Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen

Worum geht es?

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen besteht aus zwei linearen Gleichungen, z. B.

\begin{aligned} \text{I}\quad & y = 2x - 1\\ \text{II}\quad & y = -x + 5 \end{aligned}

Gesucht sind alle Zahlenpaare $(x \mid y)$ , die beide Gleichungen erfüllen. Jede Gleichung beschreibt eine Gerade: Alle Punkte der Geraden erfüllen die Gleichung. Ein Punkt, der beide Gleichungen erfüllt, liegt also auf beiden Geraden – er ist ihr Schnittpunkt.

Grafisches Lösungsverfahren:

Beide Gleichungen nach $y$ auflösen (Normalform $y = mx + t$ ). Aus $2x + y = 5$ wird $y = -2x + 5$ .
Beide Geraden zeichnen: $y$ -Achsenabschnitt $t$ eintragen, dann mit dem Steigungsdreieck „1 nach rechts, $m$ nach oben“.
Den Schnittpunkt ablesen, hier $S(2 \mid 3)$ .
Probe durch Einsetzen in beide Gleichungen: $2 \cdot 2 - 1 = 3$ ✓ und $-2 + 5 = 3$ ✓. Also $L = \{(2 \mid 3)\}$ .

Wie viele Lösungen gibt es?

Lage der Geraden	Kennzeichen	Lösungsmenge
schneiden sich	verschiedene Steigungen	genau eine Lösung
parallel, verschieden	gleiche Steigung, verschiedene $t$	keine Lösung: $L = \{\,\}$
identisch	gleiche Steigung, gleiches $t$	unendlich viele Lösungen

Grenzen des Verfahrens: Liegt der Schnittpunkt nicht auf Gitterpunkten, kann man ihn nur ungefähr ablesen. Dann hilft ein rechnerisches Verfahren, z. B. das Gleichsetzungsverfahren: $2x - 1 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$ .

Ausprobieren

Ziehe die markierten Punkte: den $y$ -Achsenabschnitt (bei $x = 0$ ) und den Punkt bei $x = 1$ . Mit Anzeige → Steigungsdreiecke siehst du die Steigung. Wie wandert der Schnittpunkt?
Drücke Probe durch Einsetzen.
Stelle parallele Geraden ein. Warum gibt es keinen Schnittpunkt?
Was passiert bei 2x − y = 1 und −4x + 2y = −2?
Lies den Schnittpunkt von y = x und y = −0,5x + 2 ab. Wie genau geht das?
Vergleiche zwei Handytarife: Ab wie vielen Gesprächsminuten lohnt sich Tarif A?

Aufgaben

Aufgabe 1: Grafisch lösen

Aufgabe laden Löse das System grafisch und mache die Probe: $\text{I}\; y = x + 1$ , $\text{II}\; y = -2x + 7$ .

Lösung anzeigen

Die Geraden schneiden sich in $S(2 \mid 3)$ . Probe: $2 + 1 = 3$ ✓ und $-2 \cdot 2 + 7 = 3$ ✓. $L = \{(2 \mid 3)\}$ .

Aufgabe 2: Erst nach y auflösen

Aufgabe laden Löse $\text{I}\; x + y = 6$ , $\text{II}\; 2x - y = 3$ .

Lösung anzeigen

$\text{I}\; y = -x + 6$ und $\text{II}\; y = 2x - 3$ . Schnittpunkt $S(3 \mid 3)$ ; Probe: $3 + 3 = 6$ ✓, $2 \cdot 3 - 3 = 3$ ✓.

Aufgabe 3: Anzahl der Lösungen

Entscheide ohne Zeichnung, wie viele Lösungen das System hat: (a) $y = 3x - 2$ und $y = 3x + 1$ , (b) $2x + 4y = 8$ und $x + 2y = 4$ , (c) $y = 2x + 1$ und $y = -0{,}5x + 1$ .

Lösung anzeigen

(a) Gleiche Steigung, verschiedene $y$ -Achsenabschnitte: parallel, keine Lösung. Zeigen

(b) Beide ergeben $y = -0{,}5x + 2$ : identisch, unendlich viele Lösungen. Zeigen

(c) Verschiedene Steigungen: genau eine Lösung, nämlich $(0 \mid 1)$ – beide Geraden haben denselben $y$ -Achsenabschnitt. Zeigen

Aufgabe 4: Ablesen oder rechnen?

Aufgabe laden Lies den Schnittpunkt von $y = x$ und $y = -0{,}5x + 2$ ab und bestimme ihn dann rechnerisch.

Lösung anzeigen

Abgelesen etwa $S(1{,}3 \mid 1{,}3)$ . Gleichsetzen: $x = -0{,}5x + 2 \Rightarrow 1{,}5x = 2 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$ , also $S\left(\frac{4}{3} \mid \frac{4}{3}\right)$ – grafisch nur ungefähr erkennbar.

Aufgabe 5: Handytarife

Tarif A kostet $10\,€$ im Monat und $5\,\text{ct}$ pro Minute, Tarif B $4\,€$ im Monat und $11\,\text{ct}$ pro Minute. Stelle für beide Tarife die Kosten $y$ (in €) in Abhängigkeit von der Gesprächszeit $x$ (in min) auf. Ab welcher Gesprächszeit ist Tarif A günstiger? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$\text{A}\; y = 0{,}05x + 10$ , $\text{B}\; y = 0{,}11x + 4$ . Gleichsetzen: $0{,}05x + 10 = 0{,}11x + 4 \Rightarrow 6 = 0{,}06x \Rightarrow x = 100$ . Bei $100$ Minuten kosten beide $15\,€$ ; bei mehr als 100 Minuten ist Tarif A günstiger.

Senkt Tarif B den Minutenpreis auf $9\,\text{ct}$ , verschiebt sich die Grenze auf $150$ Minuten ( $17{,}50\,€$ ). Zeigen

Aufgabe 6: Zwei Zahlen gesucht

Die Summe zweier Zahlen ist $10$ , ihre Differenz $4$ . Stelle ein Gleichungssystem auf und löse es grafisch.

Lösung anzeigen

$\text{I}\; x + y = 10$ , $\text{II}\; x - y = 4$ . Die Geraden schneiden sich in $(7 \mid 3)$ : Die Zahlen sind $7$ und $3$ . Zeigen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 8 (Lineare Gleichungssysteme: aufstellen, grafisch und rechnerisch lösen, Lösbarkeit und Lösungsvielfalt). Voraussetzung sind lineare Funktionen.
Darstellungen: Normalform $y = mx + t$ (Regler und ziehbare Punkte), allgemeine Form $ax + by = c$ mit ganzzahligen Koeffizienten (inklusive senkrechter Geraden; der Punkt auf der $y$ -Achse verschiebt die Gerade parallel) und ein Tarifvergleich mit Achsen in Minuten und Euro. Beim Wechsel zwischen Normalform und allgemeiner Form werden die Gleichungen umgerechnet, soweit das mit den Reglern möglich ist.
Exaktheit: Die Simulation rechnet mit Brüchen. Liegt der Schnittpunkt nicht auf „schönen“ Werten, zeigt sie den abgelesenen Näherungswert und den exakten Wert – ein guter Anlass für die rechnerischen Verfahren. Mit _hide=1 werden die Ergebnisse (Lage, Lösungsmenge, Rechnung, Probe, Tarif) verdeckt. Im Bild stehen dann keine Koordinaten des Schnittpunkts, und die Probe ist gesperrt. Dasselbe bewirkt der Schalter Anzeige → Lösung anzeigen (in Links: show=0).
Häufige Stolpersteine:
- Der Schnittpunkt wird nur mit einer Gleichung überprüft.
- Bei parallelen Geraden führt das Rechnen auf einen Widerspruch wie $0 = 3$ . Dieser wird fälschlich als „ $x = 0$ “ gedeutet. Bei identischen Geraden wird „keine Lösung“ angegeben.
- Die Gleichung $ax + by = c$ wird ohne Auflösen nach $y$ gezeichnet, z. B. $c$ als $y$ -Achsenabschnitt.
Schreibweise: Lösungsmenge als $L = \{(2 \mid 3)\}$ ; bei identischen Geraden $L = \{(x \mid y) \mid y = 2x - 1\}$ .