Geburtstagsproblem simulieren

Worum geht es?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse mit $n$ Personen mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben? Viele schätzen bei $25$ Personen nur wenige Prozent – tatsächlich sind es fast $57\,\%$ .

Modell: Jeder der $365$ Tage ist gleich wahrscheinlich (keine Schalttage, keine Zwillinge), die Geburtstage sind unabhängig voneinander.

Rechnung mit dem Gegenereignis (Ansicht „Rechnung“): Statt „mindestens zwei gleich“ berechnet man „alle verschieden“. Die Personen kommen nacheinander: Die erste darf jeden Tag haben, die zweite muss einen der $364$ freien Tage treffen, die dritte einen der $363$ übrigen … Nach der Pfadregel wird multipliziert:

P(\text{alle verschieden}) = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \ldots \cdot \frac{365 - n + 1}{365}, \qquad P(\text{mind. zwei gleich}) = 1 - P(\text{alle verschieden}).

$n$	$10$	$23$	$30$	$50$
$P(\text{mind. zwei gleich})$	$11{,}7\,\%$	$50{,}7\,\%$	$70{,}6\,\%$	$97{,}0\,\%$

Warum so hoch? – Paare zählen (Ansicht „Paare“): Es kommt nicht auf einen bestimmten Tag an, sondern auf irgendein Paar. $n$ Personen bilden $\frac{n \cdot (n-1)}{2}$ Paare, bei $23$ Personen schon $253$ . Jedes Paar hat mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{365}$ denselben Geburtstag. Tut man so, als wären die Paare unabhängig, erhält man die gute Näherung

P \approx 1 - \left(\frac{364}{365}\right)^{\frac{n(n-1)}{2}}, \qquad n = 23: \; 1 - \left(\tfrac{364}{365}\right)^{253} \approx 50{,}0\,\%.

Im Vergleich: „an meinem Geburtstag“. Hier zählen nur die $n$ Paare „ich – andere Person“:

P(\text{jemand an meinem Tag}) = 1 - \left(\frac{364}{365}\right)^{n}, \qquad n = 25: \approx 6{,}6\,\%.

Erst ab $253$ anderen Personen liegt dieser Wert über $50\,\%$ .

Simulation (Ansicht „Viele Klassen“): Jede Kachel ist eine ausgeloste Klasse: gefüllt mit, hell mit Rand ohne gemeinsamen Geburtstag. Die relative Häufigkeit $h = \frac{\text{Treffer}}{\text{Klassen}}$ schwankt anfangs stark und nähert sich dann der Wahrscheinlichkeit $P$ (empirisches Gesetz der großen Zahlen). Der helle Trichter zeigt, wo $h$ nach $N$ Klassen in etwa $95\,\%$ aller Fälle liegt: $P \pm 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{P(1-P)}{N}}$ .

Gleicher Monat, gleicher Wochentag: Dieselbe Rechnung funktioniert mit $12$ Monaten oder $7$ Wochentagen. Schon bei $5$ Personen haben mit $61{,}8\,\%$ zwei denselben Geburtsmonat. Ab $13$ Personen ist es sicher: Es gibt nur $12$ Monate, also müssen sich zwei einen Monat teilen (Schubfachprinzip). Im Produkt taucht dann der Faktor $\frac{0}{12}$ auf.

Ausprobieren

Klicke mehrmals auf Neue Klasse. Wie oft findest du einen gemeinsamen Tag? Eine Klasse
Tippe im Kalender auf deinen Geburtstag und vergleiche die beiden Fragen. Mein Geburtstag
Starte 1000 Klassen und beobachte, wie sich die Kurve der relativen Häufigkeit in den Trichter legt. Simulation
Sieh zu, wie die freien Tage schrumpfen. Ab welcher Person wird $P(\text{alle verschieden})$ kleiner als $0{,}5$ ? Rechnung
Tippe in der Paar-Ansicht auf eine Person: Wie viele Paare bildet sie? Wie viele Paare gibt es insgesamt? Paare
Schalte in der Paar-Ansicht auf „an meinem Geburtstag“ um. Warum sind es plötzlich viel weniger Linien? Nur meine Paare
Stelle „gleicher Monat“ ein und erhöhe $n$ von $5$ bis $13$ . Was passiert bei $13$ ? Gleicher Monat · 13 Personen

Aufgaben

Aufgabe 1: Drei Personen

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von drei Personen mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben. Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$P = 1 - \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \approx 1 - 0{,}9918 = 0{,}0082$ , also etwa $0{,}82\,\%$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Eure Klasse

Bestimme die Wahrscheinlichkeit für die Klassengröße $28$ . Wie viele von $1000$ Klassen dieser Größe haben ungefähr einen gemeinsamen Geburtstag? Prüfe mit der Simulation. Aufgabe laden

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Für $n = 28$ ist $P \approx 65{,}4\,\%$ , also etwa $654$ von $1000$ Klassen. Die Simulation liefert Werte in dieser Gegend; nach $1000$ Klassen liegt $h$ fast immer zwischen etwa $0{,}62$ und $0{,}68$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Paare und Näherung

Wie viele Paare bilden $30$ Personen? Berechne damit die Näherung und vergleiche mit dem exakten Wert $70{,}6\,\%$ . Aufgabe laden

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$\frac{30 \cdot 29}{2} = 435$ Paare. Näherung: $1 - \left(\frac{364}{365}\right)^{435} \approx 69{,}7\,\%$ – knapp unter dem exakten Wert $70{,}6\,\%$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Mein Geburtstag

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat von $25$ anderen Personen jemand genau an deinem Geburtstag Geburtstag? Warum ist das so viel weniger als $56{,}9\,\%$ ? Aufgabe laden

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$1 - \left(\frac{364}{365}\right)^{25} \approx 6{,}6\,\%$ . Hier muss jemand einen bestimmten Tag treffen, es gibt nur $25$ Paare „ich – andere“. Beim Geburtstagsproblem genügt irgendeines von $300$ Paaren. In der Simulation zeigen

Aufgabe 5: Gleicher Wochentag

Wie wahrscheinlich ist es, dass von $4$ Personen mindestens zwei am selben Wochentag geboren sind? Ab wie vielen Personen ist es sicher? Aufgabe laden

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$P = 1 - \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{7^4} = 1 - \frac{840}{2401} \approx 65{,}0\,\%$ . Ab $8$ Personen ist es sicher (Schubfachprinzip: nur $7$ Wochentage). In der Simulation zeigen

Aufgabe 6: Modellkritik

In Wirklichkeit sind Geburtstage nicht ganz gleichmäßig über das Jahr verteilt. Wird die Wahrscheinlichkeit für einen gemeinsamen Geburtstag dadurch eher größer oder kleiner?

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Eher größer: Wenn manche Tage häufiger sind, ballen sich die Geburtstage dort, und Übereinstimmungen werden wahrscheinlicher. Die gleichmäßige Verteilung ist der „ungünstigste“ Fall für gemeinsame Geburtstage.

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Mittelstufe, zusammengesetzte Zufallsexperimente und stochastische Simulationen. Lassen Sie vor der Rechnung schätzen – und werfen Sie vielleicht einen Blick auf die Geburtstage in der eigenen Klasse.
Simulation und Rechnung: Die Ansicht „Viele Klassen“ macht die überraschende Größe plausibel, die Ansicht „Rechnung“ erklärt sie. Der Trichter zeigt, wie stark relative Häufigkeiten bei $100$ Klassen noch schwanken.
Gleicher Monat eignet sich zum Nachspielen in der Klasse: Schon bei kleinen Gruppen kommt fast immer ein gemeinsamer Monat heraus.
Gruppen vergleichen: Jedes Gerät lost eigene Klassen aus. Sammeln Sie die Trefferzahlen nach je $100$ Klassen an der Tafel – die Streuung der Gruppen passt gut zum Trichter.
Häufige Stolpersteine:
- Das Geburtstagsproblem wird mit „jemand an meinem Geburtstag“ verwechselt.
- Es wird $\frac{n}{365}$ gerechnet – das ist für große $n$ sogar größer als $1$ .
- Die Faktoren $\frac{364}{365}, \frac{363}{365}, \ldots$ werden addiert statt multipliziert.