Kreisumfang, Kreisfläche und die Zahl π
Ein Rad rollt einmal ab und kommt etwas mehr als dreimal so weit wie sein Durchmesser. Zerschnitten wird der Kreis zum Rechteck, und die Flächenformel ergibt sich.
Mathematik – Jahrgangsstufe 7/8
Doppeljahrgangsstufe 7/8: Das Kerncurriculum beschreibt, was am Ende von Jahrgangsstufe 8 erreicht sein soll; die Lernbereiche stehen deshalb bei 7 und 8 gleich. Beide Jahrgänge werden deshalb als eine Stufe gezeigt. Die Nummern (Leitidee.Inhaltsfeld.Schwerpunkt) sind von uns vergeben.
Lernbereich 1.1Zahlen
Erweiterung auf rationale und reelle Zahlen (Wurzeln, π); Zahlen werden an der Zahlengeraden und als Dezimalbrüche dargestellt, verglichen und gerundet; Orientierung im ganzen Koordinatensystem.
1.1.1Rationale Zahlen
Positive und negative Brüche und Dezimalzahlen als ein Zahlbereich.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
1.1.2Reelle Zahlen (Wurzeln und die Zahl π als Proportionalitätsfaktor)
Irrationale Zahlen wie Quadratwurzeln und π kennenlernen und näherungsweise bestimmen.
Quadratwurzeln und das Heron-Verfahren
Aus einem Rechteck wird Schritt für Schritt ein Quadrat mit derselben Fläche. Das Verfahren ist fast 2000 Jahre alt und landet erstaunlich schnell bei √2.
1.1.3Darstellungen (Zahlengerade, Dezimalbrüche)
Rationale und reelle Zahlen an der Zahlengeraden und in Dezimalschreibweise darstellen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
1.1.4Vergleichen, Ordnen und Runden von rationalen und reellen Zahlen
Zahlen beider Vorzeichen ordnen und sinnvoll runden.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
1.1.5Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem
Punkte in allen vier Quadranten eintragen und ablesen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich 1.2Operationen und ihre Eigenschaften
Rechnen mit rationalen und reellen Zahlen, Terme mit Variablen und Klammern umformen, Potenzen sowie Prozent- und Zinsrechnung in Sachsituationen.
1.2.1Rechenverfahren, Rechengesetze und deren Verknüpfungen im Bereich der rationalen und reellen Zahlen
Vorzeichenregeln und Rechengesetze sicher anwenden.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
1.2.2Klammern, Binome
Klammern auflösen, ausklammern und binomische Formeln nutzen.
Binomische Formeln am Quadrat
Die drei binomischen Formeln als Flächen: Ein Quadrat zerfällt in kleinere Quadrate und Rechtecke.
Termbaum: die Struktur von Termen
Ein Term, als Baum gezeichnet: Was unten hängt, wird zuerst gerechnet. Punkt vor Strich ist plötzlich keine Regel mehr, sondern sichtbar.
1.2.3Potenzen mit rationalen Exponenten
Potenzschreibweise auf negative und gebrochene Exponenten ausweiten.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
1.2.4Terme und Variable
Terme mit Variablen aufstellen, strukturieren und umformen.
Termbaum: die Struktur von Termen
Ein Term, als Baum gezeichnet: Was unten hängt, wird zuerst gerechnet. Punkt vor Strich ist plötzlich keine Regel mehr, sondern sichtbar.
1.2.5Grundaufgaben der Prozent- und Zinsrechnung
Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz und Zinsen berechnen.
Prozentstreifen
Rabatt, Mehrwertsteuer, Umfrage: Auf einem einzigen Streifen liegen Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert übereinander.
1.2.6Prozentrechnen mit erhöhtem und vermindertem Grundwert
Preiserhöhungen und Rabatte über Wachstums- bzw. Abnahmefaktoren berechnen.
Prozentstreifen
Rabatt, Mehrwertsteuer, Umfrage: Auf einem einzigen Streifen liegen Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert übereinander.
1.2.7Prozente von Prozenten
Mehrere prozentuale Änderungen nacheinander verknüpfen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich 2.1Ebene Figuren
Vierecke und Kreis werden klassifiziert und konstruiert, auch mit dynamischer Geometriesoftware; Symmetrie und alle vier Quadranten des Koordinatensystems.
2.1.1Grundfiguren (Parallelogramm, Trapez, Raute, Drachen, Kreis)
Weitere Grundfiguren und ihre Eigenschaften kennenlernen.
Das Haus der Vierecke
Eine Ecke verschoben, und aus dem Quadrat wird ein Drachen. Wann trägt ein Viereck welchen Namen?
2.1.2Haus der Vierecke
Vierecke nach Eigenschaften ordnen und Beziehungen zwischen ihnen begründen.
Das Haus der Vierecke
Eine Ecke verschoben, und aus dem Quadrat wird ein Drachen. Wann trägt ein Viereck welchen Namen?
2.1.3Konstruktionen mit Zeichengeräten und dynamischer Geometriesoftware
Dreiecke, Mittelsenkrechten, Winkelhalbierende u. a. konstruieren.
Kongruenzsätze und Dreieckskonstruktionen
Konstruiere Dreiecke aus drei gegebenen Stücken mit Lineal und Zirkel, Schritt für Schritt wie im Heft. Manchmal gibt es keine, eine oder zwei Lösungen.
Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende
Ein Punkt, der von A und B gleich weit entfernt ist, liegt nie zufällig: Die Mittelsenkrechte zeigt sich, bevor man sie mit dem Zirkel zieht.
Umkreis, Inkreis und besondere Linien im Dreieck
Konstruiere die besonderen Linien im Dreieck. Je drei davon schneiden sich immer in einem Punkt, zum Beispiel im Mittelpunkt von Umkreis und Inkreis.
2.1.4Symmetrieeigenschaften von Figuren
Achsen- und Punktsymmetrie von Figuren untersuchen.
Achsen- und Punktspiegelung
Achse oder Punkt: Die Figur klappt um, und jeder Konstruktionsschritt mit dem Geodreieck bleibt sichtbar.
2.1.5Kartesisches Koordinatensystem in allen vier Quadranten
Figuren im vollständigen Koordinatensystem darstellen.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich 2.2Körper
Prisma und Kreiszylinder: Darstellung durch Modelle, Schrägbilder und Netze sowie Beschreibung von Volumen und Oberfläche.
2.2.1Grundkörper (Prisma, Kreiszylinder)
Prismen und Zylinder erkennen und ihre Eigenschaften beschreiben.
Prisma und Zylinder: Oberfläche und Volumen
Schicht auf Schicht wächst ein Prisma in die Höhe, und der Mantel eines Zylinders rollt sich zum Rechteck aus.
2.2.2Beschreibung von Volumen und Oberflächeninhalt beim Prisma
Volumen als Grundfläche mal Höhe und Oberfläche über das Netz verstehen.
Prisma und Zylinder: Oberfläche und Volumen
Schicht auf Schicht wächst ein Prisma in die Höhe, und der Mantel eines Zylinders rollt sich zum Rechteck aus.
2.2.3Modelle, Schrägbilder und Netze bekannter Körper
Bekannte Körper in verschiedenen Darstellungen zeichnen und erkennen.
Netze und Oberflächen von Körpern
Falte Netze von Würfel, Quader, Prisma, Pyramide und Zylinder in 3D zum Körper und berechne die Oberfläche.
Lernbereich 2.3Beziehungen zwischen geometrischen Objekten
Kongruenz und Symmetrie, Satzgruppe des Pythagoras mit Beweisen, Satz des Thales sowie Ähnlichkeit, zentrische Streckung und Strahlensätze.
2.3.1Fachbegriffe (Kongruenz, Symmetrie)
Deckungsgleichheit und Symmetrie begrifflich fassen, z. B. über Kongruenzsätze.
Kongruenzsätze und Dreieckskonstruktionen
Konstruiere Dreiecke aus drei gegebenen Stücken mit Lineal und Zirkel, Schritt für Schritt wie im Heft. Manchmal gibt es keine, eine oder zwei Lösungen.
Achsen- und Punktspiegelung
Achse oder Punkt: Die Figur klappt um, und jeder Konstruktionsschritt mit dem Geodreieck bleibt sichtbar.
2.3.2Satz des Pythagoras und seine Umkehrung einschließlich exemplarischer vollständiger Beweise
Den Satz begründen, beweisen und zur Berechnung von Seitenlängen nutzen.
Satz des Pythagoras
Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und ein Puzzle-Beweis zeigen: a² + b² = c².
2.3.3Satz des Thales
Rechte Winkel im Halbkreis entdecken und begründen.
Satz des Thales
Ziehe einen Punkt auf dem Halbkreis: Der Winkel dort ist immer ein rechter Winkel.
2.3.4Ähnlichkeit, zentrische Streckungen, Strahlensätze
Figuren maßstäblich vergrößern/verkleinern und Streckenverhältnisse berechnen.
Strahlensätze
Wie hoch ist der Baum, ohne hinaufzuklettern? Zwei Strahlen und eine Parallele genügen, denn die Verhältnisse bleiben gleich.
Ähnliche Figuren: Wie wachsen Fläche und Volumen?
Vergrößere Strecken, Flächen und Körper. Bei doppelter Länge wird die Fläche viermal und das Volumen achtmal so groß.
Lernbereich 3.1Umgang mit Größen
Umgang mit zusammengesetzten Figuren und Winkelgrößen sowie Winkelsätze.
3.1.1Zusammengesetzte Figuren
Flächen in bekannte Teilfiguren zerlegen bzw. ergänzen.
Parallelogramm, Dreieck und Trapez durch Zerlegen und Ergänzen
Ein Dreieck abschneiden, an der anderen Seite anlegen: Aus dem Parallelogramm wird ein Rechteck. Dreieck und Trapez funktionieren genauso.
3.1.2Größen von Winkeln (Minuten, Sekunden)
Winkel genauer in Grad, Minuten und Sekunden angeben.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
3.1.3Winkelsummensatz und die Winkelsätze an Geradenkreuzungen
Innenwinkelsumme sowie Scheitel-, Neben-, Stufen- und Wechselwinkel nutzen.
Innenwinkelsumme in Dreieck und Vieleck
Drei Ecken abreißen, aneinanderlegen, fertig ist die gerade Linie: 180°, bei jedem Dreieck. Beim Viereck sind es dann 360°.
Winkel an Geradenkreuzungen
Zwei Geraden kreuzen sich, eine dreht sich. Welche Winkel bleiben gleich? An Parallelen heißen sie Stufen- und Wechselwinkel.
Lernbereich 3.2Messvorgänge
Flächeninhalt und Umfang weiterer Vielecke und des Kreises sowie Volumen und Oberfläche des Prismas.
3.2.1Flächeninhalt und Umfang von Dreieck, Parallelogramm, Trapez, Raute, Drachen, Kreis
Flächenformeln durch Zerlegen und Ergänzen herleiten; Kreisumfang und -fläche mit π.
Parallelogramm, Dreieck und Trapez durch Zerlegen und Ergänzen
Ein Dreieck abschneiden, an der anderen Seite anlegen: Aus dem Parallelogramm wird ein Rechteck. Dreieck und Trapez funktionieren genauso.
Kreisumfang, Kreisfläche und die Zahl π
Ein Rad rollt einmal ab und kommt etwas mehr als dreimal so weit wie sein Durchmesser. Zerschnitten wird der Kreis zum Rechteck, und die Flächenformel ergibt sich.
3.2.2Volumen und Oberflächeninhalt beim Prisma
Volumen und Oberfläche von Prismen berechnen.
Prisma und Zylinder: Oberfläche und Volumen
Schicht auf Schicht wächst ein Prisma in die Höhe, und der Mantel eines Zylinders rollt sich zum Rechteck aus.
Lernbereich 4.1Zuordnungen und ihre Darstellungen
Proportionale und antiproportionale Zuordnungen erkennen, mit Dreisatz lösen und in Text, Tabelle und Graph darstellen.
4.1.1Proportionale und antiproportionale Zuordnungen und ihre Eigenschaften
Quotienten- bzw. Produktgleichheit erkennen und nutzen.
Direkte und indirekte Proportionalität
Doppelt so viele Äpfel kosten doppelt so viel. Bild, Tabelle und Graph zeigen gemeinsam, wann eine Zuordnung proportional ist, mit Dreisatz.
Hyperbeln und ihre Asymptoten
Die Hyperbel kommt ihren Asymptoten immer näher und berührt sie doch nie. Verschieben und Strecken zeigt, was die Parameter bewirken.
4.1.2Dreisatzmethoden
Fehlende Werte schrittweise über eine Einheit berechnen.
Direkte und indirekte Proportionalität
Doppelt so viele Äpfel kosten doppelt so viel. Bild, Tabelle und Graph zeigen gemeinsam, wann eine Zuordnung proportional ist, mit Dreisatz.
4.1.3Darstellung der proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen in sprachlicher, tabellarischer und graphischer Form
Zwischen Text, Wertetabelle und Graph wechseln.
Direkte und indirekte Proportionalität
Doppelt so viele Äpfel kosten doppelt so viel. Bild, Tabelle und Graph zeigen gemeinsam, wann eine Zuordnung proportional ist, mit Dreisatz.
Funktion oder nicht? Zuordnungen und ihre Graphen
Jedem x genau ein y? Pfeilbild, Tabelle und Graph verraten sofort, ob eine Zuordnung eine Funktion ist.
Lernbereich 4.2Funktionen und Gleichungen
Lineare Gleichungen und Ungleichungen lösen, Lösungswege vergleichen und lineare Funktionen mit ihren Eigenschaften untersuchen.
4.2.1Lösen von linearen Gleichungen
Gleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen.
Lineare Gleichungen am Waagemodell
Lineare Gleichungen auf einer Balkenwaage lösen: Was du auf beiden Seiten gleich machst, hält die Waage im Gleichgewicht.
4.2.2Vergleich des Vorgehens beim Lösen von linearen Gleichungen
Probieren, Umformen und grafisches Lösen gegenüberstellen.
Lineare Gleichungen am Waagemodell
Lineare Gleichungen auf einer Balkenwaage lösen: Was du auf beiden Seiten gleich machst, hält die Waage im Gleichgewicht.
Gleichungen grafisch lösen: Schnittpunkte von Graphen
Zeichne beide Seiten einer Gleichung als Graphen. Die Lösungen liegen dort, wo sich die Graphen schneiden.
4.2.3Lineare Funktionen und ihre Eigenschaften
Steigung und y-Achsenabschnitt deuten und Graphen zeichnen.
Lineare Funktion
Verändere Steigung und y-Achsenabschnitt einer Geraden und lies Steigungsdreieck und Nullstelle ab.
4.2.4Lösen von Ungleichungen
Lineare Ungleichungen lösen und Lösungsmengen angeben.
Hierfür ist keine eigene Simulation geplant.
Lernbereich 5.1Statistische Erhebungen und ihre Auswertung
Daten in Boxplots, Säulen- und Kreisdiagrammen darstellen und mit Lage- und Streumaßen beurteilen.
5.1.1Darstellung von Daten in Diagrammen (Boxplot, Säulendiagramm, Kreisdiagramm) und Tabellen
Passende Diagrammart wählen, erstellen und kritisch lesen.
Mittelwert, Median und Boxplot
Ein Ausreißer zieht den Mittelwert weg, der Median bleibt fast stehen. Ziehen an einzelnen Datenpunkten zeigt, wie robust welcher Wert ist.
Diagramme lesen und kritisch prüfen
Stelle dieselben Daten als Säulen-, Linien-, Kreisdiagramm und mehr dar und entdecke, wie Diagramme täuschen können.
5.1.2Lage- und Streumaße
Mittelwert, Median, Quartile und Spannweite bestimmen und vergleichen.
Mittelwert, Median und Boxplot
Ein Ausreißer zieht den Mittelwert weg, der Median bleibt fast stehen. Ziehen an einzelnen Datenpunkten zeigt, wie robust welcher Wert ist.
Lernbereich 5.2Umgang mit dem Zufall
Zweistufige Zufallsexperimente mit Baumdiagrammen, Vierfeldertafeln und Pfadregeln beschreiben und berechnen.
5.2.1Zweistufige Zufallsexperimente
Experimente aus zwei Teilschritten untersuchen und Ergebnisse abzählen.
Zählprinzip und Baumdiagramm
Wie viele Outfits oder Eiskombinationen gibt es? Ein Baumdiagramm wächst Stufe für Stufe, und du siehst, warum man die Möglichkeiten multipliziert.
Mehrstufige Zufallsexperimente und Pfadregeln
Ziehe Kugeln aus einer Urne, mit oder ohne Zurücklegen. Das Baumdiagramm und die Pfadregeln zeigen, wie man Wahrscheinlichkeiten berechnet.
5.2.2Baumdiagramme und Vierfeldertafeln
Wahrscheinlichkeiten in Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln darstellen.
Mehrstufige Zufallsexperimente und Pfadregeln
Ziehe Kugeln aus einer Urne, mit oder ohne Zurücklegen. Das Baumdiagramm und die Pfadregeln zeigen, wie man Wahrscheinlichkeiten berechnet.
5.2.3Pfadregeln
Produkt- und Summenregel anwenden.
Mehrstufige Zufallsexperimente und Pfadregeln
Ziehe Kugeln aus einer Urne, mit oder ohne Zurücklegen. Das Baumdiagramm und die Pfadregeln zeigen, wie man Wahrscheinlichkeiten berechnet.
Die Kurzbeschreibungen fassen den Lehrplan in eigenen Worten zusammen. Verbindlich ist der Originaltext. Originaltext: Kerncurriculum, Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 7/8