Taylorpolynome

Worum geht es?

Viele Funktionen lassen sich in der Nähe einer Stelle $a$ gut durch Polynome annähern. Das Taylorpolynom $n$-ten Grades

$T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k$

hat bei $x = a$ denselben Funktionswert und dieselben ersten $n$ Ableitungen wie $f$. $T_0$ ist die waagerechte Gerade $y = f(a)$, $T_1$ die Tangente, $T_2$ die „Schmiegparabel“ mit derselben Krümmung. Die Ansicht Ableitungen anpassen zeigt das als Liste mit Häkchen: Wert ✓, Steigung ✓, Krümmung ✓ …

Woher kommen die Koeffizienten? Leitet man $(x-a)^k$ $k$-mal ab, entsteht $k!$. Damit $T_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ gilt, muss $c_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ sein. Beispiele um $a = 0$:

$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$, $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$, $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$, $\frac{1}{1-x} \approx 1 + x + x^2 + x^3$ (geometrische Reihe), $\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$. Bei $\sin x$ um $0$ sind alle geraden Ableitungen $0$. Deshalb ist $T_4 = T_3$ – ein neuer Grad bringt dort keinen neuen Summanden.

Wie gut ist die Näherung? Der Fehler $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ ist nahe bei $a$ winzig und wächst mit dem Abstand. Für sin, cos und $e^x$ gibt die Lagrange-Abschätzung die Schranke $|R_n(x)| \le M \cdot \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}$, wobei $M$ eine Schranke für $|f^{(n+1)}|$ zwischen $a$ und $x$ ist ($M = 1$ bei sin und cos, $M = e^{\max(a,x)}$ bei $e^x$). Ist $T_n = T_{n+1}$, darf man sogar mit $n + 1$ rechnen.

Konvergenzradius: Bei sin, cos und $e^x$ wird die Näherung mit wachsendem $n$ überall besser. Bei $\ln(1+x)$ und $\frac{1}{1-x}$ nur im Konvergenzintervall $|x - a| < r$; $r$ ist der Abstand von $a$ zur Definitionslücke $-1$ bzw. zur Polstelle $1$. Außerhalb „explodieren“ die Polynome, und der Fehler wächst mit $n$.

Ausprobieren

1. sin x um 0: Drücke mehrmals „Grad erhöhen“. Warum ändert sich bei jedem zweiten Schritt nichts? Die Hinweiskarte erklärt es.
2. Summand für Summand: Erhöhe den Grad bis 7 und beobachte den gestrichelten neuen Summanden. Welche Zeilen der Tabelle sind 0?
3. Ableitungen anpassen: Welche Häkchen sind grün, welches rot? Tippe die Zeilen an und vergleiche $f''$ mit $T_2''$. Wie sieht $T_2'''$ aus?
4. Sonderfall n = 0: Warum ist $T_0$ waagerecht? Ziehe danach die Entwicklungsstelle. Im ε-Schlauch bei eˣ: Lass „Alle Grade durchlaufen“. Warum ist der Bereich nicht symmetrisch um $a$?
5. Konvergenzradius bei ln(1 + x): Drücke „Alle Grade durchlaufen“. Was passiert rechts von $x = 1$? Schiebe die Prüfstelle auf $x = 0{,}5$ und vergleiche das Fehlerdiagramm. Wie groß ist der Radius mit a nahe −1?
6. Taschenrechner: Wie viele Stellen von $e$ stimmen nach jedem Summanden? Vergleiche mit sin 0,5 und 1/(1 − x) an x = 1.
7. Pendel: Ziehe den Punkt. Bis zu welchem Winkel ist der Bogen $l \cdot \varphi$ fast so lang wie die Auslenkung $l \cdot \sin\varphi$?

Aufgaben

Berechne $T_4(1)$ für $f(x) = e^x$ und $a = 0$. Wie groß ist der Fehler, und was sagt die Lagrange-Abschätzung? Wie viele Summanden braucht man für 6 richtige Nachkommastellen?

Bestimme $T_3$ von $\sin x$ um $a = 0$, berechne $\sin 0{,}5$ näherungsweise und schätze den Fehler mit Lagrange ab.

Stelle $T_4$ von $\cos x$ um $a = 0$ auf, indem du die Tabelle $k$ | $f^{(k)}(0)$ | $k!$ | $c_k$ selbst ausfüllst.

Für welche Winkel weicht $\sin\varphi$ um weniger als $0{,}01$ von $\varphi$ ab? Schätze mit dem nächsten Summanden $\frac{\varphi^3}{6}$ und gib das Ergebnis auch in Grad an.

Berechne $T_5(1)$ für $\ln(1+x)$ um $0$ und vergleiche mit $\ln 2$. Was passiert bei $x = 1{,}5$?

Aufgabe 6: Geometrische Reihe (Knobelaufgabe)

Begründe, dass alle Koeffizienten von $\frac{1}{1-x}$ um $0$ gleich $1$ sind. Für welche $x$ konvergiert die Reihe? Was passiert bei $x = 1$ und $x = -1$? Zeigen

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Vertiefung in der Oberstufe (z. B. Seminar, Begabtenförderung) und Analysis im ersten Studienjahr. Der Lehrplanbezug ist je nach Land und Kurs verschieden – bitte am Lehrplan prüfen.
• Einstieg über den Taschenrechner: „Wie berechnet ein Rechner $\sin 0{,}5$ oder $e$?“ Die fett markierten Stellen in der Ansicht Taschenrechner machen sichtbar, wie schnell die Näherung besser wird.
• Von der Tangente zur Schmiegparabel: Die Ansicht Ableitungen anpassen knüpft an die Tangente an. Die Klasse kann vorab vermuten, welche Häkchen bei $T_2$ grün werden.
• Physik-Bezug: Kleinwinkelnäherung $\sin\varphi \approx \varphi$ beim Fadenpendel; die Schwingungsdauer $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ gilt nur für kleine Ausschläge.
• Häufige Stolpersteine:
  • Die Fakultät im Nenner wird vergessen, oder bei $a \neq 0$ steht $x^k$ statt $(x-a)^k$.
  • Man erwartet, dass mehr Summanden immer helfen – das gilt nur im Konvergenzintervall.
  • Die Lagrange-Abschätzung wird mit dem wahren Fehler verwechselt; sie ist nur eine obere Schranke.