Von der Sekante zur Tangente

Worum geht es?

Die Sekante ist die Gerade durch zwei Punkte des Graphen: $P(x_0 \mid f(x_0))$ und $Q(x_0 + h \mid f(x_0 + h))$. Ihre Steigung ist der Differenzenquotient

Er beschreibt die mittlere Änderungsrate von $f$ zwischen $x_0$ und $x_0 + h$. Im Steigungsdreieck ist $h$ die waagrechte und $\Delta y = f(x_0 + h) - f(x_0)$ die senkrechte Seite.

Lässt man $Q$ immer näher an $P$ heranrücken ($h \to 0$), dreht sich die Sekante in eine Grenzlage: die Tangente in $P$. Ihre Steigung ist die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$ (lokale Änderungsrate):

Wichtig: $h = 0$ darf man nicht einsetzen. Dann stünde $\frac{0}{0}$ da, und durch $0$ kann man nicht teilen. Man betrachtet, wogegen $m_s$ strebt, wenn $h$ immer kleiner wird – von rechts ($h > 0$) und von links ($h < 0$).

Beispiel: $f(x) = x^2$ (h-Methode)

Das Kürzen durch $h$ ist erlaubt, solange $h \neq 0$ ist. Also ist $f'(x_0) = 2x_0$, z. B. $f'(1) = 2$. Die Tangente in $P(1 \mid 1)$ hat die Gleichung $y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1$.

Wenn es keinen Grenzwert gibt: der Knick bei $|x|$

Bei $f(x) = |x|$ und $x_0 = 0$ ist $m_s = \frac{|h|}{h}$. Für jedes $h > 0$ ergibt das $1$, für jedes $h < 0$ ergibt das $-1$. Von rechts und von links kommt also nicht dasselbe heraus. Der Grenzwert existiert nicht, $f$ ist an der Stelle $0$ nicht differenzierbar. Am Graphen sieht man einen Knick, und es gibt dort keine Tangente.

Ausprobieren

1. Ziehe $Q$ in Richtung $P$ oder drücke h → 0. Beobachte den Differenzenquotienten und die Tabelle.
2. Wähle ein negatives $h$: $Q$ liegt dann links von $P$. Ist der Grenzwert derselbe? h negativ
3. Stelle $h = 0$ ein. Was zeigt die Simulation an, und warum?
4. Blende die Tangente ein und verschiebe $P$. Wo ist die Tangente waagrecht? Kubische Funktion
5. Schalte Ableitungsgraph f′ entstehen lassen ein und ziehe $P$ langsam von links nach rechts. Welche Funktion entsteht bei $\sin x$? Sinus
6. Wähle $f(x) = |x|$ mit $x_0 = 0$. Vergleiche die Tabelle für positives und für negatives $h$. Knick bei |x|

Aufgaben

Aufgabe 1: Differenzenquotienten berechnen

Berechne für $f(x) = x^2$ und $x_0 = 1$ den Differenzenquotienten für $h = 1$, $h = 0{,}5$ und $h = 0{,}1$. Rechne zuerst von Hand und vergleiche dann mit der Tabelle. Gegen welchen Wert streben die Ergebnisse?

Aufgabe 2: h-Methode mit negativem h

Bestimme mit der h-Methode die Ableitung von $f(x) = x^2$ an der Stelle $x_0 = -2$. Berechne außerdem $m_s$ für $h = 1$ und für $h = -1$. Was bedeutet das Vorzeichen von $f'(-2)$?

Aufgabe 3: Waagrechte Tangente

Bei $f(x) = 0{,}25x^3 - x$ gibt es zwei Stellen mit waagrechter Tangente. Suche sie in der Simulation und berechne sie mit $f'(x) = 0{,}75x^2 - 1$.

Aufgabe 4: Ableitung der Sinusfunktion

Ziehe bei $f(x) = \sin x$ mit eingeschaltetem Ableitungsgraphen den Punkt $P$ über den Graphen. Welche bekannte Funktion entsteht?

Aufgabe 5: Tangente an die e-Funktion

Berechne für $f(x) = e^x$ und $x_0 = 0$ den Differenzenquotienten für $h = 1$ und $h = 0{,}1$ mit dem Taschenrechner. Schätze daraus $f'(0)$ und gib die Gleichung der Tangente in $P(0 \mid 1)$ an.

Aufgabe 6: Knick bei $|x|$

Berechne für $f(x) = |x|$ an der Stelle $x_0 = 0$ den Differenzenquotienten für $h = 0{,}1$ und für $h = -0{,}1$. Hat der Graph bei $0$ eine Tangente?

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Oberstufe, Einführung der Differentialrechnung (Sekanten- und Tangentensteigung, mittlere und lokale Änderungsrate, Ableitungsfunktion, Tangentengleichung). Die Animation h → 0 verkleinert $h$ logarithmisch, sodass die Annäherung gleichmäßig sichtbar bleibt.
• Tabelle: Die Annäherungstabelle zeigt die Differenzenquotienten für $h = 1;\ 0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001$ mit dem Vorzeichen des eingestellten $h$. Sie eignet sich gut, um den Grenzwertbegriff numerisch vorzubereiten. Lassen Sie die Klasse die Werte zuerst vermuten oder von Hand rechnen.
• h = 0: Stellt man $h = 0$ ein, ist der Differenzenquotient nicht definiert ($\frac{0}{0}$); die Simulation zeigt dann nur die Tangente. Das ist ein guter Anlass, über den Unterschied zwischen „$h = 0$ einsetzen“ und „Grenzwert für $h \to 0$“ zu sprechen.
• Beidseitiger Grenzwert: Vergleichen Sie $h > 0$ und $h < 0$ zuerst bei $x^2$ (gleicher Grenzwert) und dann bei $|x|$ (verschiedene Werte). So wird greifbar, warum Differenzierbarkeit mehr verlangt als „der Graph hat keinen Sprung“.
• Häufige Stolpersteine:
  • „Die Tangente berührt den Graphen nur in einem Punkt“ – bei der kubischen Funktion schneidet die Tangente den Graphen oft noch an einer anderen Stelle.
  • Sekante und Tangente werden verwechselt. In der Simulation ist die Sekante durchgezogen und die Tangente gestrichelt, die Legende zeigt beide Linienarten.
  • Beim Kürzen durch $h$ wird vergessen, dass das nur für $h \neq 0$ gilt.