Kongruenzsätze und Dreieckskonstruktionen

Worum geht es?

Ein Dreieck hat sechs Stücke: drei Seiten $a$, $b$, $c$ und drei Winkel $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Die Seite $a = [BC]$ liegt der Ecke $A$ gegenüber, $b = [CA]$ der Ecke $B$ und $c = [AB]$ der Ecke $C$; der Winkel $\alpha$ liegt bei $A$, $\beta$ bei $B$, $\gamma$ bei $C$. Zwei Dreiecke, die man durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln genau zur Deckung bringen kann, heißen kongruent (deckungsgleich).

Oft genügen schon drei passende Stücke, um ein Dreieck eindeutig festzulegen. Welche, sagen die Kongruenzsätze:

Die Bedingung bei SSS heißt Dreiecksungleichung: $a + b > c$, $a + c > b$ und $b + c > a$. Ist zum Beispiel $a + b < c$, erreichen sich die Kreise um $A$ und $B$ nicht; bei $a + b = c$ berühren sie sich nur auf der Strecke $[AB]$ – dann gäbe es kein „echtes“ Dreieck.

Vorsicht bei SSW: Liegt der gegebene Winkel der kleineren Seite gegenüber (z. B. $\alpha$ mit $a < c$), entscheidet der Abstand $h$ von $B$ zum freien Schenkel von $\alpha$:

• $a < h$: Der Kreis um $B$ erreicht den Schenkel nicht – keine Lösung.
• $a = h$: Der Kreis berührt den Schenkel – genau eine Lösung mit rechtem Winkel bei $C$.
• $h < a < c$: Der Kreis schneidet den Schenkel zweimal – zwei verschiedene Dreiecke $ABC_1$ und $ABC_2$.

Ist dagegen $a \ge c$ (SsW), liegt der zweite Schnittpunkt hinter $A$ auf der Verlängerung des Schenkels und liefert kein Dreieck – die Lösung ist eindeutig.

WWW ist kein Kongruenzsatz: Drei Winkel legen nur die Form fest. Wegen $\alpha + \beta + \gamma = 180°$ ist der dritte Winkel sowieso schon durch die beiden anderen bestimmt. Die Dreiecke sind ähnlich, aber verschieden groß.

So geht man vor: Zuerst eine Planfigur skizzieren und die gegebenen Stücke farbig markieren. Dann prüfen, welcher Kongruenzsatz passt. Konstruiert wird meist von der gegebenen Seite aus: Grundseite zeichnen, Winkel mit dem Geodreieck antragen, Längen mit dem Zirkel abtragen. Die Konstruktionsbeschreibung hält die Schritte fest, z. B. bei SSS: „1. Zeichne $[AB]$ mit $c = 6\,\text{cm}$. 2. Zeichne einen Kreis um $A$ mit $r = b$. 3. Zeichne einen Kreis um $B$ mit $r = a$. 4. Die Kreise schneiden sich in $C$. 5. Verbinde $C$ mit $A$ und $B$.“

Ausprobieren

1. Beim Laden läuft die Konstruktion einmal zügig durch. Drücke „Neu konstruieren“ und gehe dann mit „Nächster Schritt“ Zeile für Zeile durch: Lineal, Zirkel und Geodreieck arbeiten, die passende Zeile erscheint in der Konstruktionsbeschreibung. Wo würde der zweite Schnittpunkt der Kreise liegen – und warum liefert er kein neues Dreieck?
2. 3–4–5-Dreieck: Welcher Winkel ist hier besonders?
3. Ziehe am fertigen Dreieck den Punkt $C$ oder $B$. Welche Stücke ändern sich mit? Verkleinere dann $a$ und $b$, bis sich die Kreise nicht mehr schneiden – die rote Maßlinie zeigt die Lücke. Beispiel
4. SWS: Drehe den Schenkel von $\alpha$ am runden Griff. Gibt es eine Einstellung, bei der kein Dreieck entsteht?
5. WSW: Stelle $\alpha + \beta$ auf genau $180°$ und dann mehr. Was passiert mit den Schenkeln?
6. SSW mit zwei Lösungen: Vergleiche $\gamma_1$ und $\gamma_2$ in der Ergebniskarte. Verkleinere $a$ auf $3\,\text{cm}$ und $2\,\text{cm}$, vergrößere es dann über $6\,\text{cm}$ hinaus (SsW). Wie viele Lösungen gibt es jeweils?
7. WWW: Drei Dreiecke mit denselben Winkeln. Sind sie kongruent?

Aufgaben

Aufgabe 1: Konstruierbar?

Lässt sich ein Dreieck mit $a = 2\,\text{cm}$, $b = 3\,\text{cm}$ und $c = 6\,\text{cm}$ konstruieren? Begründe ohne zu zeichnen. Und mit $a = 3\,\text{cm}$, $b = 4\,\text{cm}$, $c = 7\,\text{cm}$? Aufgabe laden

Aufgabe 2: Welcher Kongruenzsatz?

Gegeben sind $c = 6\,\text{cm}$, $b = 4{,}5\,\text{cm}$ und $\alpha = 50°$. Welcher Kongruenzsatz passt? Konstruiere das Dreieck, schreibe eine Konstruktionsbeschreibung und miss $a$, $\beta$ und $\gamma$. Aufgabe laden

Aufgabe 3: Seite und zwei Winkel

Konstruiere das Dreieck mit $c = 6\,\text{cm}$, $\alpha = 50°$ und $\beta = 60°$. Berechne zuerst $\gamma$, miss dann $a$ und $b$. Aufgabe laden

Aufgabe 4: Zwei Dreiecke

Gegeben sind $c = 6\,\text{cm}$, $\alpha = 30°$ und $a = 4\,\text{cm}$. Konstruiere. Warum gibt es zwei Dreiecke? Aufgabe laden

Aufgabe 5: Genau eine Lösung

Bleibe bei $c = 6\,\text{cm}$ und $\alpha = 30°$. Für welche Längen $a$ gibt es kein, genau ein oder zwei Dreiecke? Tipp: Wie weit ist $B$ vom freien Schenkel entfernt?

Aufgabe 6: Gleiche Winkel – gleiches Dreieck? (Knobelaufgabe)

Paul behauptet: „Wenn zwei Dreiecke in allen drei Winkeln übereinstimmen, sind sie kongruent.“ Widerlege ihn mit $\alpha = 50°$ und $\beta = 60°$. Zeigen

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Etwa Klasse 7, Kongruenz und Dreieckskonstruktionen. Am Beamer kann die Simulation Schritt für Schritt vorkonstruieren, während die Klasse im Heft mitzeichnet; die Zeilen der Konstruktionsbeschreibung lassen sich anschließend gemeinsam vergleichen.
• Aufgabenmodus: Mit „Fehlende Stücke messen“ aus (meas=0) beginnt die Konstruktion auf leerem Blatt, Messwerte und Urteil bleiben verdeckt. So konstruieren die Lernenden zuerst selbst und vergleichen dann mit „Nächster Schritt“.
• Modell: Konstruiert wird immer von der Grundseite $[AB]$ aus, $C$ liegt oberhalb; der Schnittpunkt unterhalb liefert ein gespiegeltes, also kongruentes Dreieck. Längen werden auf $0{,}1\,\text{cm}$, Winkel auf $1°$ eingestellt, gemessene Stücke erscheinen mit „≈“.
• Häufige Stolpersteine:
  • Die Planfigur wird weggelassen oder die Stücke werden falsch zugeordnet (z. B. $a$ an die falsche Seite).
  • Bei SWS wird ein Winkel genommen, der nicht zwischen den beiden Seiten liegt – das ist dann SSW.
  • Bei SSW wird nur eine der beiden Lösungen gezeichnet.
  • „Drei Winkel legen ein Dreieck fest.“ – Sie legen nur die Form fest, nicht die Größe.
  • Beim Antragen von $\beta$ wird das Geodreieck an der falschen Seite angelegt oder die falsche Skala abgelesen.