Punkte, Geraden und Kreise: Lagebeziehungen

Worum geht es?

Im Koordinatensystem legt man die Lage eines Punktes mit zwei Zahlen fest. Die waagerechte Achse heißt x-Achse (Rechtsachse), die senkrechte y-Achse (Hochachse). Sie schneiden sich im Ursprung $O(0 \mid 0)$.

Beim Punkt $P(3 \mid 5)$ steht die x-Koordinate zuerst: Vom Ursprung aus geht man 3 nach rechts und dann 5 nach oben. Vertauscht man die Zahlen, landet man bei einem ganz anderen Punkt, nämlich $(5 \mid 3)$.

Linien durch zwei Punkte A und B:

Lage zweier Geraden: Bilden zwei Geraden $g$ und $h$ einen rechten Winkel, so sind sie senkrecht zueinander: $g \perp h$. Haben sie keinen gemeinsamen Punkt, so sind sie parallel: $g \parallel h$. Mit dem Geodreieck prüft man das so: Zeichenkante auf $g$ legen. Liegt $h$ auf der Mittellinie, ist $h \perp g$. Verläuft $h$ entlang einer der dünnen Linien, die parallel zur Zeichenkante sind, ist $h \parallel g$.

Abstand: Der Abstand eines Punktes $P$ von einer Geraden $g$ ist die Länge des Lots von $P$ auf $g$, also der kürzesten Verbindung. Das Lot steht senkrecht auf $g$; sein Fußpunkt heißt $F$. Parallele Geraden haben überall denselben Abstand.

Kreis: Alle Punkte, die von einem Mittelpunkt $M$ dieselbe Entfernung $r$ haben, bilden einen Kreis. $r$ heißt Radius, der Durchmesser ist doppelt so lang:

Kreis und Gerade: Man vergleicht den Abstand von $M$ zur Geraden mit dem Radius.

Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius $[MT]$.

Ausprobieren

1. Ziehe die Punkte A und B. Die gestrichelten Hilfslinien zeigen, wie man die Koordinaten abliest.
2. Wechsle zwischen Strecke, Halbgerade und Gerade (auch durch Antippen rechts). Was ändert sich an der Zeichnung und an der Länge? Gerade laden
3. Lege das Lineal an eine waagerechte Strecke und an eine schräge Strecke. Bei welcher kannst du die Länge auch ohne Lineal angeben?
4. Untersuche zwei senkrechte Geraden mit dem Geodreieck. Ziehe dann D weg: Wann erscheint das Kreuz ✗?
5. Drücke „h parallel zu g stellen“ und „h senkrecht zu g stellen“. Beobachte, wie D springt.
6. Schalte den Abstand eines Punktes ein und ziehe P. Wo ist der Abstand am kleinsten?
7. Verändere bei einem Kreis den Radius r langsam von 2 cm auf 4 cm. Wann wird g zur Tangente, wann zur Sekante?
8. Spiele das Punkte-Spiel: Wie viele Aufgaben schaffst du am Stück?

Aufgaben

Aufgabe 1: Punkte ablesen und setzen

Trage $A(1 \mid 2)$, $B(6 \mid 2)$ und $C(6 \mid 7)$ in ein Koordinatensystem ein. Welcher Punkt $D$ ergänzt sie zu einem Quadrat $ABCD$? Welche Seiten des Quadrats sind parallel, welche senkrecht zueinander?

Aufgabe 2: Strecke, Halbgerade, Gerade

(a) Wie viele Endpunkte haben eine Strecke, eine Halbgerade und eine Gerade? (b) Paul sagt: „Die Halbgerade $[AB$ ist länger als die Strecke $[AB]$.“ Stimmt das?

Aufgabe 3: Eine Senkrechte finden

Die Gerade $g$ geht durch $A(2 \mid 2)$ und $B(8 \mid 5)$. Gesucht ist eine Gerade $h$ durch $C(4 \mid 7)$ mit $h \perp g$. Gib einen passenden Gitterpunkt $D$ an. Aufgabe laden

Aufgabe 4: Parallele und Abstand

Die Gerade $g$ geht durch $A(1 \mid 2)$ und $B(9 \mid 2)$. (a) Zeichne die Parallele $h$ zu $g$ durch $C(2 \mid 6)$. (b) Wie groß ist der Abstand von $g$ und $h$? (c) Wie groß ist der Abstand des Punktes $P(5 \mid 7)$ von $g$?

Aufgabe 5: Tangenten an einen Kreis

Ein Kreis hat den Mittelpunkt $M(5 \mid 4)$ und den Radius $r = 3\,\text{cm}$. (a) Gib zwei Tangenten an, die parallel zur x-Achse sind. (b) Ist die Gerade durch $(9 \mid 0)$ und $(9 \mid 8)$ eine Passante, Tangente oder Sekante?

Aufgabe 6: Knobelaufgabe

Wie viele Gitterpunkte (ganzzahlige Koordinaten) liegen auf dem Kreis um $M(5 \mid 4)$ mit $r = 5\,\text{cm}$, wenn man das ganze Koordinatensystem betrachtet?

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Etwa Klasse 5, geometrische Figuren und Lagebeziehungen: Einstieg ins Koordinatensystem, Erarbeitung der Begriffe parallel, senkrecht, Abstand und Tangente, Übung mit dem Punkte-Spiel (auch als Warm-up am Whiteboard).
• Modell: Alle Punkte liegen auf Gitterpunkten im 1. Quadranten; eine Längeneinheit entspricht 1 cm, also zwei Kästchen. „Senkrecht“, „parallel“ und „Tangente“ werden exakt (ganzzahlig) entschieden. Längen wie $\overline{AB}$ oder Abstände werden wie mit dem Lineal auf Millimeter gerundet angegeben ($\approx$). Das Geodreieck ist verkleinert (Zeichenkante 8 cm statt 16 cm).
• Häufige Stolpersteine:
  • x- und y-Koordinate werden vertauscht – das Spiel erkennt diesen Fehler und gibt gezielt Rückmeldung („erst nach rechts, dann nach oben“).
  • „Senkrecht“ wird mit „lotrecht/hochkant“ verwechselt. In der Mathematik ist „senkrecht“ immer eine Beziehung zwischen zwei Geraden; auch schräge Geraden können senkrecht zueinander sein.
  • Parallel heißt nicht „gleich lang“ oder „waagerecht“; Geraden haben keine Länge.
  • Der Abstand wird schräg gemessen statt senkrecht (entlang des Lots).
• Schreibweise: Punkte mit senkrechtem Strich $P(3 \mid 5)$, Strecke $[AB]$, Halbgerade $[AB$, Gerade $AB$, Streckenlänge $\overline{AB}$ – wie in vielen Schulbüchern üblich; manche Lehrwerke schreiben $P(3;5)$ oder $\overline{AB}$ für die Strecke.
• Punkte-Spiel: Es funktioniert auch in gesperrten Links (_lock=1). Die Ergebnisse „Lage“ und „Abstand“ lassen sich mit _hide=1 verdecken; in der Zeichnung bleiben sie sichtbar.