Das Haus der Vierecke

Worum geht es?

Ein Viereck $ABCD$ hat vier Ecken, die Seiten $a = [AB]$, $b = [BC]$, $c = [CD]$, $d = [DA]$, die Innenwinkel $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ und die beiden Diagonalen $e = [AC]$ und $f = [BD]$. Die Ecken werden gegen den Uhrzeigersinn beschriftet. In jedem Viereck gilt:

Manche Vierecke haben besondere Eigenschaften und einen eigenen Namen. Hier werden sie – wie in vielen Lehrwerken – über ihre Symmetrie bzw. ihre Seiten und Winkel festgelegt:

Im Haus der Vierecke steht das Quadrat ganz oben. Ein Pfeil von X nach Y bedeutet: X ist ein Spezialfall von Y, also ist jedes X auch ein Y. Jedes Quadrat ist ein Rechteck und eine Raute – aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat. Je weiter oben ein Viereck steht, desto mehr Eigenschaften hat es.

Die Markierungen im Bild: Pfeile auf den Seiten zeigen parallele Seiten, Striche gleich lange Seiten (gleich viele Striche = gleich lang), ein Viertelkreis mit Punkt einen rechten Winkel und eine Strichpunktlinie eine Symmetrieachse. $Z$ ist das Symmetriezentrum. Ein Kästchen ist $0{,}5\,\text{cm}$ breit.

Ausprobieren

1. Ziehe beim allgemeinen Viereck eine Ecke, bis zwei Gegenseiten parallel sind. Welche Art leuchtet im Haus auf? Schiebe das ganze Viereck, indem du in seine Fläche greifst: Ändert sich die Art?
2. Betrachte das Parallelogramm mit Diagonalen. Was fällt dir an den Diagonalen auf? Wo liegt das Symmetriezentrum $Z$?
3. Verschiebe C und D jeweils gleich weit, bis eine Raute entsteht. Welche Eigenschaften kommen dazu? Welche Arten leuchten jetzt im Haus?
4. Lade das Drachenviereck und ziehe C nach unten, bis eine Pfeilform entsteht. Ist das immer noch ein Drachenviereck?
5. Tippe im Haus auf „Rechteck“: Die Karte nennt die Definition und sagt, was deinem Viereck noch fehlt. Mit „Beispiel zeigen“ verwandelt sich das Viereck.
6. Stelle ein schräges Quadrat ein. Wie viele Symmetrieachsen hat es? Liegt es „auf der Spitze“, ist es trotzdem ein Quadrat.
7. Baue Vierecke im Modus Viereck bauen und ordne Vierecke im Modus Viereck einordnen ein.

Aufgaben

Aufgabe 1: Wahr oder falsch?

(a) Jedes Quadrat ist eine Raute. (b) Jede Raute ist ein Quadrat. (c) Jedes Rechteck ist ein Trapez. (d) Jedes Parallelogramm ist ein gleichschenkliges Trapez. (e) Jede Raute ist ein Drachenviereck.

Aufgabe 2: Einordnen

Ordne die Vierecke so genau wie möglich ein: Viereck 1, Viereck 2, Viereck 3.

Aufgabe 3: Die fehlende Ecke

Aufgabe laden Ziehe D so, dass $ABCD$ ein Parallelogramm wird. Wie viele Kästchen liegt D dann rechts von A und über A? Kann man D auch so legen, dass ein Rechteck entsteht?

Aufgabe 4: Was folgt aus den Diagonalen?

Die Diagonalen eines Vierecks halbieren sich und stehen senkrecht aufeinander. Welche Vierecksarten kommen infrage?

Aufgabe 5: Begründen

Begründe mit der Definition: Jedes Rechteck ist ein gleichschenkliges Trapez.

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Etwa Klasse 5 (besondere Vierecke erkennen und beschreiben) und Klasse 7 (achsen- und punktsymmetrische Vierecke, Ordnen im Haus der Vierecke). Geeignet zur Erarbeitung am Whiteboard, für Partnerarbeit (einer baut, der andere ordnet ein) und zur Übung in den beiden Aufgabenmodi.
• Definitionen: Die Simulation verwendet die inklusiven, symmetriebasierten Definitionen (ein Quadrat ist auch ein Rechteck, ein Parallelogramm auch ein Trapez). Ein gleichschenkliges Trapez ist hier ein achsensymmetrisches Trapez; schiefe Parallelogramme gehören deshalb nicht dazu. Nicht konvexe Drachenvierecke („Pfeilform“) zählen als Drachenvierecke, weil sie zu einer Diagonalen symmetrisch sind – manche Schulbücher betrachten nur konvexe. Bitte mit dem eingeführten Buch abgleichen.
• Modell: Die Ecken liegen auf Gitterpunkten; parallel, senkrecht, gleich lang und symmetrisch werden deshalb exakt (ohne Rundung) erkannt. Überschlagene Vierecke und Vierecke mit drei Ecken auf einer Geraden lässt die Simulation beim Ziehen nicht zu. Stellt man sie über die Zahlenfelder ein, erscheint ein Hinweis statt einer Einordnung.
• Bedienung: Ecken ziehen, Fläche greifen zum Verschieben, Häuschen antippen für Definition und „Was fehlt?“. „Einordnung im Haus zeigen“ aus macht aus dem Erkunden ein Rätsel.
• Häufige Stolpersteine:
  • „Ein Quadrat ist kein Rechteck.“ – Die Namen schließen sich nicht aus; ein Quadrat erfüllt alle Bedingungen des Rechtecks.
  • „Ein auf der Spitze stehendes Quadrat ist eine Raute und kein Quadrat.“ – Die Lage spielt keine Rolle.
  • „Die Diagonale eines Parallelogramms ist eine Symmetrieachse.“ – Spiegelt man daran, passt die Figur nicht auf sich selbst.
  • „Im Rechteck stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.“ – Das gilt nur beim Quadrat.