Monotonie, Extrem- und Wendestellen

Worum geht es?

Bei einer Funktionsuntersuchung (Kurvendiskussion) liest man mit Hilfe der Ableitungen ab, wo der Graph von $f$ steigt oder fällt, wo er Hoch- und Tiefpunkte hat und wo er seine Krümmung ändert. Die Simulation geht in sieben Schritten vor:

1. Ableitungen bilden: mit der Potenzregel $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ für jeden Summanden, z. B. $f(x) = x^3 - 3x$, $f'(x) = 3x^2 - 3$, $f''(x) = 6x$.
2. Symmetrie und Verhalten für $x \to \pm\infty$: Nur gerade Hochzahlen ⇒ achsensymmetrisch zur $y$-Achse, nur ungerade ⇒ punktsymmetrisch zum Ursprung. Für $x \to \pm\infty$ entscheidet der Summand mit der höchsten Hochzahl.
3. Nullstellen: $f(x) = 0$, oft durch Ausklammern oder Substitution.
4. Notwendige Bedingung: An einer Extremstelle ist die Tangente waagrecht, also $f'(x_0) = 0$. Die Lösungen sind nur Kandidaten.
5. Hinreichende Bedingung: Wechselt $f'$ bei $x_0$ das Vorzeichen von $+$ nach $-$, liegt ein Hochpunkt vor, von $-$ nach $+$ ein Tiefpunkt. Ohne Vorzeichenwechsel (VZW) ist es ein Terrassenpunkt. Gegenprobe mit dem $f''$-Kriterium: $f''(x_0) < 0$ ⇒ Hochpunkt, $f''(x_0) > 0$ ⇒ Tiefpunkt.
6. Wendestellen: $f''(x_0) = 0$ mit Vorzeichenwechsel von $f''$ (hinreichend auch: $f'''(x_0) \neq 0$). Dort wechselt der Graph zwischen Linkskurve ($f'' > 0$) und Rechtskurve ($f'' < 0$).
7. Monotonie und Krümmung: Wo $f' > 0$, ist $f$ streng monoton steigend, wo $f' < 0$, streng monoton fallend.

Die Vorzeichentabelle fasst Schritt 5 zusammen. Für $f(x) = x^3 - 3x$ mit $f'(x) = 3(x + 1)(x - 1)$:

Also ist $f$ streng monoton steigend in $]-\infty; -1]$ und $[1; \infty[$, fallend in $[-1; 1]$. Aus $f''(x) = 6x = 0$ folgt der Wendepunkt $W(0 \mid 0)$.

Vorsicht beim $f''$-Kriterium: Ist $f''(x_0) = 0$, sagt es nichts aus. $f(x) = x^4$ hat bei $0$ trotzdem einen Tiefpunkt ($f'$ wechselt von $-$ nach $+$), aber keinen Wendepunkt, weil $f''(x) = 12x^2$ das Vorzeichen nicht wechselt. $f(x) = x^3$ hat bei $0$ einen Terrassenpunkt – das ist zugleich ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

In der Simulation stehen die Graphen von $f'$ und $f''$ mit gemeinsamer $x$-Achse unter $f$. Die Fläche zwischen Graph und $x$-Achse ist oberhalb der Achse ($+$) grün und unterhalb ($-$) rot gefärbt. Gestrichelte Linien verbinden die Nullstellen von $f'$ mit den Extrempunkten und die von $f''$ mit den Wendepunkten. Der Punkt $P$ trägt die Tangente: Ihre Steigung ist genau der Wert von $f'$ darunter.

Ausprobieren

1. f(x) = x³ − 3x: Drücke mehrmals „Nächster Schritt“ (oder tippe die Punkte 1–7 in der Karte an) und verfolge, wie sich die Vorzeichentabelle Zelle für Zelle füllt.
2. Ziehe $P$ langsam über den Graphen oder drücke „Tangente wandern lassen“. Wo ist der Balken im Bild von $f'$ am längsten, wo verschwindet er? An einer waagrechten Tangente rastet $P$ ein. Tangente bei x₀ = 2: Prüfe $t(x) = 9x - 16$.
3. Ziehe den Punkt auf der $y$-Achse nach oben und unten. Was ändert sich an $f'$ und $f''$, was an den Extremstellen und an den Hoch- und Tiefwerten?
4. Verändere den Koeffizienten vor $x$ in x³ + c·x. Ab welchem Wert von $c$ verschwinden Hoch- und Tiefpunkt?
5. Terrassenpunkt x³ und x⁴: Vergleiche jeweils die Vorzeichentabellen von $f'$ und $f''$. Warum ist $x = 0$ einmal ein Extremum und einmal nicht?

Aufgaben

Untersuche $f(x) = -x^3 + 3x^2$ auf Extrem- und Wendepunkte und gib die Monotonieintervalle an.

Bestimme Extrem- und Wendepunkte von $f(x) = x^4 - 2x^2$.

Aufgabe 3: Wenn das f″-Kriterium schweigt

Zeige, dass $f'(x_0) = 0$ nicht hinreichend für eine Extremstelle ist, und dass aus $f''(x_0) = 0$ nicht „kein Extremum“ folgt.

Untersuche $f(x) = -0{,}25x^4 + x^3$ vollständig: Symmetrie, Verhalten für $x \to \pm\infty$, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte, Monotonie und Krümmung.

Erstelle den Steckbrief von $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ und decke die Ergebnisse danach Schritt für Schritt auf.

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Die Simulation passt zur Oberstufe, Anwendung der Differentialrechnung bei der Untersuchung ganzrationaler Funktionen. Die Schritte 2 und 3 (Symmetrie, Verhalten für $x \to \pm\infty$, Nullstellen mit Vielfachheit) greifen die ganzrationalen Funktionen der Mittelstufe auf. Die Simulation eignet sich zur Erarbeitung, zur Übung und zum Wiederholen vor Prüfungen.
• Erst rechnen, dann aufdecken: Mit „Ergebnisse zeigen“ aus rechnen die Lernenden jeden Schritt auf Papier, gehen mit „Nächster Schritt“ weiter und prüfen mit „Ergebnisse aufdecken“.
• Graphisches Ableiten: „Graphen von f′ und f″“ ausschalten, $f'$ skizzieren lassen und dann einblenden – die Hilfslinien zeigen, ob die Nullstellen an der richtigen Stelle sitzen.
• Parameter erkunden: Wann hat $x^3 + cx$ Extrempunkte? (Nur für $c < 0$.) Das bereitet Funktionenscharen vor.
• Häufige Stolpersteine:
  • Die notwendige Bedingung $f'(x_0) = 0$ wird schon als Nachweis eines Extremums gesehen.
  • Bei $f''(x_0) = 0$ wird vorschnell „kein Extremum“ oder „Wendepunkt“ geschlossen.
  • Bei Hoch- und Tiefpunkten fehlt die $y$-Koordinate.
  • Ein Absolutglied wird bei der Symmetrie übersehen: $x^3 - 3x + 1$ ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  • Monotonie wird aus dem Vorzeichen von $f$ statt von $f'$ abgelesen.