Brüche multiplizieren und dividieren am Rechteckmodell

Worum geht es?

Multiplizieren im Rechteckmodell: Ein Quadrat ist ein Ganzes. Der erste Bruch färbt senkrechte Streifen (blau), der zweite waagrechte Streifen (orange). Wo sich beide überlappen (lila), liegt das Produkt. Bei $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$ ist das Quadrat in $3 \cdot 4 = 12$ gleich große Felder geteilt, überlappt sind $2 \cdot 3 = 6$ davon:

Allgemein gilt: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner, also $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.

• „von“ heißt „mal“: $\frac{2}{3}$ von $\frac{3}{4}$ einer Pizza sind $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ Pizza.
• Mal macht nicht immer größer: Multipliziert man mit einer Zahl kleiner als $1$, wird das Ergebnis kleiner: $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} < \frac{3}{4}$. Mit einer Zahl größer als $1$ wird es größer.
• Vor dem Ausmultiplizieren kürzen: Man darf jeden Zähler mit jedem Nenner kürzen, auch über Kreuz: $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$ ($4$ und $8$ durch $4$, $3$ und $9$ durch $3$). Die Zahlen bleiben klein.
• Ganze und gemischte Zahlen schreibt man vorher als Bruch: $3 = \frac{3}{1}$, $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Dividieren heißt messen: $\frac{3}{4} : \frac{2}{3}$ fragt: Wie oft passt $\frac{2}{3}$ in $\frac{3}{4}$? Mit gleichen Nennern werden die Stücke gleich groß, dann zählt man nur noch die Stücke:

Der Streifen $\frac{2}{3}$ passt also einmal ganz hinein, dazu noch $\frac{1}{8}$ von ihm.

Die Kehrwert-Regel: In $1$ passt $\frac{2}{3}$ genau $\frac{3}{2}$-mal – das ist der Kehrwert von $\frac{2}{3}$. In $\frac{3}{4}$ passt der Streifen $\frac{3}{4}$-mal so oft:

Allgemein: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ – man multipliziert mit dem Kehrwert des Divisors. Teilt man durch eine Zahl kleiner als $1$, wird das Ergebnis größer.

Ausprobieren

1. Lade 2/3 · 3/4 und drücke Aufbauen. Zähle die Felder eines Ganzen und die lila Felder.
2. Ziehe den blauen Griff über die $1$ hinaus, z. B. bis 3/2 · 4/5. Wann ist das Produkt größer als der zweite Faktor?
3. Stimmt „Mal macht größer“? Teste 1/2 · 1/3.
4. Drücke Faktoren tauschen. Was ändert sich am Bild, was am Ergebnis?
5. Schalte das Kürzen ein: 4/9 · 3/8. Welche Zahlen werden gekürzt?
6. Wechsle zum Dividieren: 3/4 : 1/4. Drücke Messen und zähle mit.
7. Bei 3/4 : 2/3 bleibt ein Rest. Welcher Anteil des Streifens passt noch hinein?
8. Bei 1/4 : 3/4 passt der Streifen gar nicht ganz hinein. Was ergibt die Division?
9. Wie oft passt $\frac{1}{12}$ in $3$? Prüfen

Aufgaben

Aufgabe 1: Rechteckmodell

Berechne und überprüfe mit dem Rechteckmodell: a) $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3}$ b) $\frac{3}{4}$ von $\frac{4}{5}$ Aufgabe a laden

Aufgabe 2: Erst kürzen, dann rechnen

a) $\frac{5}{12} \cdot \frac{9}{10}$ b) $\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4}$ Aufgabe a laden

Aufgabe 3: Pizza-Rest

Von einer Pizza ist noch $\frac{3}{4}$ übrig. Tim isst $\frac{2}{3}$ davon. Welchen Anteil der ganzen Pizza isst er?

Aufgabe 4: Portionen

a) Aus $2$ Pizzen werden Portionen zu je $\frac{2}{3}$ Pizza. Wie viele Portionen sind es? b) Wie oft passt $\frac{3}{8}$ in $\frac{3}{4}$? Aufgabe a laden

Aufgabe 5: Zwei Wege

Berechne $\frac{5}{6} : \frac{2}{3}$ einmal über den gemeinsamen Nenner und einmal mit dem Kehrwert. Aufgabe laden

Aufgabe 6: Wie oft passt es hinein?

Berechne a) $\frac{3}{4} : \frac{1}{8}$ b) $\frac{2}{3} : \frac{4}{5}$ c) $3 : \frac{1}{4}$. Ist das Ergebnis größer oder kleiner als $1$? Aufgabe a laden

Aufgabe 7: Größer durch Teilen? (Knobelaufgabe)

Begründe, warum $\frac{3}{4} : \frac{1}{2}$ größer ist als $\frac{3}{4}$. Für welche Divisoren wird das Ergebnis kleiner als der Dividend?

Ideen für den Unterricht

• Einsatz: Etwa Klasse 6, Multiplikation und Division von Brüchen: tragfähige Vorstellungen „Anteil von“ (Rechteckmodell) und „Aufteilen/Messen“ (Division). Zur Erarbeitung im Unterricht und zur Übung; die Vorstellung des Erweiterns und Gleichnamigmachens aus „Brüche erweitern, kürzen und vergleichen“ wird beim Dividieren genutzt.
• Modell: Faktoren bis $3$ (also bis zu $3 \times 3$ Ganze im Bild) und Nenner bis $12$. Zähler sind mindestens $1$, eine Division durch $0$ kommt also nicht vor. Die Griffe am Rand rasten in Schritten von $\frac{1}{b}$ bzw. $\frac{1}{d}$ ein. Mit „Aufbauen“ entsteht das Bild schrittweise: erst der eine Faktor, dann der andere, dann die Überlappung mit durchnummerierten Feldern.
• Division: Die Simulation nutzt die Vorstellung des Aufteilens (Messens): „Wie oft passt …?“. Ist der Divisor eine natürliche Zahl, liegt die Vorstellung des Verteilens näher: $\frac{3}{4} : 3$ heißt „$\frac{3}{4}$ auf $3$ Personen verteilen“, also $\frac{1}{4}$ für jede. Beide Vorstellungen führen auf $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}$.
• Häufige Stolpersteine:
  • „Mal macht größer, geteilt macht kleiner.“ – Das gilt nur für Faktoren bzw. Divisoren größer als $1$.
  • Vor dem Multiplizieren gleichnamig machen: Das ist nicht falsch, aber unnötig und macht die Zahlen groß.
  • Den Kehrwert des falschen Bruchs bilden: $\frac{3}{4} : \frac{2}{3} \neq \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3}$. Umgedreht wird nur der Divisor.
  • Über Kreuz kürzen bei der Addition: $\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$ darf man nicht über Kreuz kürzen – das geht nur beim Multiplizieren.