Lineare Gleichungen am Waagemodell

Worum geht es?

Eine Gleichung wie $3x + 2 = x + 8$ kann man sich als Balkenwaage im Gleichgewicht vorstellen: Links liegen drei Päckchen, die jeweils $x$ wiegen, und zwei Gewichtsstücke zu je $1$, rechts ein Päckchen und acht Gewichtsstücke. Beide Seiten sind gleich schwer – das bedeutet das Gleichheitszeichen.

Gesucht ist das Gewicht $x$ eines Päckchens. Man verändert die Waage so, dass sie im Gleichgewicht bleibt, bis auf einer Seite nur noch ein Päckchen liegt:

Solche Umformungen, die die Lösungsmenge nicht verändern, heißen Äquivalenzumformungen:

• auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addieren oder subtrahieren,
• beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren oder durch dieselbe Zahl (außer $0$) dividieren.

Am Rand notiert man, was man auf beiden Seiten tut, z. B. $\mid -x$. Das Ergebnis schreibt man als Lösungsmenge $L = \{3\}$. Mit der Probe in der Ausgangsgleichung prüft man es: $3 \cdot 3 + 2 = 11$ und $3 + 8 = 11$.

Sonderfälle: Fällt $x$ ganz heraus, bleibt eine Aussage ohne Variable übrig. Ist sie falsch (z. B. $3 = 5$), hat die Gleichung keine Lösung: $L = \{\,\}$. Ist sie wahr (z. B. $4 = 4$), ist jede Zahl Lösung: $L = \mathbb{Q}$.

Grenzen des Modells: Gewichte sind immer positiv. Gleichungen mit negativer Lösung (z. B. $x + 9 = 3x + 13$, also $x = -2$) oder mit Minuszeichen in den Termen lassen sich mit einer Waage nicht darstellen. Auch $2x = 3$ lässt sich im Modell nicht weiter teilen – rechnerisch ist $x = 1{,}5$.

Ausprobieren

1. Tippe nur links auf ein Päckchen. Was passiert mit der Waage? Wie stellst du das Gleichgewicht wieder her?
2. Löse $3x + 2 = x + 8$ mit den Knöpfen Beide Seiten − x, Beide Seiten − 1 und Beide Seiten : 2. Beobachte die Umformungskette rechts.
3. Öffne die Päckchen: Wie schwer ist eines? Stimmt die Probe?
4. Teile beide Seiten von 4x + 2 = 2x + 6 durch 2. Warum bleibt die Waage im Gleichgewicht?
5. Keine Lösung? Nimm auf beiden Seiten alle Päckchen weg. Was bleibt übrig?
6. Grenze des Modells: Warum kann die Waage hier nie im Gleichgewicht sein?
7. 2x = 5: Warum lassen sich die Gewichtsstücke nicht in zwei gleiche Teile teilen? Öffne die Päckchen: Wie schwer ist eines?
8. Drücke Neue Gleichung für eine zufällige Aufgabe.

Aufgaben

Aufgabe 1: Am Waagemodell lösen

Aufgabe laden Löse $5x + 2 = 2x + 14$. Schreibe die Umformungskette auf und mache die Probe.

Aufgabe 2: Das x steht rechts

Aufgabe laden Löse $x + 12 = 4x + 3$.

Aufgabe 3: Vom Bild zur Gleichung

Links liegen 4 Päckchen und 1 Gewichtsstück, rechts 2 Päckchen und 9 Gewichtsstücke; die Waage ist im Gleichgewicht. Stelle die Gleichung auf und bestimme das Gewicht eines Päckchens.

Aufgabe 4: Fehler finden

Max rechnet: $3x + 4 = x + 10 \mid -x$ ergibt $3x + 4 = 10$. Was hat er falsch gemacht? Was zeigt die Waage? Ausgangsgleichung laden

Aufgabe 5: Grenzen des Modells

Löse rechnerisch: (a) $2x + 7 = 4x + 3$ und (b) $x + 6 = 3x + 10$. Welche der beiden Gleichungen lässt sich am Waagemodell lösen?

Aufgabe 6: Sonderfälle

Bestimme die Lösungsmenge: (a) $3x + 5 = 3x + 2$, (b) $2x + 2 = 2(x + 1)$.

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Etwa Klasse 7 (Lineare Gleichungen: Gleichungen aufstellen und durch Äquivalenzumformungen lösen) – als anschaulicher Einstieg, bevor Gleichungen mit negativen Zahlen rein rechnerisch gelöst werden.
• Bedienung: Ein Antippen nimmt einen Gegenstand nur auf einer Seite weg – die Waage kippt und die Umformung wird rot markiert. Erst wenn auf der anderen Seite dasselbe weggenommen wird, entsteht eine gültige Zeile (aufeinanderfolgende gleichartige Schritte werden wie im Heft zusammengefasst, z. B. $\mid -2$). Die Knöpfe führen Umformungen auf beiden Seiten aus; „Beide Seiten : n“ schlägt einen passenden Teiler vor und teilt die Schalen sichtbar in gleiche Gruppen.
• Geteilte Links enthalten die Ausgangsgleichung. „Neue Gleichung“ erzeugt Aufgaben mit natürlicher Lösung von 1 bis 6.
• Grenzen des Modells (bewusst thematisieren): keine negativen Zahlen und keine Differenzen wie $3x - 2$, Lösungen nur positiv, Teilen nur, wenn es aufgeht (bei $2x = 5$ nennt die Simulation $x = 2{,}5$ als rechnerische Lösung). Addieren und Multiplizieren beider Seiten werden hier nicht angeboten, weil sie zum Lösen solcher Gleichungen nicht nötig sind. Sprechen Sie sie trotzdem an: Legt man auf beide Schalen dasselbe, bleibt die Waage ebenfalls im Gleichgewicht.
• Bedienung ohne Maus und Finger: Einzelne Gegenstände lassen sich nur durch Antippen oder Klicken wegnehmen. Mit der Tastatur stehen die Knöpfe für beide Seiten zur Verfügung.
• Häufige Stolpersteine:
  • Es wird nur auf einer Seite umgeformt (genau das zeigt die kippende Waage).
  • Beim Dividieren wird nur ein Teil einer Seite geteilt: $2x + 4 = 10 \mid :2$ ergibt nicht $x + 4 = 5$, sondern $x + 2 = 5$.
  • „Rüberbringen mit Vorzeichenwechsel“ als Regel ohne Verständnis – die Waage zeigt, dass eigentlich auf beiden Seiten subtrahiert wird.