Binomische Formeln am Quadrat

Worum geht es?

Die drei binomischen Formeln sind Abkürzungen beim Ausmultiplizieren:

\begin{aligned} (a + b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\ (a - b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 \\ (a + b)(a - b) &= a^2 - b^2 \end{aligned}

Man kann sie als Flächen sehen: Ein Quadrat mit der Seitenlänge $a + b$ besteht aus dem Quadrat $a^2$ , dem Quadrat $b^2$ und zwei Rechtecken mit dem Flächeninhalt $a \cdot b$ . Genau diese zwei Rechtecke vergisst man, wenn man fälschlich $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ rechnet.

Die Formeln gelten für alle Zahlen – die Flächen sind nur eine Veranschaulichung für positive Längen (bei der 2. und 3. Formel mit $a > b$ ).

Ausprobieren

Drücke Zerlegen und beobachte, in welche Teile das große Quadrat zerfällt. Wie viele Rechtecke $a \cdot b$ gibt es?
Wähle die zweite Formel. Warum muss man $b^2$ wieder addieren, obwohl doch etwas abgezogen wird? 2. Formel
Wähle die dritte Formel und lass den Streifen umlegen. Welches Rechteck entsteht? 3. Formel
Verändere $a$ und $b$ und prüfe die Rechnung mit Zahlen unter Ergebnisse.

Aufgaben

Aufgabe 1: Geschickt rechnen

Berechne im Kopf mit einer binomischen Formel: $53^2$ , $49^2$ und $21 \cdot 19$ .

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$53^2 = (50 + 3)^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809$
$49^2 = (50 - 1)^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401$
$21 \cdot 19 = (20 + 1)(20 - 1) = 400 - 1 = 399$

Aufgabe 2: Ausmultiplizieren

Multipliziere aus: $(x + 4)^2$ , $(2x - 3)^2$ und $(5 + y)(5 - y)$ .

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$(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$
$(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$ – Achtung: $(2x)^2 = 4x^2$ und $2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x$ .
$(5 + y)(5 - y) = 25 - y^2$

Aufgabe 3: Den Fehler finden

Tom rechnet $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ . Überprüfe mit $a = 5$ und $b = 2$ und erkläre mit der Simulation, was Tom vergessen hat.

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$(5 + 2)^2 = 49$ , aber $5^2 + 2^2 = 29$ . Es fehlen $20 = 2 \cdot 5 \cdot 2$ , also die zwei Rechtecke $a \cdot b$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Rückwärts – faktorisieren

Schreibe als Produkt: $x^2 + 10x + 25$ , $49 - y^2$ und $9a^2 - 12ab + 4b^2$ .

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$x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$
$49 - y^2 = (7 + y)(7 - y)$
$9a^2 - 12ab + 4b^2 = (3a - 2b)^2$

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 7/8 (Terme mit Klammern, binomische Formeln). Das Flächenmodell eignet sich als Einstieg und als Begründung, warum der Mischterm $2ab$ entsteht.
Animation: Der Knopf unter der Zeichenfläche zerlegt die Figur bzw. setzt sie wieder zusammen. Bei der dritten Formel wird ein Streifen gedreht und umgelegt – eine anschauliche Begründung für $a^2 - b^2$ .
Häufige Stolpersteine:
- $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ („Quadrat wird auf die Summanden verteilt“).
- Bei $(a - b)^2$ wird $+b^2$ als Fehler empfunden. Die Simulation zeigt, dass $b^2$ beim Abziehen der beiden Streifen doppelt abgezogen wird.
- $(2x)^2 = 2x^2$ statt $4x^2$ .
Grenzen des Modells: Flächen setzen positive Längen voraus, bei der 2. und 3. Formel außerdem $a > b$ . Ist $a \le b$ , zeigt die Simulation dort kein Flächenmodell, die Rechnung mit Zahlen unter Ergebnisse stimmt aber weiter, z. B. $(3 - 5)^2 = 4 = 9 - 30 + 25$ . Auch für negative Zahlen gelten die Formeln – das können Sie mit Zahlenbeispielen prüfen lassen.