Ableitungsfunktion grafisch

Worum geht es?

Die Ableitung $f'(x)$ ist die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x$ . Man erhält sie als Grenzwert der Sekantensteigungen (Differenzenquotient):

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Beispiel $f(x) = x^2$ an der Stelle $1$ mit $h = 0{,}1$ : rechtsseitig $\frac{1{,}21 - 1}{0{,}1} = 2{,}1$ , linksseitig $\frac{1 - 0{,}81}{0{,}1} = 1{,}9$ , beidseitig $\frac{1{,}21 - 0{,}81}{0{,}2} = 2$ . Für $h \to 0$ nähern sich alle dem Wert $f'(1) = 2$ . Stimmen der links- und der rechtsseitige Grenzwert nicht überein, hat der Graph einen Knick und $f$ ist dort nicht differenzierbar (z. B. $|x|$ bei $0$ : links $-1$ , rechts $1$ ).

Ordnet man jeder Stelle $x$ die Steigung $f'(x)$ zu, entsteht die Ableitungsfunktion $f'$ . Ihren Graphen kann man skizzieren, ohne zu rechnen:

Wo $f$ steigt, ist $f'(x) > 0$ ; wo $f$ fällt, ist $f'(x) < 0$ . Je steiler $f$ , desto weiter ist $f'$ von der $x$ -Achse entfernt.
Eine waagrechte Tangente von $f$ ist eine Nullstelle von $f'$ . Mit Vorzeichenwechsel ( $+ \to -$ Hochpunkt, $- \to +$ Tiefpunkt) liegt eine Extremstelle vor, ohne Vorzeichenwechsel ein Terrassenpunkt (Sattelpunkt).
Wo $f$ am steilsten steigt oder fällt (Wendestelle), hat $f'$ ein Extremum. Dort wechselt $f''$ das Vorzeichen: $f'' > 0$ heißt linksgekrümmt, $f'' < 0$ rechtsgekrümmt.

Die Ableitungsregeln lassen sich am Bild begründen: Faktorregel $(a \cdot f)' = a \cdot f'$ (alle Höhen und damit alle Steigungen werden $a$ -mal so groß), Summenregel $(g + h)' = g' + h'$ (die Zuwächse addieren sich), Potenzregel $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ , Produktregel $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$ (Zuwachs einer Rechteckfläche) und Kettenregel $(\sin(kx))' = k \cdot \cos(kx)$ .

Im Alltag ist $f'$ eine Änderungsrate: Weg → Geschwindigkeit → Beschleunigung, Wassermenge → Zufluss, Kosten → Grenzkosten, Höhenprofil → Steigung ( $100\,\tfrac{\text{m}}{\text{km}} = 10\,\%$ ).

Ausprobieren

Tangente läuft: Drücke „P durchlaufen lassen“. Vergleiche die senkrechte Seite des Steigungsdreiecks (bei $\Delta x = 1$ ) mit dem senkrechten Balken im Bild von $f'$ : Er ist genau $f'(x)$ hoch.
Mit zweiter Ableitung: Die kleine Tangente an $f'$ hat die Steigung $f''(x)$ . Wo ist $f''$ null?
Parabel, Sinus, e-Funktion und ln x: Welche bekannte Funktion entsteht jeweils unten?
Sekante → Tangente: Drücke „h gegen 0 gehen lassen“. Wie verändert sich der Punkt im Diagramm des Differenzenquotienten? Stelle auch „links“ und „beidseitig“ ein.
Knick bei |x|: Warum treffen sich die beiden Äste im unteren Bild bei $h = 0$ nicht?
Merkmale: Drücke „Merkmale Schritt für Schritt“ und folge den Hilfslinien durch alle drei Bilder. Sattelpunkt von x³: Was ist anders?
Regeln: Faktorregel, Summenregel, Potenzregel, Produktregel, Kettenregel. Verkleinere $\Delta x$ bei der Produktregel: Was passiert mit dem kleinen Eckstück $\Delta u \cdot \Delta v$ ?
Alltag: Auto, 100-m-Lauf, Fahrstuhl, Hochwurf, Temperatur, Epidemie, Kosten, Wanderung, Badewanne. Was bedeuten Hochpunkt, Nullstelle von $f'$ und Wendepunkt jeweils?

Aufgaben

Aufgabe 1: Merkmale von x³ − 3x

Bestimme für $f(x) = x^3 - 3x$ zuerst grafisch, dann rechnerisch $f'(2)$ , die Extrem- und die Wendestellen. Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$f'(x) = 3x^2 - 3$ , also $f'(2) = 12 - 3 = 9$ . $f'(x) = 0$ für $x = \pm 1$ : bei $-1$ wechselt $f'$ von $+$ nach $-$ (Hochpunkt $(-1 \mid 2)$ ), bei $1$ von $-$ nach $+$ (Tiefpunkt $(1 \mid -2)$ ). $f''(x) = 6x$ ist bei $0$ null und wechselt das Vorzeichen: Wendepunkt $(0 \mid 0)$ . Lösung zeigen

Aufgabe 2: Differenzenquotient

Berechne für $f(x) = x^2$ an der Stelle $x = 1$ mit $h = 0{,}1$ den rechts-, links- und beidseitigen Differenzenquotienten. Welcher liegt am nächsten an $f'(1)$ ? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

Rechts $\frac{1{,}21 - 1}{0{,}1} = 2{,}1$ , links $\frac{1 - 0{,}81}{0{,}1} = 1{,}9$ , beidseitig $\frac{1{,}21 - 0{,}81}{0{,}2} = 2$ . Der beidseitige Quotient trifft $f'(1) = 2$ hier sogar genau (bei Parabeln immer); die einseitigen weichen um genau $h$ ab. Lösung zeigen

Aufgabe 3: Skizziere f′

Skizziere den Graphen der Ableitung von $f(x) = \frac{1}{4}(x^3 - 6x)$ : Zieh die sieben Punkte im unteren Bild und drücke dann „Lösung aufdecken“. Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$f$ steigt, fällt zwischen den Extremstellen $x = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1{,}41$ und steigt wieder. Also ist $f'$ eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen bei $\pm\sqrt{2}$ und Tiefpunkt bei $x = 0$ (Wendestelle von $f$ ): $f'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 1{,}5$ , z. B. $f'(0{,}5) = -1{,}3125$ . Lösung zeigen

Aufgabe 4: Auto

Ein Auto legt in $t$ Sekunden den Weg $s(t) = -0{,}05t^3 + 1{,}5t^2$ (in m) zurück ( $0 \le t \le 20$ ). Wie schnell ist es nach $4$ s? Wann fährt es am schnellsten, und wie groß ist die Beschleunigung beim Start? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$v(t) = s'(t) = -0{,}15t^2 + 3t$ , also $v(4) = -2{,}4 + 12 = 9{,}6\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 34{,}6\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ . $a(t) = v'(t) = -0{,}3t + 3$ ist bei $t = 10$ null: Dort ist $v$ maximal, $v(10) = 15\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 54\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ , und $s$ hat einen Wendepunkt. Beim Start gilt $a(0) = 3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ . Lösung zeigen

Aufgabe 5: Regeln anwenden

a) Leite $f(x) = 2\sin x + x^3$ ab und berechne $f'(0)$ . b) Berechne mit der Produktregel $(u \cdot v)'(2)$ für $u(x) = 1 + 0{,}5x$ und $v(x) = 1 + 0{,}25x^2$ . Aufgabe laden

Lösung anzeigen

a) Faktor-, Summen- und Potenzregel: $f'(x) = 2\cos x + 3x^2$ , $f'(0) = 2$ . b) $u(2) = 2$ , $u' = 0{,}5$ , $v(2) = 2$ , $v'(x) = 0{,}5x$ , also $v'(2) = 1$ : $(u \cdot v)'(2) = 0{,}5 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 3$ . Zeigen

Aufgabe 6: Wahr oder falsch?

„Hat $f'$ an der Stelle $x_0$ einen Hochpunkt, so hat auch $f$ dort einen Hochpunkt.“

Lösung anzeigen

Falsch. Ein Hochpunkt von $f'$ bedeutet: $f$ steigt dort am stärksten – $f$ hat bei $x_0$ eine Wendestelle. Beispiel Epidemie: Die meisten neuen Fälle pro Tag ( $N'$ maximal, nach etwa $13{,}2$ Tagen) liegen am Wendepunkt der Fallzahl $N$ . Beispiel

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Oberstufe, Einführung der Differentialrechnung: Sekanten- und Tangentensteigung, Ableitungsfunktion, Monotonie, Extrem- und Wendestellen; später Ableitung von Sinus und Kosinus grafisch plausibel machen sowie Produkt- und Kettenregel. Wann Faktor-, Summen- und Potenzregel eingeführt werden, unterscheidet sich je nach Lehrplan. Die Ansichten passen als Abfolge: Sekante → Tangente, Tangente läuft, Merkmale, eigene Skizze, Regeln.
Vorhersagen: Mit „Terme und Werte zeigen“ aus skizzieren die Lernenden $f'$ zuerst auf Papier, dann prüfen sie mit der Spur oder im Aufgabenmodus „f′ skizzieren“, der für jeden Punkt rückmeldet, ob er passt.
Differenzierbarkeit: Das Diagramm „Differenzenquotient über h“ zeigt Grenzwerte als Bild: Bei glatten Funktionen laufen linker und rechter Ast auf denselben Punkt zu, bei $|x|$ nicht.
Alltagsbezug: Neun Beispiele mit Einheiten (m/s, m/s², L/min, GE/ME, m/km und Prozent) – gut für die Deutung von Hochpunkten, Nullstellen von $f'$ und Wendepunkten im Sachzusammenhang.
Häufige Stolpersteine:
- Hochpunkt von $f$ und Hochpunkt von $f'$ werden verwechselt.
- Der Funktionswert $f(x)$ wird mit der Steigung $f'(x)$ verwechselt („ $f$ ist negativ, also fällt $f$ “).
- Eine Nullstelle von $f'$ ohne Vorzeichenwechsel wird als Extremstelle gedeutet.
- Wendestellen werden übersehen, weil dort am Graphen „nichts Besonderes“ zu sehen ist.