Strahlensätze

Worum geht es?

Zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt $Z$ werden von zwei parallelen Geraden geschnitten: auf dem ersten Strahl in $A$ und $A'$, auf dem zweiten in $B$ und $B'$. Dann gelten die Strahlensätze.

1. Strahlensatz: Die Abschnitte auf dem einen Strahl verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl:

2. Strahlensatz: Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die zugehörigen, von $Z$ aus gemessenen Abschnitte auf einem Strahl:

Die „Abschnitte“-Form ($\overline{ZA} : \overline{AA'}$) gilt nur für die Strecken auf den Strahlen, nicht für die Parallelen.

Der gemeinsame Wert ist der Streckfaktor $k$. Das Dreieck $ZA'B'$ entsteht aus $ZAB$ durch eine zentrische Streckung mit Zentrum $Z$: Beide Dreiecke sind ähnlich – gleiche Winkel, alle Seiten mal $k$. Bei $k > 1$ wird vergrößert, bei $0 < k < 1$ verkleinert, bei $k = 1$ fallen die Parallelen zusammen.

Liegen die Parallelen auf verschiedenen Seiten von $Z$, entsteht die X-Figur. Die Strahlensätze gelten dort genauso, man misst immer von $Z$ aus. In der Simulation wird der Streckfaktor dann negativ angezeigt ($k < 0$: „andere Seite von $Z$“); in den Verhältnissen stehen Längen, also $|k|$.

Ohne Parallelen geht es nicht: Sind $AB$ und $A'B'$ nicht parallel, sind die Verhältnisse verschieden. Umgekehrt gilt die Umkehrung des 1. Strahlensatzes: Ist $\overline{ZA'} : \overline{ZA} = \overline{ZB'} : \overline{ZB}$ (und liegen $A'$ und $B'$ entweder beide auf derselben Seite von $Z$ wie $A$ und $B$ oder beide auf der anderen), dann ist $AB \parallel A'B'$. Die Umkehrung des 2. Strahlensatzes gilt nicht: Es kann einen zweiten Punkt $B''$ geben, für den ebenfalls $\overline{A'B''} : \overline{AB} = k$ ist, obwohl $A'B''$ nicht parallel zu $AB$ ist.

Rechnen mit einer Unbekannten: Man stellt eine Verhältnisgleichung auf – am besten mit der Unbekannten $x$ im Zähler – und löst sie durch Multiplizieren, z. B. $\frac{x}{\overline{ZB}} = \frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}} \Rightarrow x = \frac{\overline{ZA'} \cdot \overline{ZB}}{\overline{ZA}}$.

Ausprobieren

1. Drücke „Parallele verschieben“: Die Parallele gleitet von $AB$ nach $A'B'$. Beobachte die farbigen Maßstäbe rechts – alle drei Verhältnisse zählen gemeinsam hoch. Was bedeuten die Teilstriche in den dicken Balken?
2. Ziehe $A'$ und drehe den ersten Strahl am Griff außen. Probiere $k = 0{,}5$, $k = 1$, einen sehr spitzen und einen stumpfen Winkel. Ändern sich die Verhältnisse?
3. X-Figur: Drücke „Parallele verschieben“ – die Parallele wandert durch $Z$ hindurch auf die andere Seite.
4. Vergleiche in der Karte „1. Strahlensatz“ die beiden Abschnitte-Balken: Wann liegen die Trennstriche genau übereinander? Lies in der Karte „2. Strahlensatz“ nach, warum man dort nicht mit $\overline{AA'}$ rechnen darf.
5. Nicht parallel: Welche Balken passen nicht mehr? Drücke „B′ angleichen (Umkehrung)“. Was passiert mit $A'B'$? Was zeigt der gestrichelte Kreis um $A'$ mit dem Punkt $B''$?
6. Unbekannte Strecke x: Wähle verschiedene gesuchte Strecken und lass dir die Lösung „Schritt für Schritt“ zeigen.
7. Baumhöhe: Spiele die Messung durch und ziehe dann die Sonne. Was passiert bei 45° Sonnenhöhe?
8. Teichbreite: Ziehe $A'$ näher an $Z$. Warum wird $\overline{A'B'}$ kürzer, die berechnete Breite aber nicht?

Aufgaben

Aufgabe 1: Fehlende Länge (1. Strahlensatz)

In einer V-Figur mit $AB \parallel A'B'$ ist $\overline{ZA} = 3\,\text{cm}$, $\overline{ZA'} = 6\,\text{cm}$ und $\overline{ZB} = 4\,\text{cm}$. Berechne $\overline{ZB'}$. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Mit Abschnitten rechnen

Gegeben sind $\overline{ZA} = 2{,}5\,\text{cm}$, $\overline{AA'} = 3{,}5\,\text{cm}$ und $\overline{ZB} = 3\,\text{cm}$ ($AB \parallel A'B'$, V-Figur). Wie lang ist $\overline{BB'}$? Aufgabe laden

Aufgabe 3: Der 2. Strahlensatz

Es ist $\overline{ZA} = 4\,\text{cm}$, $\overline{ZA'} = 10\,\text{cm}$ und $\overline{AB} = 3\,\text{cm}$. Berechne $\overline{A'B'}$. Warum wäre $\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AA'}}{\overline{ZA}}$ falsch? Aufgabe laden

Aufgabe 4: Unbekannte im Nenner

In derselben Figur ist $\overline{ZB} = 5\,\text{cm}$, $\overline{ZB'} = 12{,}5\,\text{cm}$ und $\overline{A'B'} = 7{,}5\,\text{cm}$. Bestimme $\overline{AB}$. Aufgabe laden

Aufgabe 5: Wie hoch ist der Baum?

Ein Stab ist $1{,}5\,\text{m}$ lang und wird so aufgestellt, dass die Spitzen seines Schattens und des Baumschattens zusammenfallen. Der Stab steht $2\,\text{m}$, der Baum $16\,\text{m}$ von der Schattenspitze entfernt. Berechne die Höhe des Baums. Aufgabe laden

Aufgabe 6: Über den Teich

Zur Breite $\overline{AB}$ eines Teichs wird eine X-Figur abgesteckt mit $\overline{ZA'} = \frac14\,\overline{ZA}$ und $\overline{ZB'} = \frac14\,\overline{ZB}$. Gemessen wird $\overline{A'B'} = 6\,\text{m}$. Wie breit ist der Teich, und warum ist $A'B'$ automatisch parallel zu $AB$? Aufgabe laden

Aufgabe 7: Parallel oder nicht? (Knobelaufgabe)

Es ist $\overline{ZA} = 3\,\text{cm}$, $\overline{ZA'} = 6\,\text{cm}$, $\overline{ZB} = 4\,\text{cm}$ und $\overline{ZB'} = 5{,}6\,\text{cm}$. Sind $AB$ und $A'B'$ parallel? Wo müsste $B'$ liegen? Und: Reicht es, $\overline{A'B'} = 2 \cdot \overline{AB}$ nachzumessen?

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Etwa Klasse 9, Ähnlichkeit, zentrische Streckung und Strahlensätze. Die Animation „Parallele verschieben“ kann eine Vermutung anregen („Alle Verhältnisse bleiben gleich – aber nur, wenn …“), die Karten sichern sie mit Zahlen.
• Negative Streckfaktoren: Ob die X-Figur über $k < 0$ beschrieben wird, ist im Unterricht unterschiedlich üblich – bitte am Lehrplan prüfen. Der Regler arbeitet deshalb mit dem Verhältnis der Längen.
• Draußen messen: Baum- und Teichaufgabe lassen sich auf dem Schulgelände nachstellen; „Messung durchspielen“ zeigt die Reihenfolge der Schritte. Mit „Ergebnis zeigen“ aus (show=0) werden Rechenmodus und Anwendungen zu Übungsaufgaben.
• Häufige Stolpersteine:
  • Im 2. Strahlensatz wird $\overline{AA'}$ statt $\overline{ZA'}$ verwendet.
  • Die Strahlensätze werden ohne Parallelen angewendet.
  • In der X-Figur werden Strecken über $Z$ hinweg addiert.
  • Zähler und Nenner werden zwischen den Seiten der Gleichung vertauscht – hier hilft „Unbekannte in den Zähler, Zugehöriges darunter“.
  • Aus $\overline{A'B'} : \overline{AB} = k$ wird auf Parallelität geschlossen (Umkehrung des 2. Strahlensatzes gilt nicht).