Ähnliche Figuren: Wie wachsen Fläche und Volumen?

Worum geht es?

Vergrößert man eine Figur mit dem Streckfaktor $k$ , entsteht eine ähnliche Figur: Alle Winkel bleiben gleich, alle Längen werden $k$ -mal so lang. Wie verändern sich dabei Flächeninhalte und Volumina?

Die Simulation legt das Bild Kopie für Kopie mit dem Original aus:

Eine Strecke der Länge $k \cdot a$ besteht aus $k$ Kopien der Strecke $a$ .
Ein Quadrat mit doppelter Seitenlänge besteht aus $2 \cdot 2 = 4$ Kopien, bei dreifacher Seitenlänge aus $3 \cdot 3 = 9$ Kopien. Beim Dreieck geht es genauso – einige Kopien liegen dabei auf dem Kopf.
Ein Würfel mit doppelter Kantenlänge besteht aus $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ Kopien, Schicht für Schicht.

Allgemein gilt für ähnliche Figuren und Körper mit dem Streckfaktor $k$ :

\text{Länge} \cdot k, \qquad \text{Flächeninhalt} \cdot k^2, \qquad \text{Volumen} \cdot k^3 .

Das gilt für jede Fläche, also auch für die Oberfläche eines Körpers: Sie wächst ebenfalls mit $k^2$ . Ist $k$ keine ganze Zahl, liegen am Rand Bruchstücke. Bei $k = 1{,}5$ besteht das Quadrat aus $1 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}25 = 2{,}25 = 1{,}5^2$ Kopien. Einen Kreis kann man nicht aus kleinen Kreisen legen, wohl aber aus Sektoren, die jeweils so groß sind wie der kleine Kreis.

Verkleinern ( $0 < k < 1$ ): Jetzt passt das Bild mehrmals in das Original. Bei $k = 0{,}5$ ist die Fläche nur noch $0{,}5^2 = \frac14$ , das Volumen nur noch $0{,}5^3 = \frac18$ so groß. Es gilt dann $k^3 < k^2 < k$ .

Rückwärts: Ist bekannt, um welchen Faktor das Volumen gewachsen ist, zieht man die Kubikwurzel, beim Flächeninhalt die Quadratwurzel: $k^3 = 8 \Rightarrow k = \sqrt[3]{8} = 2$ und $k^2 = 2 \Rightarrow k = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ .

Ausprobieren

k = 2: Drücke „Kopien auslegen“ und zähle mit: erst die Strecke, dann die Fläche, dann die Würfel Schicht für Schicht. Drehe den Würfel mit der Maus oder dem Finger.
Ziehe am Griff der Strecke, an der Ecke des Quadrats oder am Würfel. Beobachte im Diagramm „Wie schnell wächst was?“, wie $k^3$ davonläuft.
Dreieck mit k = 3: Wie viele Kopien stehen auf dem Kopf? Und wie viele Würfel braucht man jetzt?
k = 1,5 mit Quader: Welche Bruchstücke entstehen am Rand? Warum sind es zusammen genau $2{,}25$ bzw. $3{,}375$ Kopien?
k = 0,5: Jetzt wird das Original mit Bildern ausgelegt. Wie viele passen hinein? Und beim Kreis mit k = 2?
Rückwärts: Das Volumen ist 27-mal so groß. Drücke „k suchen“. Ändere dann auf Flächenfaktor 2.
Anwendungen: Pizza, Modellauto, Oberfläche und Volumen – drücke jeweils den Knopf unter der Zeichenfläche.

Aufgaben

Aufgabe 1: Dreimal so groß

Ein Würfel mit der Kantenlänge $1\,\text{cm}$ wird mit $k = 3$ vergrößert. Berechne Kantenlänge, Oberfläche und Volumen des Bildes. Aufgabe laden

Lösung anzeigen

Kante $3\,\text{cm}$ . Oberfläche $6\,\text{cm}^2 \cdot 3^2 = 54\,\text{cm}^2$ . Volumen $1\,\text{cm}^3 \cdot 3^3 = 27\,\text{cm}^3$ – es passen also 27 Originalwürfel hinein. Lösung zeigen

Aufgabe 2: Halbe Kante

Ein Würfel mit $1\,\text{cm}$ Kantenlänge wird mit $k = 0{,}5$ verkleinert. Welcher Bruchteil von Oberfläche und Volumen bleibt? Gib beide Werte an. Aufgabe laden

Lösung anzeigen

Oberfläche: $0{,}5^2 = \frac14$ , also $6\,\text{cm}^2 : 4 = 1{,}5\,\text{cm}^2$ . Volumen: $0{,}5^3 = \frac18$ , also $0{,}125\,\text{cm}^3$ . Acht kleine Würfel füllen den Originalwürfel. Lösung zeigen

Aufgabe 3: Quader mit Bruchstücken

Ein Quader mit den Maßen $2\,\text{cm} \times 1\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}$ wird mit $k = 1{,}5$ vergrößert. Bestimme die neuen Maße, das Volumen und die Oberfläche. Aufgabe laden

Lösung anzeigen

Maße $3\,\text{cm} \times 1{,}5\,\text{cm} \times 1{,}5\,\text{cm}$ . Volumen $3 \cdot 1{,}5 \cdot 1{,}5 = 6{,}75\,\text{cm}^3$ ; zur Kontrolle: $2\,\text{cm}^3 \cdot 1{,}5^3 = 2 \cdot 3{,}375 = 6{,}75\,\text{cm}^3$ . Oberfläche vorher $2 \cdot (2 + 1 + 2) = 10\,\text{cm}^2$ , nachher $10\,\text{cm}^2 \cdot 2{,}25 = 22{,}5\,\text{cm}^2$ . Lösung zeigen

Aufgabe 4: Rückwärts denken

a) Ein Würfel hat nach dem Vergrößern das 27-fache Volumen. Mit welchem Faktor wurde er gestreckt, und wie hat sich seine Oberfläche verändert? Aufgabe laden

b) Eine Figur soll den doppelten Flächeninhalt bekommen. Mit welchem $k$ muss man strecken? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

a) $k^3 = 27 \Rightarrow k = \sqrt[3]{27} = 3$ ; die Oberfläche wird $3^2 = 9$ -mal so groß. Zeigen

b) $k^2 = 2 \Rightarrow k = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ – also nicht $k = 2$ , das ergäbe die vierfache Fläche. Zeigen

Aufgabe 5: Welche Pizza lohnt sich?

Eine Pizza mit $20\,\text{cm}$ Durchmesser kostet $8$ €, eine mit $30\,\text{cm}$ kostet $15$ €. Welche ist im Verhältnis zur Fläche günstiger? Aufgabe laden

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$k = 30 : 20 = 1{,}5$ , die Fläche ist $1{,}5^2 = 2{,}25$ -mal so groß ( $\approx 707\,\text{cm}^2$ statt $\approx 314\,\text{cm}^2$ ). Für $2{,}25$ kleine Pizzen würde man $2{,}25 \cdot 8\,€ = 18\,€$ bezahlen – die große Pizza für $15\,€$ ist günstiger (etwa $2{,}1$ ct statt $2{,}5$ ct pro $\text{cm}^2$ ). Lösung zeigen

Aufgabe 6: Kleine Würfel kühlen schneller aus

Berechne für Würfel mit $a = 1\,\text{cm}$ , $2\,\text{cm}$ und $3\,\text{cm}$ jeweils das Verhältnis $O : V$ . Was passiert mit der Oberfläche, wenn man den Würfel mit $a = 3\,\text{cm}$ in Würfel mit $1\,\text{cm}$ Kante zerteilt? Aufgabe laden

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$O : V = \frac{6a^2}{a^3} = \frac{6}{a}$ , also $6$ , $3$ und $2$ . Zerteilt man den Würfel mit $a = 3\,\text{cm}$ in $27$ kleine Würfel, bleibt das Volumen $27\,\text{cm}^3$ , die Oberfläche wächst von $54\,\text{cm}^2$ auf $27 \cdot 6\,\text{cm}^2 = 162\,\text{cm}^2$ (dreifach). Kleine Körper haben im Verhältnis viel Oberfläche – deshalb kühlen kleine Tiere schneller aus. Lösung zeigen

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 9, Ähnlichkeit und zentrische Streckung. Die Animation „Kopien auslegen“ eignet sich als Einstieg, bevor die Regel $k$ , $k^2$ , $k^3$ formuliert wird – etwa mit einer Schätzung vorab: „Wie viele kleine Würfel brauche ich?“ Steckwürfel helfen beim Nachbauen.
Aufgaben aus dem Bild: Mit „Ergebnisse zeigen“ aus (show=0) erscheinen die gesuchten Werte als „?“, bis die Animation gelaufen ist.
Anwendungen: Pizza (Preis pro Fläche), Modellbau (Lack $\cdot \frac{1}{100}$ , Masse bei gleichem Material $\cdot \frac{1}{1000}$ im Maßstab $1 : 10$ ) und das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen (Wärmeverlust bei Tieren, Puderzucker, Holzspäne) bieten Anlässe zum Modellieren.
Häufige Stolpersteine:
- „Doppelte Seitenlänge – doppelte Fläche“: Die Kopien im Bild machen sichtbar, dass es vier sind.
- Beim Verkleinern wird $k^2$ als größer als $k$ erwartet; bei $0 < k < 1$ gilt aber $k^3 < k^2 < k$ .
- Rückwärts wird der Faktor direkt als $k$ genommen („doppelte Fläche, also $k = 2$ “), statt die Wurzel zu ziehen.
- Maßstab und Flächenmaßstab werden verwechselt: $1 : 10$ bei Längen bedeutet $1 : 100$ bei Flächen.