Integral als Flächenbilanz (Rechtecksummen)

Worum geht es?

Die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse lässt sich mit Rechtecken annähern. Man teilt das Intervall $[a; b]$ in $n$ gleich breite Streifen der Breite $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ .

Untersumme $U_n$ : Jedes Rechteck ist so hoch wie der kleinste Funktionswert im Streifen.
Obersumme $O_n$ : Jedes Rechteck ist so hoch wie der größte Funktionswert im Streifen.

Dann liegt das Integral immer dazwischen: $U_n \leq \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq O_n$ (für $f \geq 0$ ist das die Fläche). Mit wachsendem $n$ rücken beide Summen zusammen; ihr gemeinsamer Grenzwert ist das Integral:

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} U_n = \lim_{n \to \infty} O_n

Flächenbilanz: Flächen unterhalb der x-Achse zählen negativ. Das Integral von $\sin x$ über $[0; 2\pi]$ ist deshalb $0$ , obwohl die Fläche nicht null ist.

Weitere Näherungen: Links-, Rechts- und Mittelsumme (Höhe am linken, rechten Rand bzw. in der Mitte) und die Trapezsumme.

Ausprobieren

Drücke mehrmals n verdoppeln und beobachte, wie Unter- und Obersumme zusammenrücken.
Ziehe die Grenzen $a$ und $b$ auf der x-Achse.
Wähle $\sin x$ von $0$ bis $2\pi$ . Warum ist die Summe fast null? Flächenbilanz
Vergleiche Mittelsumme und Trapezsumme. Welche ist bei gleichem $n$ genauer? Trapezsumme

Aufgaben

Aufgabe 1: Von Hand rechnen

Berechne für $f(x) = x^2$ auf $[0; 2]$ mit $n = 4$ die Unter- und die Obersumme. Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$\Delta x = 0{,}5$ . Weil $f$ auf $[0; 2]$ steigt, liegt das Minimum jeweils links, das Maximum rechts:

$U_4 = 0{,}5 \cdot (0 + 0{,}25 + 1 + 2{,}25) = 1{,}75 \qquad O_4 = 0{,}5 \cdot (0{,}25 + 1 + 2{,}25 + 4) = 3{,}75$

Der exakte Wert ist $\frac{8}{3} \approx 2{,}67$ .

Aufgabe 2: Wie viele Streifen?

Für steigende Funktionen gilt $O_n - U_n = \Delta x \cdot (f(b) - f(a))$ . Wie groß muss $n$ für $f(x) = x^2$ auf $[0; 2]$ sein, damit $O_n - U_n < 0{,}1$ gilt?

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$O_n - U_n = \frac{2}{n} \cdot (4 - 0) = \frac{8}{n} < 0{,}1 \Rightarrow n > 80$ , also mindestens $n = 81$ . Zum Beispiel $n = 128$ : $\frac{8}{128} = 0{,}0625$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Flächen unter der x-Achse

Berechne $\int_{-2}^{3} (0{,}5x^3 - 2x)\,\mathrm{d}x$ mit der Stammfunktion $F(x) = 0{,}125x^4 - x^2$ und vergleiche mit der Simulation. Warum ist das nicht der Inhalt der eingeschlossenen Fläche?

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$F(3) - F(-2) = (10{,}125 - 9) - (2 - 4) = 3{,}125$ . Teile des Graphen liegen unter der x-Achse; diese Flächen werden abgezogen. Für den Flächeninhalt müsste man an den Nullstellen aufteilen und die Beträge addieren. In der Simulation zeigen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Oberstufe (Flächeninhalt und bestimmtes Integral, oft auf erhöhtem Anforderungsniveau); auch für die Einführung des Integralbegriffs allgemein.
Animation: Beim Verdoppeln bzw. Halbieren von $n$ wachsen die neuen Rechtecke aus den alten heraus. Die Tabelle zeigt die Summen für $n = 4$ bis $128$ .
Hinweis zur Berechnung: Minimum und Maximum je Streifen werden exakt bestimmt: Die Simulation vergleicht die Funktionswerte an den Streifenrändern und an den Stellen mit $f'(x) = 0$ im Streifen.
Häufige Stolpersteine:
- Integral und Flächeninhalt werden gleichgesetzt, auch wenn der Graph unter die x-Achse geht.
- Untersumme = Linkssumme gilt nur für steigende Funktionen.