Hyperbeln und ihre Asymptoten

Worum geht es?

Zwei Größen heißen indirekt proportional, wenn ihr Produkt immer gleich ist: Verdoppelt man die eine, halbiert sich die andere. Für eine feste Zahl $a$ gilt dann

Anschaulich: Alle Rechtecke zwischen den Achsen und einem Punkt $P(x \mid y)$ des Graphen haben denselben Flächeninhalt $|a|$ – ein schmales hohes Rechteck genauso wie ein breites flaches. Der Graph heißt Hyperbel; die einfachste ist die Grundfunktion $y = \frac{1}{x}$.

Streckt man mit dem Faktor $a$ und verschiebt anschließend um $b$ in $x$-Richtung und um $c$ in $y$-Richtung, erhält man

• Senkrechte Asymptote $x = b$: Dort ist der Nenner null, $f$ ist nicht definiert (Polstelle). Kommt $x$ der Stelle $b$ immer näher, werden die Funktionswerte betragsmäßig beliebig groß.
• Waagrechte Asymptote $y = c$: Für $x \to +\infty$ und $x \to -\infty$ wird $\frac{a}{x-b}$ beliebig klein, der Graph nähert sich der Geraden $y = c$, erreicht sie aber nie.
• Definitionsmenge $D = \mathbb{R} \setminus \{b\}$, Wertemenge $W = \mathbb{R} \setminus \{c\}$.
• Vorzeichen von $a$: Bezogen auf das Achsenkreuz der Asymptoten (Schnittpunkt $Z(b \mid c)$) liegen die beiden Äste für $a > 0$ im I. und III. Quadranten (auf beiden Teilintervallen fallend), für $a < 0$ im II. und IV. Quadranten (steigend). Je größer $|a|$, desto weiter liegen die Äste von den Asymptoten entfernt.
• Auch nach dem Verschieben gilt die indirekte Proportionalität – nur gemessen von den Asymptoten aus: $(x - b) \cdot (y - c) = a$.

Schnittpunkte mit den Achsen:

Für $c = 0$ ist die $x$-Achse selbst Asymptote – dann gibt es keine Nullstelle; für $b = 0$ gibt es keinen Schnittpunkt mit der $y$-Achse.

Ausprobieren

1. Ziehe den orangen Punkt $P$ am Graphen entlang. Das grüne Rechteck ändert seine Form, aber sein Flächeninhalt bleibt $4$. Lies in der Wertetabelle ab: Was passiert mit $y$, wenn $x$ doppelt so groß wird? Beispiel laden
2. Stelle $a$ negativ ein. In welchen Quadranten liegen die Äste jetzt? Was bedeutet das für die Monotonie? Beispiel laden
3. Klicke auf Erst strecken, dann verschieben: Aus der Grundfunktion $\frac{1}{x}$ entsteht Schritt für Schritt die Hyperbel. Beispiel laden
4. Ziehe das Asymptotenkreuz $Z$. Wie hängen $D$ und $W$ mit $Z$ zusammen?
5. Wähle bei Wertetabelle „x → ±∞“ und lass $P$ nach außen laufen. Um wie viel wird der Abstand zur waagrechten Asymptote kleiner, wenn $x - b$ zehnmal so groß wird? Beispiel laden
6. Lass $P$ zur Polstelle laufen. Was passiert mit den Funktionswerten? Beispiel laden
7. Ziehe den grünen Punkt $Q(b + 1 \mid c + a)$: Er liegt $1$ rechts von $Z$ und um $a$ verschoben (für $a < 0$ also unterhalb). Das Rechteck mit der Breite $1$ hat den Flächeninhalt $|a|$. Liegt $P$ gerade dort, springt $Q$ auf die andere Seite: $Q(b - 1 \mid c - a)$.

Aufgaben

Aufgabe 1: Indirekt proportional?

Ein Rechteck soll den Flächeninhalt $12\,\text{cm}^2$ haben. Stelle die Länge $y$ in Abhängigkeit von der Breite $x$ dar und berechne $y$ für $x = 1{,}5$; $3$; $6$.

Aufgabe 2: Term ablesen

Aufgabe laden Lies die Asymptoten im Bild ab (nicht an den Reglern) und bestimme $a$ mit einem Punkt des Graphen. Gib den Funktionsterm, $D$ und $W$ an.

Aufgabe 3: Nullstelle und y-Achsenabschnitt

Berechne die Schnittpunkte des Graphen von $f(x) = \frac{3}{x - 2} + 1$ mit den Koordinatenachsen.

Aufgabe 4: Annäherung an die Asymptote

Für $f(x) = \frac{2}{x + 1} + 1{,}5$: Ab welchem $x$ unterscheiden sich die Funktionswerte um weniger als $0{,}01$ von $1{,}5$ (für $x > -1$)?

Aufgabe 5: Hyperbel durch zwei Punkte

Die Hyperbel $f(x) = \frac{a}{x} + c$ geht durch $A(1 \mid 5)$ und $B(4 \mid 2)$. Bestimme $a$ und $c$.

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Etwa Klasse 8, elementare gebrochen-rationale Funktionen: Einstieg über die indirekte Proportionalität (Rechtecke gleichen Flächeninhalts), danach Einfluss der Parameter, Definitions- und Wertemenge, Asymptoten. Die Schreibweise $\frac{a}{x - b} + c$ entspricht der Scheitelpunktform der Parabel – die Animation „Erst strecken, dann verschieben“ knüpft daran an.
• Grenzwertbegriff: Die Annäherung an die Asymptoten wird nur propädeutisch über Wertetabellen behandelt („kommt beliebig nahe, erreicht aber nicht“); $x \to \infty$ ist hier eine Sprechweise, kein formaler Grenzwert.
• Häufige Stolpersteine:
  • „Der Graph schneidet die Asymptote nie.“ – Für diese Hyperbeln stimmt das, im Allgemeinen (später: gebrochen-rationale Funktionen) kann ein Graph seine waagrechte Asymptote durchaus schneiden.
  • Das Vorzeichen von $b$: Bei $\frac{a}{x + 2}$ liegt die Polstelle bei $x = -2$.
  • „Die beiden Äste sind zwei Funktionen.“ – Es ist eine Funktion mit einer Definitionslücke; die Äste liegen punktsymmetrisch zu $Z(b \mid c)$.
  • Die Polstelle wird als Nullstelle gelesen, weil dort der Nenner null wird.
• Aufgabenmodus: Mit info=0 und Teilen → Ergebnisse verdecken sind Steckbrief, Wertetabelle und Beschriftungen verdeckt; Asymptoten und Graph bleiben sichtbar und können abgelesen werden.