Funktion oder nicht? Zuordnungen und ihre Graphen

Worum geht es?

Eine Zuordnung ordnet Elementen einer Menge $A$ Elemente einer Menge $B$ zu, z. B. jeder Zahl ihr Quadrat oder jedem Kind seinen Geburtsmonat. Eine Zuordnung heißt Funktion, wenn sie eindeutig ist:

Jedem Element der Definitionsmenge $D$ wird genau ein Element zugeordnet.

Man schreibt dann $x \mapsto f(x)$ , z. B. $x \mapsto x^2$ . Die Menge aller zugeordneten Werte heißt Wertemenge $W$ .

So erkennst du eine Funktion in den drei Darstellungen:

Darstellung	Funktion, wenn …
Pfeildiagramm	von jedem Element links genau ein Pfeil ausgeht
Wertetabelle	unter jedem $x$ genau ein Wert steht
Graph	über jeder Stelle $x$ aus $D$ genau ein Punkt liegt (jede senkrechte Gerade trifft ihn höchstens einmal)

Wichtig: Dass bei einem Element rechts mehrere Pfeile ankommen, ist erlaubt. Bei $x \mapsto x^2$ haben $-2$ und $2$ beide das Quadrat $4$ – trotzdem ist das eine Funktion. Verboten ist nur, dass von einem Element links mehrere Pfeile ausgehen oder gar keiner. Ein Element links ohne Pfeil bedeutet: Auf der Menge links ist die Zuordnung keine Funktion.

Umkehren: Dreht man alle Pfeile um, entsteht wieder eine Zuordnung – aber nicht immer eine Funktion. Aus „Zahl $\mapsto$ Quadrat“ wird „Quadratzahl $\mapsto$ Zahl mit diesem Quadrat“: Der $4$ wären $-2$ und $2$ zugeordnet, der $2$ (in den ganzen Zahlen) gar nichts.

Senkrechter Linientest: Ein Graph gehört genau dann zu einer Funktion, wenn jede Parallele zur $y$ -Achse ihn höchstens einmal schneidet. Schneidet eine senkrechte Gerade $x = c$ den Graphen zweimal, wären der Stelle $c$ zwei Werte zugeordnet. Ein Kreis oder eine „liegende“ Parabel sind deshalb keine Funktionsgraphen, ein Halbkreis oder eine Treppenfunktion schon.

Definitions- und Wertemenge am Graphen: $D$ ist der „Schatten“ des Graphen auf der $x$ -Achse, $W$ der Schatten auf der $y$ -Achse. Für $f(x) = 0{,}5x^2 - 2$ gilt $D = \mathbb{R}$ und $W = \{y \mid y \geq -2\}$ .

Ausprobieren

Lade Zahl ↦ Quadrat. Bei welchen Elementen rechts kommen zwei Pfeile an? Warum ist das trotzdem eine Funktion?
Drücke Umkehren bzw. lade Quadrat ↦ Zahl. Welche zwei verschiedenen Probleme zeigt das Pfeildiagramm – und wie sieht man sie in der Wertetabelle und im Graphen?
Kehre auch x ↦ 2x + 1 um. Warum ist hier die Umkehrung wieder eine Funktion?
In der eigenen Zuordnung stimmt etwas nicht. Repariere sie mit möglichst wenigen Änderungen: Tippe erst links, dann rechts auf ein Element (oder ziehe einen Pfeil), um Pfeile zu setzen oder zu entfernen.
Wechsle zu Graph & Linientest beim Kreis. Ziehe die senkrechte Gerade: Wo schneidet sie zweimal, einmal, keinmal?
Vergleiche den Halbkreis mit dem Kreis. Lies $D$ und $W$ ab.
Untersuche die Treppenfunktion an einer ganzen Zahl: Welcher Punkt gehört zum Graphen, der volle oder der hohle?
Drücke bei der S-Kurve auf Linientest abtasten und beobachte die Leiste unter dem Graphen. Zwischen welchen Stellen gibt es drei Schnittpunkte?

Aufgaben

Aufgabe 1: Funktion oder nicht?

Entscheide und begründe: (a) Schüler $\mapsto$ Körpergröße (heute gemessen), (b) Körpergröße $\mapsto$ Schüler, (c) Zahl $\mapsto$ ihr Doppeltes, (d) Zahl $\mapsto$ ihre Teiler, (e) Person $\mapsto$ Geburtstag, (f) Geburtstag $\mapsto$ Person.

Lösung anzeigen

(a) Funktion: Jeder Schüler hat heute genau eine Körpergröße. (b) Keine Funktion: Zwei Schüler können gleich groß sein; außerdem gibt es Größen, die niemand hat. (c) Funktion: $x \mapsto 2x$ . (d) Keine Funktion: $6$ hat die Teiler $1$ , $2$ , $3$ und $6$ . (e) Funktion: Jede Person hat genau einen Geburtstag. Dass zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben, ist erlaubt. (f) Keine Funktion: An einem Tag können mehrere Personen Geburtstag haben, an manchen Tagen niemand.

Aufgabe 2: Pfeildiagramm reparieren

Aufgabe laden Ist die Zuordnung eine Funktion? Ändere so wenige Pfeile wie möglich, damit eine Funktion entsteht.

Lösung anzeigen

Keine Funktion: Von $3$ gehen zwei Pfeile aus (zu $1$ und $5$ ), von $4$ keiner. Zwei Änderungen genügen, z. B. den Pfeil $3 \to 5$ entfernen und einen Pfeil $4 \to 3$ setzen. Dass danach vielleicht zwei Pfeile bei derselben Zahl ankommen, ist erlaubt. Mit Urteil zeigen

Aufgabe 3: Wertetabellen prüfen

Gehört die Wertetabelle zu einer Funktion $x \mapsto y$ ?

(a)

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$5$	$7$	$5$	$9$

(b)

$x$	$2$	$3$	$2$	$5$
$y$	$1$	$4$	$6$	$8$

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(a) Ja: Jedes $x$ kommt genau einmal vor; dass der Wert $5$ zweimal auftritt, ist erlaubt (im Pfeildiagramm kommen bei $5$ zwei Pfeile an).

(b) Nein: Der Stelle $2$ sind die Werte $1$ und $6$ zugeordnet – im Graphen lägen $(2 \mid 1)$ und $(2 \mid 6)$ senkrecht übereinander.

Aufgabe 4: Linientest

Aufgabe laden Ist die liegende Parabel $x = 0{,}5y^2 - 2$ der Graph einer Funktion? Gib eine Stelle an, die das zeigt.

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Nein. Die Gerade $x = 0$ schneidet die Parabel zweimal, in $(0 \mid -2)$ und $(0 \mid 2)$ : Der Stelle $0$ wären zwei Werte zugeordnet. Für $x < -2$ gibt es gar keinen Punkt. Zeigen

Aufgabe 5: Definitions- und Wertemenge

Aufgabe laden Bestimme $D$ und $W$ für $f(x) = 0{,}5x^2 - 2$ .

Lösung anzeigen

Jede Zahl darf eingesetzt werden: $D = \mathbb{R}$ . Der kleinste Funktionswert ist $f(0) = -2$ , nach oben gibt es keine Grenze: $W = \{y \mid y \geq -2\}$ . Zeigen

Aufgabe 6: Sprungstellen

Bei einer Treppenfunktion zeichnet man an jeder Sprungstelle einen vollen und einen hohlen Punkt. Begründe, warum nicht beide Punkte voll sein dürfen.

Lösung anzeigen

Wären bei $x = 2$ beide Punkte voll, also $(2 \mid 1)$ und $(2 \mid 2)$ , dann wären der Stelle $2$ zwei Werte zugeordnet – die senkrechte Gerade $x = 2$ schnitte den Graphen zweimal. Zeigen

Aufgabe 7: Gerade und Betrag

Skizziere die Graphen und entscheide mit dem Linientest: (a) die Gerade, auf der alle Punkte mit $x = 2$ liegen, (b) die Gerade, auf der alle Punkte mit $y = 2$ liegen, (c) $f(x) = |x|$ .

Lösung anzeigen

(a) Keine Funktion: Die Gerade ist selbst senkrecht. Die Gerade $x = 2$ des Linientests trifft sie in unendlich vielen Punkten, der Stelle $2$ wären alle Werte zugeordnet. (b) Funktion: $x \mapsto 2$ . Jedem $x$ ist genau ein Wert zugeordnet, nämlich $2$ . (c) Funktion: Der Graph ist ein „V“ mit Spitze in $(0 \mid 0)$ . Jede senkrechte Gerade trifft ihn genau einmal, z. B. $(-3 \mid 3)$ und $(3 \mid 3)$ liegen nebeneinander, nicht übereinander. $D = \mathbb{R}$ , $W = \{y \mid y \geq 0\}$ .

Ideen für den Unterricht

Einsatz (Bezug als Entwurf): etwa Klasse 8, Funktion und Term: Funktion als eindeutige Zuordnung, Definitions- und Wertemenge, Graphen. Gut als Einstieg (Alltagszuordnungen im Pfeildiagramm) und zur Sicherung (Linientest, Umkehrung).
Darstellungen: Pfeildiagramm, Wertetabelle und Graph sind synchron – antippen oder ziehen ändert alle drei. Rot markiert sind Elemente mit mehreren Pfeilen (Zahl) oder ohne Pfeil (?). Mit show=0 werden Färbung und Urteil ausgeblendet; die Lernenden entscheiden selbst.
Linientest: Die Leiste unter dem Graphen zeigt, wie viele Schnittpunkte die senkrechte Gerade an jeder besuchten Stelle hat. Bei Funktionsgraphen markiert die Simulation $D$ (türkis, auf der $x$ -Achse) und $W$ (lila, auf der $y$ -Achse). Der Halbkreis $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ greift der Quadratwurzel vor und kann auch nur als Graph betrachtet werden. Eine senkrechte Gerade und die Betragsfunktion sind nicht als Graph eingebaut; Aufgabe 7 behandelt sie auf Papier.
Häufige Stolpersteine:
- „Wenn zwei Pfeile beim selben Element ankommen, ist es keine Funktion.“ – Es kommt nur auf die ausgehenden Pfeile an.
- „Eine Funktion braucht eine Formel.“ – Auch Kind $\mapsto$ Geburtsmonat ist eine Funktion.
- „Ein Graph muss zusammenhängend sein.“ – Hyperbel und Treppenfunktion sind Funktionsgraphen.
- Der Linientest wird waagrecht statt senkrecht ausgeführt.