Vierfeldertafel und Mengendiagramm

Worum geht es?

In der Klasse 9a wurde gefragt: Hast du ein Haustier ($A$)? Hast du Geschwister ($B$)? Jede Person fällt in genau eines von vier Feldern:

Das ist eine Vierfeldertafel. Die inneren Felder sind die Schnittmengen $A \cap B$, $A \cap \overline{B}$, $\overline{A} \cap B$, $\overline{A} \cap \overline{B}$, am Rand stehen die Randsummen $|A|$, $|\overline{A}|$, $|B|$, $|\overline{B}|$ und die Gesamtzahl. Teilt man alles durch $30$, erhält man Wahrscheinlichkeiten (relative Häufigkeiten).

Dieselben Daten zeigt ein Mengendiagramm: Die Kreise $A$ und $B$ liegen in der Grundmenge $\Omega$; hier sind die Flächen sogar proportional zu den Anzahlen. Und ein Baumdiagramm: Erst wird nach $A$ unterschieden, dann nach $B$. An den Ästen der zweiten Stufe stehen Anteile wie $\frac{10}{14}$ – „von den $14$ mit Haustier haben $10$ Geschwister“.

Ereignisse:

• Schnitt $A \cap B$ („$A$ und $B$“): ein Feld.
• Vereinigung $A \cup B$ („$A$ oder $B$“, auch beides): drei Felder.
• Gegenereignis $\overline{A}$: alles außer $A$, also $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.

Bei der Vereinigung darf das Feld $A \cap B$ nicht doppelt gezählt werden – das ist der Additionssatz:

Der umgekehrte Baum beginnt mit $B$. Seine Blätter sind dieselben vier Felder – nur in anderer Reihenfolge, mit anderen Anteilen an den Ästen: $\frac{19}{30} \cdot \frac{10}{19} = \frac{10}{30}$.

Tafel ergänzen: Jede Zeile und jede Spalte ist eine Summe. Kennt man in einer Zeile oder Spalte zwei von drei Werten, folgt der dritte durch Addieren oder Subtrahieren. In der Ansicht „Tafel ergänzen“ sind nur vier Werte bekannt – tippe ein „?“ an: Lässt es sich schon erschließen, erscheint der Wert mit Rechnung, sonst ein Hinweis.

Baum umkehren mit Wahrscheinlichkeiten: Oft sind $P(A)$ und die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_A(B)$ und $P_{\overline{A}}(B)$ gegeben. Mit der Pfadregel entsteht die Tafel, mit der Summenregel $P(B)$ und daraus der umgekehrte Baum:

Mit $P(A) = 0{,}4$, $P_A(B) = 0{,}7$ und $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}2$ ergibt sich $P(B) = 0{,}4 \cdot 0{,}7 + 0{,}6 \cdot 0{,}2 = 0{,}40$ und $P_B(A) = \frac{0{,}28}{0{,}40} = 0{,}70$. Mit „Anzahlen“ zeigt die Tafel natürliche Häufigkeiten, z. B. von $100$ Personen: $28$, $12$, $12$, $48$.

Einheitsquadrat: Das Quadrat hat die Fläche $1$. Es wird senkrecht im Verhältnis $P(A) : P(\overline{A})$ geteilt, dann jede Spalte waagerecht nach $P_A(B)$ bzw. $P_{\overline{A}}(B)$. Jede Teilfläche ist eine Pfadwahrscheinlichkeit. Liegen die beiden waagerechten Linien auf einer Höhe, ist $P_A(B) = P_{\overline{A}}(B) = P(B)$: Dann sind $A$ und $B$ (stochastisch) unabhängig, und es gilt $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Ausgeloste Personen fallen als Punkte zufällig ins Quadrat – ihre relativen Häufigkeiten liegen in der Nähe der Flächen.

Ausprobieren

1. Fahre mit der Maus über ein Feld der Tafel (oder tippe es an): Dieselbe Teilmenge leuchtet im Mengendiagramm und im Baum auf. Beispiel laden
2. Wähle nacheinander die Ereignisse $A \cap B$, $A \cup B$ und $\overline{A}$. Welche Felder gehören jeweils dazu? A oder B
3. Ändere die Anzahlen mit den Reglern. Wie verändern sich die Kreise?
4. Drehe den Baum um („Baum beginnt mit B“). Warum stehen an den Ästen andere Brüche, an den Blättern aber dieselben Zahlen? Umgekehrter Baum
5. Stelle auf Prozent um und betrachte die Umfrage unter 200 Jugendlichen. 200 Jugendliche
6. Ergänze die Tafel Schritt für Schritt. Welches „?“ lässt sich zuerst erschließen, welches erst ganz am Schluss? Tafel ergänzen
7. Vergleiche die beiden Bäume: Welche Zahlen stimmen überein, welche nicht? Tippe ein Blatt an. Baum umkehren
8. Ziehe im Einheitsquadrat die beiden waagerechten Linien auf dieselbe Höhe. Was zeigt die Rechnung jetzt? Lose dann $100$ Personen aus. Einheitsquadrat

Aufgaben

Aufgabe 1: Tafel ergänzen

Von $30$ Personen haben $14$ ein Haustier und $19$ Geschwister; $10$ haben beides. Ergänze die Vierfeldertafel. Aufgabe laden

Aufgabe 2: Additionssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Person ein Haustier oder Geschwister hat – einmal mit dem Additionssatz, einmal über das Gegenereignis. Aufgabe laden

Aufgabe 3: Genau eins

In der Umfrage unter $200$ Jugendlichen sind $80$ im Sportverein, $98$ spielen ein Instrument, $46$ beides. Wie viel Prozent machen genau eines von beidem? Aufgabe laden

Aufgabe 4: Umgekehrter Baum

Zeichne den Baum, der mit $B$ (Geschwister) beginnt, und trage alle Astwahrscheinlichkeiten ein. Prüfe an einem Pfad, dass dieselbe Blattwahrscheinlichkeit herauskommt wie im ersten Baum. Aufgabe laden

Aufgabe 5: Baum umkehren

$P(A) = 0{,}4$, $P_A(B) = 0{,}7$, $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}2$. Berechne $P(B)$ und $P_B(A)$. Wie viele von $100$ Personen gehören zu $A \cap B$? Aufgabe laden

Aufgabe 6: Unabhängig?

Bei $50$ Personen gilt: $|A \cap B| = 12$, $|A| = 30$, $|B| = 20$. Zeige, dass $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ gilt. Was bedeutet das? Aufgabe laden

Aufgabe 7: Entdecken im Einheitsquadrat

Stelle $P(A) = 0{,}4$ ein und ziehe $P_A(B)$ und $P_{\overline{A}}(B)$ beide auf $0{,}6$. Berechne $P(A \cap B)$ und $P(A) \cdot P(B)$. Was passiert, wenn du nur eine Linie verschiebst? Aufgabe laden

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Mittelstufe (Vierfeldertafel, Mengendiagramm, Additionssatz) und Oberstufe (bedingte Wahrscheinlichkeit, umgekehrter Baum).
• Eigene Umfrage: Zwei Ja/Nein-Fragen in der Klasse ergeben schnell eine eigene Vierfeldertafel, die sich mit den Reglern eintragen lässt.
• Darstellungswechsel: Das synchrone Hervorheben kann helfen, jede Zahl einer Darstellung in den anderen wiederzufinden.
• Häufige Stolpersteine:
  • Bei $A \cup B$ wird das Feld $A \cap B$ doppelt gezählt.
  • „$A$ oder $B$“ wird als „genau eines von beiden“ verstanden.
  • Im Baum werden an der zweiten Stufe Anteile an der Gesamtzahl statt an der Teilgruppe eingetragen ($\frac{10}{30}$ statt $\frac{10}{14}$).
  • Beim umgekehrten Baum werden die Äste der ersten Stufe einfach übernommen.
  • $P_A(B)$ und $P_B(A)$ werden verwechselt (in Aufgabe 5 zufällig beide $0{,}7$ – das ist nicht immer so).
• Einheitsquadrat: Es eignet sich gut, um Unabhängigkeit „zu sehen“, bevor die Formel $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ eingeführt wird.