Achsen- und Punktspiegelung

Worum geht es?

Bei einer Achsenspiegelung an der Achse $s$ wird jeder Punkt $P$ auf einen Bildpunkt $P'$ abgebildet. Es gilt:

• $P$ und $P'$ liegen auf einer Senkrechten zu $s$ (dem Lot von $P$ auf $s$),
• $P$ und $P'$ sind gleich weit von $s$ entfernt – die Achse halbiert die Strecke $[PP']$.

Bei einer Punktspiegelung am Zentrum $Z$ ist $Z$ der Mittelpunkt jeder Strecke $[PP']$:

Eine Punktspiegelung ist dasselbe wie eine Drehung um $180^\circ$ um $Z$.

Beide Spiegelungen sind Kongruenzabbildungen: Bild und Original sind deckungsgleich, Längen und Winkelgrößen bleiben erhalten. Unterschiede:

Der Umlaufsinn beschreibt, in welcher Richtung man die Ecken $A \to B \to C$ durchläuft: gegen den Uhrzeigersinn oder im Uhrzeigersinn. Eine Fixgerade wird auf sich selbst abgebildet (ihre Punkte dürfen dabei wandern).

Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn sie bei einer Achsenspiegelung auf sich selbst fällt, und punktsymmetrisch, wenn sie bei einer Punktspiegelung (halben Drehung) auf sich selbst fällt.

Ausprobieren

1. Ziehe die Ecken des Dreiecks und die Punkte der Achse $s$. Woran erkennst du, dass $A$ und $A'$ gleich weit von $s$ entfernt sind? Was passiert, wenn eine Ecke genau auf $s$ liegt?
2. Drücke „Umklappen“: Das Dreieck wird wie ein Blatt Papier an der Achse umgeklappt. Vergleiche die Kreispfeile in Original und Bild.
3. Spiegle das Fähnchen an einer schrägen Achse. In welche Richtung zeigt das gespiegelte Fähnchen?
4. Wechsle zur Punktspiegelung und drücke „Um 180° drehen“. Bleibt der Umlaufsinn gleich? Vergleiche die Lage von $[AB]$ und $[A'B']$.
5. Schalte Fixpunkte und Fixgeraden ein. Welche Geraden werden auf sich selbst abgebildet?
6. Ziehe am Bildpunkt $A'$: Wo muss $A$ dann liegen?
7. Finde im Modus Symmetrie erkennen alle Symmetrieachsen und Symmetriezentren der Figuren.

Aufgaben

Aufgabe 1: Bildpunkt konstruieren

Aufgabe laden Konstruiere im Heft das Bild des Dreiecks bei der Spiegelung an $s$. Beschreibe die Schritte. Prüfe danach mit „Umklappen“.

Aufgabe 2: Punktspiegelung im Kopf

Aufgabe laden $Z$ liegt 6 Kästchen rechts von $A$ und 4 Kästchen über $A$. Wo liegt $A'$?

Aufgabe 3: Achse gesucht

Ein Dreieck und sein Bild bei einer Achsenspiegelung sind gegeben, die Achse fehlt. Wie findest du sie?

Aufgabe 4: Symmetrie bei Buchstaben

Welche der Buchstaben H, T, E, N, F sind achsensymmetrisch, welche punktsymmetrisch? Prüfe im Modus Symmetrie erkennen.

Aufgabe 5: Das Parallelogramm

Lena behauptet: „Die Diagonalen eines Parallelogramms sind Symmetrieachsen.“ Prüfe ihre Aussage. Figur laden

Aufgabe 6: Zweimal spiegeln

Spiegle ein Dreieck zweimal an derselben Achse. Was kommt heraus? Und was passiert mit dem Umlaufsinn, wenn man an zwei verschiedenen Achsen nacheinander spiegelt?

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Etwa Klasse 7, achsen- und punktsymmetrische Figuren: Eigenschaften von Achsen- und Punktspiegelung, Konstruktion von Bildpunkten mit dem Geodreieck, Symmetrie erkennen. Geeignet für die Erarbeitung (Umklappen als Handlungsvorstellung) und für Übungsphasen.
• Bedienung: Ecken, Achsenpunkte, die Achse selbst, das Zentrum und die ganze Figur lassen sich ziehen; auch an Bildpunkten. „Bildfigur zeigen“ aus eignet sich für Konstruktionsaufgaben im Heft. Im Modus „Symmetrie erkennen“ zeichnet man Achsen durch Ziehen und tippt auf ein vermutetes Zentrum; falsche Versuche zeigen das nicht passende Bild in Rot.
• Modell: Alle Punkte liegen auf Gitterpunkten des Karopapiers (ein Kästchen $= 0{,}5\,\text{cm}$); Bildpunkte bei schräger Achse liegen im Allgemeinen nicht auf Gitterpunkten. Liegt das Bild zum Teil außerhalb des Papiers, erscheint ein Hinweis. Fallen $P$ und $Q$ über Regler oder Link zusammen, rückt der zuletzt bewegte Punkt ein Kästchen weiter, damit es immer eine Achse gibt. Liegen die Ecken auf einer Geraden, zeigt die Simulation an, dass das keine richtige Figur ist.
• Häufige Stolpersteine:
  • Gespiegelt wird „waagerecht“ statt senkrecht zur (schrägen) Achse.
  • Bei der Punktspiegelung wird nur „umgedreht“, ohne über $Z$ hinaus gleich weit abzutragen.
  • „Die Diagonale des Parallelogramms ist eine Symmetrieachse.“
  • „Punktspiegelung kehrt den Umlaufsinn um.“ – Sie ist eine Drehung um $180^\circ$ und erhält ihn.