Ganze Zahlen an der Zahlengeraden addieren und subtrahieren

Worum geht es?

Die ganzen Zahlen sind $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$ Auf der Zahlengeraden liegen die negativen Zahlen links von $0$ , die positiven rechts. Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie: $-5 < -2 < 0 < 3$ .

Die Gegenzahl entsteht durch Spiegeln an der $0$ : Die Gegenzahl von $-3$ ist $3$ , die von $3$ ist $-3$ .
Der Betrag ist der Abstand von der $0$ : $\lvert -3 \rvert = 3$ und $\lvert 3 \rvert = 3$ .

Pfeilmodell: Eine Zahl wird als Pfeil gezeichnet – positive Zahlen zeigen nach rechts, negative nach links. Beim Addieren setzt man den Pfeil an die erste Zahl an.

Laufmodell: Ein Frosch steht auf der ersten Zahl und schaut in Richtung der positiven Zahlen.

Das Rechenzeichen sagt, wohin er schaut: Bei $+$ bleibt er so stehen, bei $-$ dreht er sich um.
Das Vorzeichen der zweiten Zahl sagt, wie er hüpft: positive Zahl vorwärts, negative Zahl rückwärts – so viele Sprünge, wie der Betrag angibt.

Daraus ergeben sich die Rechenregeln:

a - b = a + (-b) \qquad \text{und} \qquad a + (-b) = a - b

Subtrahieren heißt also: die Gegenzahl addieren. Zum Beispiel $2 - (-4) = 2 + 4 = 6$ und $5 + (-8) = 5 - 8 = -3$ .

Ganze Zahlen begegnen uns im Alltag: Temperaturen unter $0\,^\circ\mathrm{C}$ , Höhen unter dem Meeresspiegel oder ein Konto mit Schulden. Werden Schulden gestrichen, steigt der Kontostand: $-15 - (-10) = -5$ .

Ausprobieren

Drücke Los! und beobachte den Frosch bei $-3 + 7$ . Ziehe den blauen Startpunkt oder die Pfeilspitze an eine andere Stelle.
Negative Zahl addieren: Der Frosch schaut nach rechts, hüpft aber rückwärts.
Negative Zahl subtrahieren: Er dreht sich um und hüpft rückwärts – wohin kommt er?
Vergleiche mit 2 + 4. Was fällt dir auf?
Am Konto: Schulden werden gestrichen. Wird der Kontostand größer oder kleiner?
Am Thermometer: Kälteeinbruch. Unter welche Marke sinkt die Temperatur?
Schalte Betrag und Gegenzahl ein. Warum haben eine Zahl und ihre Gegenzahl denselben Betrag?
Übungsmodus: Ergebnis erst nach „Los!“ – überlege zuerst, wo der Frosch landet. Mit Neue Aufgabe gibt es weitere Rechnungen.

Aufgaben

Aufgabe 1: Im Kopf rechnen

Berechne und prüfe mit der Simulation: a) $-7 + 12$ b) $3 - 9$ c) $-4 - (-6)$ d) $-2 + (-5)$ . Aufgabe a) laden

Lösung anzeigen

a) $5$ b) $-6$ c) $-4 + 6 = 2$ d) $-2 - 5 = -7$ . Teil c) zeigen

Aufgabe 2: Temperaturunterschied

Morgens zeigt das Thermometer $-6\,^\circ\mathrm{C}$ , mittags $4\,^\circ\mathrm{C}$ . Um wie viel Grad ist es wärmer geworden?

Lösung anzeigen

Unterschied: $4 - (-6) = 4 + 6 = 10$ . Es ist um $10\,^\circ\mathrm{C}$ wärmer geworden: $-6 + 10 = 4$ . Am Thermometer zeigen

Aufgabe 3: Der Pinguin taucht

Ein Pinguin steht $7\,\text{m}$ über dem Meeresspiegel auf einem Eisberg und taucht dann $15\,\text{m}$ nach unten. Wo ist er jetzt?

Lösung anzeigen

$7 - 15 = -8$ , also $8\,\text{m}$ unter dem Meeresspiegel. In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Kontostand

Tims Konto steht bei $-12$ €. Zuerst wird eine Rechnung über $9$ € abgebucht, danach zahlt er $30$ € ein. Wie hoch ist der Kontostand jetzt?

Lösung anzeigen

$-12 - 9 = -21$ und $-21 + 30 = 9$ . Tim hat jetzt $9$ € Guthaben. Ersten Schritt zeigen

Aufgabe 5: Begründen

Begründe mit dem Laufmodell, warum $5 - (-3)$ dasselbe ergibt wie $5 + 3$ .

Lösung anzeigen

Bei $5 - (-3)$ dreht sich der Frosch wegen des Minuszeichens um und schaut nach links. Weil $-3$ negativ ist, hüpft er $3$ Schritte rückwärts – also nach rechts. Bei $5 + 3$ schaut er nach rechts und hüpft $3$ Schritte vorwärts, ebenfalls nach rechts. Beide Male landet er bei $8$ . Vergleichen

Aufgabe 6: Betrag

Welche ganzen Zahlen haben den Betrag $7$ ? Welche ganzen Zahlen haben einen Betrag kleiner als $3$ ?

Lösung anzeigen

$7$ und $-7$ haben den Betrag $7$ . Einen Betrag kleiner als $3$ haben $-2, -1, 0, 1$ und $2$ .

Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 5/6 (negative Zahlen, Anordnung, Gegenzahl und Betrag an der Zahlengeraden; Addition und Subtraktion ganzer Zahlen, Strategien mit Guthaben und Schulden).
Modelle: Die Simulation verbindet das Pfeilmodell mit dem Laufmodell. Bei der Subtraktion wird der Pfeil der zweiten Zahl gestrichelt gezeichnet und klappt beim Umdrehen in die Gegenrichtung – das macht die Regel „Subtrahieren heißt Gegenzahl addieren“ sichtbar. Rechenzeichen und Vorzeichen haben verschiedene Farben und Rollen.
Bedienung: Blauen Startpunkt und Pfeilspitze ziehen, mit Los! den Ablauf zeigen. Ist „Ergebnis sofort zeigen“ ausgeschaltet (show=0), erscheinen Ergebnis und Pfeil erst nach Los!; der Ausschnitt der Zahlengeraden verrät die Richtung dann nicht.
Sachsituationen: Thermometer, Meeresspiegel und Kontostand beschreiben jeweils die tatsächliche Änderung. Das Konto eignet sich besonders für das Subtrahieren negativer Zahlen („Schulden werden gestrichen“).
Häufige Stolpersteine:
- „Subtrahieren macht immer kleiner“ – $2 - (-4) = 6$ ist größer als $2$ .
- Regeln der Multiplikation werden übertragen: $-3 + (-4) = +7$ statt $-7$ .
- Beim Ordnen wird der Betrag verglichen: „ $-5 > -2$ , weil $5 > 2$ .“
- Vorzeichen und Rechenzeichen werden verwechselt; Klammern um negative Zahlen helfen: $3 - (-2)$ .
Alle Zahlen liegen zwischen $-20$ und $20$ , die Ergebnisse zwischen $-40$ und $40$ .