Binomialverteilung

Worum geht es?

Ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ausgängen – Treffer oder Niete – heißt Bernoulli-Experiment. Wird es $n$ -mal unabhängig wiederholt und ist die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ jedes Mal gleich, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ . Die Zufallsgröße $X$ = „Anzahl der Treffer“ ist dann binomialverteilt, kurz $X \sim B(n;\,p)$ :

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}, \qquad k = 0, 1, \dots, n

Dabei zählt der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ , auf wie viele Arten sich die $k$ Treffer auf die $n$ Plätze der Kette verteilen lassen, und $p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen solchen Pfades. Beispiel $B(10;\,0{,}5)$ : $P(X = 5) = 252 \cdot 0{,}5^{10} \approx 0{,}2461$ .

Meist sind Bereiche gefragt. Mit der kumulierten Verteilungsfunktion $F(k) = P(X \le k)$ gilt:

„höchstens $k$ “: $P(X \le k) = F(k)$
„mindestens $k$ “: $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k - 1) = 1 - F(k - 1)$
„zwischen $a$ und $b$ “: $P(a \le X \le b) = F(b) - F(a - 1)$

Der Erwartungswert $\mu = n \cdot p$ ist der Schwerpunkt des Histogramms, die Standardabweichung $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ misst die Breite. In der $\sigma$ -Umgebung $[\mu - \sigma;\, \mu + \sigma]$ liegt oft rund $68\,\%$ der Wahrscheinlichkeit, in der $2\sigma$ -Umgebung meist rund $95\,\%$ (für nicht zu kleine $\sigma$ ; die Werte schwanken, weil nur ganze $k$ zählen – in der Simulation werden sie genau angezeigt).

Ausprobieren

Ziehe am Histogramm die Grenze $k$ hin und her. Die markierten Balken ergeben zusammen die gesuchte Wahrscheinlichkeit, die Karte rechnet mit. Beispiel laden
Verändere $p$ langsam von $0{,}1$ bis $0{,}9$ . Wohin wandert $\mu$ ? Wann ist das Histogramm symmetrisch? B(20; 0,3)
Vergrößere $n$ bei festem $p = 0{,}5$ . Das Histogramm wird breiter ( $\sigma$ wächst mit $\sqrt{n}$ ), die einzelnen Balken werden niedriger.
Schalte auf „kumuliert“ um. Jeder Balken des Histogramms wird zu einer Stufe der Treppenfunktion $F(k)$ . Wie hoch ist die Stufe bei $k$ ? Treppenfunktion
Starte einzelne Bernoulli-Ketten und dann das „Experiment 1000-mal“. Wie gut passt der orange Umriss der relativen Häufigkeiten zu den Balken?
Stelle die Randfälle $p = 0$ und $p = 1$ ein. Wo liegt jetzt die ganze Wahrscheinlichkeit? p = 1

Aufgaben

Aufgabe 1: Raten im Test

Ein Test hat $20$ Fragen mit je vier Antworten, genau eine ist richtig. Jemand kreuzt rein zufällig an. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau $5$ richtige Antworten. Aufgabe laden

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$X \sim B(20;\,0{,}25)$ : $P(X = 5) = \binom{20}{5} \cdot 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^{15} = 15504 \cdot 0{,}0009766 \cdot 0{,}01336 \approx 0{,}2023$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Bestehen durch Raten?

Zum Bestehen braucht man im Test aus Aufgabe 1 mindestens $10$ richtige Antworten. Wie wahrscheinlich ist das beim reinen Raten? Aufgabe laden

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$P(X \ge 10) = 1 - F(9) \approx 1 - 0{,}9861 = 0{,}0139$ , also nur etwa $1{,}4\,\%$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Elfmeter

Eine Spielerin verwandelt einen Elfmeter mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}8$ . Sie schießt $10$ -mal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft sie mindestens $8$ -mal? Aufgabe laden

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$P(X \ge 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \approx 0{,}3020 + 0{,}2684 + 0{,}1074 = 0{,}6778$ . Ebenso: $1 - F(7) \approx 1 - 0{,}3222 = 0{,}6778$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: 100 Münzwürfe

Eine Münze wird $100$ -mal geworfen. Berechne $\mu$ , $\sigma$ und $P(40 \le X \le 60)$ für die Anzahl $X$ der Würfe mit „Zahl“. Welche Umgebung von $\mu$ ist das? Aufgabe laden

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$\mu = 100 \cdot 0{,}5 = 50$ , $\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = 5$ . $P(40 \le X \le 60) = F(60) - F(39) \approx 0{,}9824 - 0{,}0176 = 0{,}9648$ . Das ist genau die $2\sigma$ -Umgebung $[50 - 10;\, 50 + 10]$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 5: Mindestens ein Treffer

Ein Bauteil ist mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}05$ defekt. Wie wahrscheinlich ist unter $50$ Bauteilen mindestens ein defektes? Wie viele defekte erwartet man? Aufgabe laden

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Über das Gegenereignis „kein Treffer“: $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}95^{50} \approx 1 - 0{,}0769 = 0{,}9231$ . Erwartungswert $\mu = 50 \cdot 0{,}05 = 2{,}5$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 6: Binomialverteilt oder nicht?

Aus einer Klasse mit $12$ Mädchen und $13$ Jungen werden ohne Zurücklegen $5$ Personen ausgelost; $X$ ist die Anzahl der Mädchen. Ist $X$ binomialverteilt? Begründe.

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Nein. Ohne Zurücklegen ändert sich die Wahrscheinlichkeit für „Mädchen“ von Zug zu Zug (zuerst $\frac{12}{25}$ , danach z. B. $\frac{11}{24}$ ), und die Züge sind nicht unabhängig. Eine Bernoulli-Kette verlangt dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch.

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Stochastik der Oberstufe (Binomialverteilung, Erwartungswert, Standardabweichung, σ-Umgebungen). Gut als Ergänzung zum Galtonbrett, das die Entstehung der Verteilung zeigt.
Vom Tafelwerk zum Bild: Die Treppenansicht macht sichtbar, was in Tabellen der kumulierten Binomialverteilung steht; Werte daraus lassen sich direkt an den Stufen ablesen.
Modellieren: Vor dem Rechnen gemeinsam prüfen, ob die Voraussetzungen erfüllt sind (zwei Ausgänge, unabhängig, gleiches $p$ ) – Aufgabe 6 bietet einen Gegenbeispiel-Einstieg.
Häufige Stolpersteine:
- „Mindestens $k$ “ wird als $1 - F(k)$ statt $1 - F(k - 1)$ gerechnet – der Wert $k$ selbst gehört dazu.
- Bei $P(a \le X \le b)$ wird $F(b) - F(a)$ gerechnet; dann fehlt $P(X = a)$ .
- „Höchstens“ und „mindestens“ werden verwechselt; das farbige Markieren der Balken kann hier helfen.
- $\sigma$ wird mit der Varianz $n \cdot p \cdot (1-p)$ verwechselt.