Umkehrfunktionen: Spiegeln an y = x

Worum geht es?

Eine Funktion $f$ ordnet jedem $x$ genau ein $y = f(x)$ zu. Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ geht den Weg rückwärts: Sie ordnet jedem Funktionswert wieder sein $x$ zu. Aus $f(3) = 5$ wird $f^{-1}(5) = 3$.

Wann geht das? Nur wenn jeder Funktionswert genau einmal vorkommt. Im Bild heißt das: Jede waagrechte Gerade schneidet den Graphen höchstens einmal. Sicher ist das der Fall, wenn $f$ streng monoton ist. Bei $f(x) = x^2$ auf ganz $\mathbb{R}$ geht es nicht, denn $f(-2) = f(2) = 4$. Schränkt man die Definitionsmenge auf einen streng monotonen Teil ein, klappt es: Für $x \geq 0$ ist $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$, für $x \leq 0$ ist $f^{-1}(x) = -\sqrt{x}$. Monotonie ist hinreichend, aber nicht notwendig: $f(x) = \frac{1}{x}$ ist auf $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ nicht monoton und trotzdem umkehrbar – sie ist sogar zu sich selbst invers.

Rechnerisch bestimmt man $f^{-1}$ in zwei Schritten:

1. $y = f(x)$ nach $x$ auflösen,
2. $x$ und $y$ tauschen.

Beispiel: $y = 2x - 1 \;\Rightarrow\; x = \frac{y + 1}{2} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2}$.

Grafisch ist das Tauschen von $x$ und $y$ die Spiegelung an der Winkelhalbierenden $y = x$: Aus $P(a \mid b)$ wird $P'(b \mid a)$. Die Strecke $PP'$ steht senkrecht auf $y = x$, ihr Mittelpunkt $M\left(\frac{a+b}{2} \,\middle|\, \frac{a+b}{2}\right)$ liegt auf $y = x$. Dabei tauschen auch Definitions- und Wertemenge die Rollen: $D_{f^{-1}} = W_f$ und $W_{f^{-1}} = D_f$. So entsteht der natürliche Logarithmus: $f(x) = e^x$ hat $D_f = \mathbb{R}$ und $W_f = \mathbb{R}^+$, also ist $\ln x$ nur für $x > 0$ definiert und nimmt alle reellen Werte an.

Ableitung der Umkehrfunktion. Spiegelt man die Tangente in $P$ mit, tauschen die Katheten des Steigungsdreiecks: Aus $\frac{\Delta y}{\Delta x} = m$ wird $\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{m}$. Also gilt für $b = f(a)$ und $f'(a) \neq 0$:

Für $f(x) = e^x$ folgt daraus $(\ln x)' = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}$. Ist $f'(a) = 0$ (waagrechte Tangente), hat $f^{-1}$ in $(b \mid a)$ eine senkrechte Tangente und ist dort nicht differenzierbar – zum Beispiel $f(x) = 0{,}5x^3$ an der Stelle $0$.

Ausprobieren

1. Wurzelfunktion: Ziehe $P$ auf dem Graphen – oder gleich $P'$. Was haben $P$, $P'$ und der Punkt $M$ mit der Geraden $y = x$ zu tun?
2. Drücke „An y = x spiegeln“: Der Graph klappt wie eine Folie um die Gerade $y = x$. Die gestrichelten Spuren zeigen, dass jeder Punkt senkrecht zu $y = x$ wandert. Beobachte auch die farbigen Intervalle an den Achsen und die Spalten der Wertetabelle.
3. Gerade: Drücke „Rechenweg Schritt für Schritt“. Beim Schritt „x und y tauschen“ klappt der Graph um.
4. x² auf ganz ℝ: Lass die waagrechte Gerade wandern. Wie viele Schnittpunkte gibt es höchstens? Warum ist das Spiegelbild kein Funktionsgraph? Wechsle dann zu „steigender Ast“ und „fallender Ast“.
5. 0,5x³: Die Tangente in $(0 \mid 0)$ ist waagrecht. Ist $f$ trotzdem streng monoton?
6. eˣ und ln x: Vergleiche die Steigungsdreiecke in $P$ und $P'$. Lass $P$ wandern: Wie hängen $m$ und $m'$ zusammen? Was wird aus einer waagrechten Tangente?
7. 1/x: Warum fallen die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ zusammen?
8. Ausblick: Sinus eingeschränkt. Auf $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ ist $\sin$ streng monoton steigend, die Umkehrfunktion heißt $\arcsin$.

Aufgaben

Aufgabe 1: Eine lineare Funktion umkehren

Bestimme die Umkehrfunktion von $f(x) = 2x - 1$ und berechne $f^{-1}(5)$. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Kubische Funktion

Bestimme die Umkehrfunktion von $f(x) = 0{,}5x^3$ und prüfe sie am Punkt $P(2 \mid f(2))$. Aufgabe laden

Aufgabe 3: Umkehrbar machen

Begründe, dass $f(x) = x^2$ auf $\mathbb{R}$ nicht umkehrbar ist. Gib zwei Einschränkungen der Definitionsmenge an, auf denen $f$ umkehrbar ist, und jeweils $f^{-1}$ mit Definitions- und Wertemenge. Aufgabe laden

Aufgabe 4: e-Funktion und Logarithmus

Gib für $f(x) = e^x$ und $f^{-1}(x) = \ln x$ jeweils Definitions- und Wertemenge an. Welcher Punkt des Graphen von $\ln$ gehört zu $P(1 \mid e)$? Aufgabe laden

Aufgabe 5: Ableitung der Wurzelfunktion

$f(x) = x^2$ mit $x \geq 0$, $P(1{,}5 \mid 2{,}25)$. Berechne $f'(1{,}5)$ und daraus die Steigung von $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ an der Stelle $2{,}25$. Prüfe mit $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Aufgabe laden

Aufgabe 6: Senkrechte Tangente

Begründe ohne Rechnung, dass $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{2x}$ im Ursprung nicht differenzierbar ist, obwohl $f(x) = 0{,}5x^3$ dort differenzierbar ist. Berechne außerdem $\left(f^{-1}\right)'(4)$. Aufgabe laden

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Oberstufe: Wurzelfunktion (Umkehrbarkeit über strenge Monotonie) und natürliche Logarithmusfunktion samt Ableitung. Der Sinus mit $\arcsin$ ist als Ausblick gedacht.
• Ablauf: Die drei Ansichten lassen sich als Abfolge nutzen: erst „Umkehrbar?“ (waagrechte Gerade), dann „Spiegeln an y = x“ (Rechenweg und Umklappen), zuletzt „Ableitung von f⁻¹“ als Weg zu $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
• Handlungsorientiert: Einen Graphen auf Folie zeichnen und die Folie entlang $y = x$ umdrehen – danach mit der Animation vergleichen. Mit „Lösungen zeigen“ aus (show=0) und ohne Graph von $f^{-1}$ (inv=0) eignen sich die Bilder als Übungsaufgaben.
• Häufige Stolpersteine:
  • $f^{-1}(x)$ wird mit $\frac{1}{f(x)}$ verwechselt – das Hochzeichen $-1$ bedeutet hier „Umkehrung“, nicht „Kehrwert“.
  • Nach dem Auflösen wird das Tauschen von $x$ und $y$ vergessen.
  • Die Einschränkung der Definitionsmenge (z. B. $x \geq 0$) wird nicht mitgedacht, und dann fehlt das Vorzeichen bei $-\sqrt{x}$.
  • „Streng monoton“ wird mit „$f' > 0$“ gleichgesetzt: $0{,}5x^3$ ist streng monoton steigend, obwohl $f'(0) = 0$ ist.
  • Bei $\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ wird $f'$ an der falschen Stelle ($b$ statt $a$) eingesetzt.