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deen
MathematikKlasse 5–9

Zählprinzip und Baumdiagramm

Wie viele Outfits oder Eiskombinationen gibt es? Ein Baumdiagramm wächst Stufe für Stufe, und du siehst, warum man die Möglichkeiten multipliziert.

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Worum geht es?

Viele Fragen beginnen mit „Wie viele Möglichkeiten gibt es …?“: Wie viele Outfits aus 3 Hosen, 4 T-Shirts und 2 Mützen? Wie viele vierstellige PINs? Wie viele Siegerpodeste bei 8 Läuferinnen und Läufern? Man wählt in Stufen – erst die Hose, dann das T-Shirt, dann die Mütze.

Ein Baumdiagramm macht das sichtbar: Vom Start aus verzweigt sich jede Stufe in so viele Äste, wie es dort Möglichkeiten gibt. Jeder Pfad vom Start bis ganz rechts ist genau ein Ergebnis – deshalb erscheint zu jedem Pfad ein Kärtchen.

Zählprinzip (Produktregel): Hat die 1. Stufe n1n_1 Möglichkeiten, die 2. Stufe (zu jeder Wahl davor) n2n_2 Möglichkeiten usw., dann gibt es insgesamt

n1⋅n2⋅…⋅nkn_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k

Ergebnisse. Für die Outfits: 3⋅4⋅2=243 \cdot 4 \cdot 2 = 24. Im Baum sieht man, warum: An jeder der 3 Hosen hängen 4 T-Shirt-Äste, das sind 3⋅4=123 \cdot 4 = 12 Äste, und an jedem davon 2 Mützen.

Mit Wiederholung: Wählt man in jeder Stufe wieder aus denselben nn Dingen (Ziffern einer PIN, Eissorten, die sich wiederholen dürfen), gibt es bei kk Stufen

n⋅n⋅…⋅n=nkn \cdot n \cdot \ldots \cdot n = n^k

Möglichkeiten, z. B. 104=10 00010^4 = 10\,000 vierstellige PINs aus den Ziffern 0 bis 9.

Ohne Wiederholung: Darf jedes Ding nur einmal vorkommen (eine Person kann nicht Erste und Zweite werden), hat jede Stufe eine Möglichkeit weniger: Für das Podest aus 8 Läufern gibt es 8⋅7⋅6=3368 \cdot 7 \cdot 6 = 336 Möglichkeiten.

Reihenfolgen: Sollen alle nn Dinge in eine Reihenfolge gebracht werden, ergibt sich das Produkt aller Zahlen von nn bis 1. Man schreibt es kurz als Fakultät n!n! (gelesen „n Fakultät“):

5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

Systematisch abzählen geht auch ohne Baum: In der Tabelle steht jede Wahl der 1. Stufe in einer eigenen Zeile, dahinter der Reihe nach alle Fortsetzungen. Jede Zeile ist gleich lang – auch das ist wieder ein Produkt: Zeilen mal Länge einer Zeile.

Ausprobieren

  1. Schau zu, wie der Baum für die Outfits wächst. Tippe auf eine Hose: Wie viele Outfits beginnen mit ihr? Warum ist das 4⋅24 \cdot 2? Outfits
  2. Nimm eine dritte Mütze hinzu. Wie viele neue Äste entstehen, wie viele neue Outfits? Eine Mütze mehr
  3. Lass mit Alle Pfade ablaufen jeden Pfad nacheinander aufleuchten. Wird ein Outfit doppelt gezählt? Fehlt eins?
  4. Schalte bei der Eistüte mit Wiederholung aus und wieder ein. Welche Äste verschwinden, und warum hat jede Stufe danach eine Möglichkeit weniger? Eistüte
  5. Beim Zahlenschloss wird der Baum riesig. Wie viele Pfade stehen hinter einem zugeklappten Ast? Prüfe mit dem Zählprinzip. Zahlenschloss
  6. Stelle beim Siegerpodest genauso viele Plätze wie Läufer ein. Vergleiche 3!3!, 4!4! und 5!5! – wie schnell wachsen die Zahlen? 5 Läufer, alle Plätze
  7. Wechsle zur Tabelle. Wo findest du im Bild die Rechnung „Zeilen mal Länge einer Zeile“? Menü als Tabelle

Aufgaben

Aufgabe 1: Kleiderschrank

Lea hat 2 Hosen, 5 T-Shirts und 3 Mützen. Wie viele verschiedene Outfits kann sie anziehen? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

Nach dem Zählprinzip: 2⋅5⋅3=302 \cdot 5 \cdot 3 = 30 Outfits. In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Fahrradschloss

Ein Fahrradschloss hat 3 Räder mit den Ziffern 0 bis 9. Wie viele Einstellungen gibt es? Wie lange bräuchte man höchstens, um alle auszuprobieren, wenn man für eine Einstellung 2 Sekunden braucht?

Lösung anzeigen

10⋅10⋅10=103=100010 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3 = 1000 Einstellungen. 1000⋅2 s=2000 s1000 \cdot 2\,\text{s} = 2000\,\text{s}, das sind gut 33 Minuten. In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Verschiedene Sorten

In der Eisdiele gibt es 6 Sorten. Tim möchte 3 Kugeln übereinander, alle verschieden; die Reihenfolge von unten nach oben zählt. Wie viele Eistüten sind möglich? Wie viele wären es, wenn Sorten mehrfach vorkommen dürften? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

Ohne Wiederholung: 6⋅5⋅4=1206 \cdot 5 \cdot 4 = 120. Mit Wiederholung: 63=2166^3 = 216. Die 216−120=96216 - 120 = 96 zusätzlichen Eistüten sind genau die, in denen mindestens eine Sorte mehrfach vorkommt. In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Siegerehrung

Beim Sportfest laufen 8 Kinder um die Wette. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die ersten drei Plätze? Wie viele für die komplette Einlaufreihenfolge? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

Podest: 8⋅7⋅6=3368 \cdot 7 \cdot 6 = 336. Komplette Reihenfolge: 8!=40 3208! = 40\,320. In der Simulation zeigen

Aufgabe 5: Rückwärts gedacht

Ein Restaurant bietet 2 Vorspeisen und 3 Nachtische an und wirbt mit „24 verschiedene Menüs“. Wie viele Hauptgerichte stehen auf der Karte?

Lösung anzeigen

2⋅h⋅3=242 \cdot h \cdot 3 = 24, also 6h=246h = 24 und h=4h = 4 Hauptgerichte. In der Simulation zeigen

Aufgabe 6: Wann wird es unmöglich?

Ein Code soll aus 4 verschiedenen Ziffern bestehen. Wie viele Codes gibt es mit den Ziffern 0 bis 9? Warum gibt es keinen solchen Code, wenn nur 3 Ziffern zur Auswahl stehen?

Lösung anzeigen

10⋅9⋅8⋅7=504010 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040 Codes. In der Simulation zeigen

Mit nur 3 Ziffern ist nach drei Stellen keine Ziffer mehr übrig: 3⋅2⋅1⋅0=03 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0. Sackgassen zeigen

Ideen für den Unterricht

  • Einsatz: Klasse 5 (Multiplikation und Division: Zählprinzip mit Baumdiagrammen) als Einstieg, etwa mit den Outfits; später bei Laplace-Experimenten zur Wiederholung, wenn Anzahlen günstiger und möglicher Ergebnisse gezählt werden.
  • Einstieg ohne Formel: Die Klasse könnte zuerst selbst Outfits aufschreiben und dabei Doppelte oder Lücken entdecken; das Ablaufen aller Pfade und die Tabelle zeigen dann zwei Wege, systematisch zu zählen.
  • Darstellung: Bei vielen Pfaden wird nur der Anfang des Baums ganz gezeichnet; zugeklappte Äste tragen die Zahl der Pfade dahinter. Das kann ein Anlass sein zu besprechen, warum man ab einer gewissen Größe rechnet statt zeichnet.
  • Häufige Stolpersteine:
    • Anzahlen werden addiert statt multipliziert (3+4+23 + 4 + 2) – im Baum lässt sich zeigen, dass zu jeder Hose alle T-Shirts gehören.
    • „Mit“ und „ohne Wiederholung“ werden verwechselt; hilfreich ist die Frage, ob dasselbe Ding in einer späteren Stufe noch einmal gewählt werden kann.
    • Bei der Eistüte hängt die Anzahl davon ab, ob die Reihenfolge zählt. Hier zählt sie (unten, Mitte, oben); ohne Reihenfolge wären es weniger Möglichkeiten.
    • 0!=10! = 1 wirkt zunächst seltsam; es passt aber dazu, dass es genau eine Möglichkeit gibt, nichts anzuordnen.