Drücke Nächster Rechenschritt und beobachte, wie die Werte durch den Baum wandern. Die Zeile über dem Baum zeigt den Rechenweg.
Tippe in 4 · 5 + 2³ zuerst auf die Multiplikation. Die Simulation erlaubt das – warum ändert sich das Ergebnis nicht? Tippe dann auf die Addition, bevor alles darüber ausgerechnet ist.
−3² oder (−3)²? Wo im Baum steht das Vorzeichen?
Vergleiche 2x² und (2x)². Verändere $x$ mit dem Regler.
Rechne mit Brüchen: Die Simulation rechnet exakt, $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ .
Gib eigene Terme ein. Was meldet die Simulation bei $3 + {}$ , bei $5 \cdot -3$ oder bei $5 : (3 - 3)$ ?

Aufgaben

Aufgabe 1: Termart bestimmen

Aufgabe laden Bestimme die Termart von $(12 + 4) - 3 \cdot 2$ , benenne die beiden Glieder und berechne den Termwert. Überprüfe dann mit dem Baum.

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Zuletzt wird subtrahiert, der Term ist also eine Differenz. Minuend: die Summe $12 + 4$ , Subtrahend: das Produkt $3 \cdot 2$ .

$(12 + 4) - 3 \cdot 2 = 16 - 6 = 10$

Aufgabe 2: Rechenreihenfolge

Berechne Schritt für Schritt: $2 \cdot [3 + (4 - 1)] - 12 : (2 + 4) + 5^2$ . Welche Termart liegt vor? Aufgabe laden

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Innere Klammer zuerst, dann die übrigen Klammern, dann die Potenz, dann Punkt vor Strich, zuletzt von links nach rechts:

$2 \cdot [3 + 3] - 12 : 6 + 25 = 2 \cdot 6 - 2 + 25 = 12 - 2 + 25 = 35$

Die letzte Rechnung ist eine Addition – der Term ist eine Summe.

Aufgabe 3: Vom Text zum Term

Schreibe als Term und berechne: „die Differenz aus dem Produkt aus 7 und 8 und der Summe aus 15 und 9“.

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$7 \cdot 8 - (15 + 9) = 56 - 24 = 32$ . Die Klammer ist nötig, weil der ganze Summand $15 + 9$ subtrahiert wird. Baum zeigen

Aufgabe 4: Klammern setzen

Setze in $2 + 3 \cdot 4 - 1$ Klammern so, dass sich $19$ , $11$ bzw. $15$ ergibt. Wie verändert sich jeweils der Baum? Ohne Klammern

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$(2 + 3) \cdot 4 - 1 = 19$ – eine Differenz
$2 + 3 \cdot (4 - 1) = 11$ – eine Summe
$(2 + 3) \cdot (4 - 1) = 15$ – ein Produkt

Ohne Klammern ist der Wert $2 + 12 - 1 = 13$ .

Aufgabe 5: Termwerte

Berechne den Wert von $2x^2 - 3x + 1$ für $x = -2$ und für $x = 0{,}5$ . Aufgabe laden

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$x = -2$ : $2 \cdot (-2)^2 - 3 \cdot (-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$

$x = 0{,}5$ : $2 \cdot 0{,}25 - 1{,}5 + 1 = 0$ . Für $x = 0{,}5$ hat der Term also den Wert $0$ . Die Wertetabelle unter dem Baum zeigt weitere Werte.

Aufgabe 6: Fehler finden

Tim rechnet: $-3^2 = 9$ und $20 - 8 - 2 = 20 - 6 = 14$ . Erkläre seine Fehler mithilfe des Termbaums.

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$-3^2$ : Zuerst wird quadriert, dann die Gegenzahl gebildet: $-3^2 = -9$ . Nur $(-3)^2 = 9$ .
$20 - 8 - 2$ : Bei gleichrangigen Rechnungen gilt „von links nach rechts“: $20 - 8 - 2 = 12 - 2 = 10$ . Tim hat $20 - (8 - 2)$ gerechnet – das ist ein anderer Baum.

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 5 (Struktur von Termen, „Punkt vor Strich“), Klasse 6 (Termstrukturen mit rationalen Zahlen) und Klasse 7 (Terme mit Variablen, Termwerte, Termstrukturen benennen).
Eingabe: Malpunkt als * oder ·, Division mit :, Potenzen mit ^ oder ², Klammern ( ) und [ ]. Ein Schrägstrich zwischen zwei ganzen Zahlen (3/4) steht für einen Bruch (eine Zahl), sonst für eine Division. Erlaubte Variablen: $a, b, c, n, x, y, z$ . Eigene Terme lassen sich über Teilen als Link oder QR-Code weitergeben.
Darstellung: Wie in vielen Schulbüchern stehen die Zahlen oben und das Ergebnis unten; unter „Anzeige“ lässt sich der Baum umdrehen. Die Rechenarten sind farbig unterschieden (Strich blau, Punkt grün, Potenz orange).
Reihenfolge und Struktur: „Nächster Rechenschritt“ folgt der Regel. Tippt man selbst eine andere mögliche Rechnung an, wird sie ausgeführt und kommentiert: Unabhängige Teilterme dürfen in beliebiger Reihenfolge berechnet werden – die Regeln legen die Struktur fest, nicht die Reihenfolge innerhalb unabhängiger Teile.
Rechnen: exakt mit Brüchen; Dezimalzahlen werden als Dezimalzahlen angezeigt, wenn sie im Term vorkommen oder eine Variable einen Dezimalwert hat. Ein Vorzeichen direkt nach einem Rechenzeichen wird (wie im Unterricht) nicht akzeptiert: $5 \cdot (-3)$ statt $5 \cdot -3$ . $0^0$ und Division durch $0$ gelten als nicht definiert.
Häufige Stolpersteine:
- Es wird stur von links nach rechts gerechnet: $3 + 4 \cdot 5 = 35$ .
- $-3^2 = 9$ und $2x^2 = (2x)^2$ .
- Die Termart wird nach dem ersten (statt dem zuletzt ausgeführten) Rechenzeichen benannt.
Aufgabenmodus: Mit names=0 und _hide=1 (siehe Aufgabe 1) sind Termarten und Ergebnisse zunächst verborgen.