Rotationskörper

Worum geht es?

Dreht sich die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion $f$ und der $x$-Achse im Intervall $[a; b]$ einmal ganz um die $x$-Achse, so entsteht ein Rotationskörper. Aus einem Rechteck wird ein Zylinder, aus einem Dreieck ein Kegel, aus einem Halbkreis eine Kugel.

Querschnitt an der Stelle x

Schneidet man den Körper senkrecht zur Achse an der Stelle $x$ auf, sieht man einen Kreis mit dem Radius $|f(x)|$. Sein Flächeninhalt ist

Scheibenmethode

Zerlegt man $[a; b]$ in $n$ gleich breite Streifen der Breite $\Delta x = \tfrac{b - a}{n}$, wird jeder Streifen beim Drehen zu einer dünnen Zylinderscheibe mit dem Radius $r_i$ und dem Volumen $\pi r_i^2 \cdot \Delta x$. Die Summe

ist eine Näherung für das Volumen. Nimmt man als Radius den kleinsten Wert von $|f(x)|$ im Streifen (innere Scheiben), liegt die Summe unter dem Volumen, mit dem größten Wert von $|f(x)|$ (äußere Scheiben) darüber – wie bei Unter- und Obersumme. Für $n \to \infty$ streben beide gegen denselben Grenzwert, das Integral:

Kontrolle mit bekannten Körperformeln

• $f(x) = r$ auf $[0; h]$: $V = \pi \int_0^h r^2 \, dx = \pi r^2 h$ (Zylinder).
• $f(x) = \tfrac{r}{h}x$ auf $[0; h]$: $V = \pi \int_0^h \tfrac{r^2}{h^2}x^2 \, dx = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$ (Kegel).
• $f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}$ auf $[-r; r]$: $V = \pi \int_{-r}^{r} (r^2 - x^2) \, dx = \pi\left[r^2x - \tfrac{x^3}{3}\right]_{-r}^{r} = \tfrac{4}{3}\pi r^3$ (Kugel).
• $f(x) = \sqrt{x}$ auf $[0; 4]$: $V = \pi \int_0^4 x \, dx = 8\pi$ – genau die Hälfte des umschließenden Zylinders $\pi \cdot 2^2 \cdot 4 = 16\pi$.

Für den Sinusbogen oder das „Horn“ zu $f(x) = \tfrac{1}{x}$ gibt es keine Formel aus der Mittelstufe – hier hilft nur das Integral.

Ausprobieren

1. Wähle „Rotieren lassen“ und beobachte, wie die grüne Fläche den Körper überstreicht. Stelle den Drehwinkel $\varphi$ auf $90°$ und auf $270°$: Welche Teile der Kugel siehst du? Viertel gedreht
2. Verschiebe den orangen Querschnitt an der Stelle $x$. Wo ist $A(x)$ am größten, wo ist $A(x) = 0$? Kugel mit Querschnitt
3. Zerlege den Kegel in 4 Scheiben und vergleiche „kleinster Radius (innen)“ mit „größter Radius (außen)“. Verdopple $n$ mehrmals. Kegel in 4 Scheiben
4. Ziehe die Scheiben des Paraboloids auseinander und wieder zusammen. Warum stimmt hier schon die Mittelpunktsumme mit 8 Scheiben exakt? Paraboloid
5. Ziehe am grünen Griff in der Seitenansicht, bis $m$ doppelt so groß ist ($m = 1$): Dann ist auch $f$ verdoppelt. Wie ändert sich das Volumen? Kegel
6. Gabriels Horn: Schiebe $b$ immer weiter nach rechts. Wächst das Volumen über alle Grenzen? Horn

Aufgaben

Aufgabe 1: Kegel

Die Gerade $f(x) = 0{,}5x$ dreht sich auf $[0; 4]$ um die $x$-Achse. Berechne das Volumen mit dem Integral und kontrolliere mit der Kegelformel. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Kugelvolumen

Leite mit $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ das Volumen einer Kugel mit $r = 3$ her. Aufgabe laden

Aufgabe 3: Innere und äußere Scheiben

Ersetze den Kegel zu $f(x) = x$ auf $[0; 4]$ durch 4 innere bzw. 4 äußere Zylinderscheiben. Berechne beide Summen und das exakte Volumen. Aufgabe laden

Aufgabe 4: Spindel

Der Sinusbogen $f(x) = \sin x$ auf $[0; \pi]$ dreht sich um die $x$-Achse. Berechne das Volumen. Tipp: $\sin^2 x = \tfrac{1}{2}(1 - \cos 2x)$. Aufgabe laden

Aufgabe 5: Kugelabschnitt

Eine Kugel mit $r = 2$ wird bei $x = 1$ abgeschnitten. Berechne das Volumen des kleineren Teils mit dem Integral und mit der Formel $V = \tfrac{1}{3}\pi h^2 (3r - h)$. Aufgabe laden

Aufgabe 6: Gabriels Horn

Berechne das Volumen für $f(x) = \tfrac{1}{x}$ auf $[1; b]$ und untersuche $b \to \infty$. Aufgabe laden

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Oberstufe, Integralrechnung (Anwendungen des Integrals); Rotationskörper sind je nach Lehrplan Vertiefung bzw. Ausblick. Geeignet als Einstieg (Drehen der Fläche), zur Herleitung der Formel über die Scheibensumme und zur Kontrolle bekannter Körperformeln aus der Mittelstufe.
• Modell: Die Scheiben sind Zylinder der Dicke $\Delta x$; als Radius dienen wahlweise der Funktionswert in der Streifenmitte, der kleinste oder der größte Wert im Streifen. Die Seitenansicht zeigt den Graphen mit den zugehörigen Rechtecken und ihr Spiegelbild (Längsschnitt). Grenzen außerhalb des Definitionsbereichs werden angepasst (z. B. höchstens $\pi$ beim Sinus).
• Häufige Stolpersteine:
  • „$V = \pi \int_a^b f(x) \, dx$“ – der Radius wird quadriert, weil der Querschnitt die Kreisfläche $\pi f(x)^2$ ist; ein Faktor 2 beim Doppeln von $f$ wird zum Faktor 4 beim Volumen.
  • „$V = \left(\pi \int_a^b f(x)\,dx\right)^2$“ – quadriert wird der Integrand, nicht das Integral.
  • „Liegt der Graph unter der $x$-Achse, wird das Volumen negativ.“ – $f(x)^2 \geq 0$, das Volumen ist immer positiv.
  • Gabriels Horn: Das Volumen ist endlich ($\pi$), die Oberfläche aber unendlich groß – ein schöner Anlass, über Grenzwerte zu sprechen.