Pyramide, Kegel und Kugel

Worum geht es?

Pyramide, Kegel und Kugel sind Körper, bei denen man Volumen und Oberfläche nicht einfach „Länge mal Breite mal Höhe“ rechnen kann. Die Simulation zeigt, woher die Formeln kommen: Du kannst den Körper drehen, Wasser umschütten und das Netz abwickeln.

Bausteine

Höhe $h$ : Abstand der Spitze von der Grundfläche (senkrecht).
Seitenhöhe $h_a$ (Pyramide): Höhe einer Seitenfläche, vom Grundkantenmittelpunkt zur Spitze.
Mantellinie $s$ (Kegel) bzw. Seitenkante $s$ (Pyramide): Strecke von der Spitze zum Rand der Grundfläche.
Radius $r$ : bei Kegel und Kugel der Abstand zum Mittelpunkt.

Diese Strecken hängen über rechtwinklige Dreiecke zusammen (Satz des Pythagoras). Bei der quadratischen Pyramide mit der Diagonale $d = a\sqrt{2}$ der Grundfläche gilt

h_a^2 = h^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2, \qquad s^2 = h^2 + \left(\tfrac{d}{2}\right)^2 = h_a^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2 .

Beim Kegel gilt für die Mantellinie $s^2 = h^2 + r^2$ . Achtung: Die Seitenhöhe $h_a$ und die Seitenkante $s$ sind verschiedene Strecken. $h_a$ trifft die Grundkante in der Mitte und senkrecht, $s$ endet in einer Ecke.

Pyramide

Mit Grundfläche $G$ und Höhe $h$ gilt

V = \tfrac{1}{3} \cdot G \cdot h, \qquad M = \text{Summe der Seitenflächen}, \qquad O = G + M .

Bei der quadratischen Pyramide ist $G = a^2$ und $M = 4 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ . Das Wasser aus drei Pyramiden füllt genau das Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe.

Kegel

V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h, \qquad M = \pi r s, \qquad O = \pi r^2 + \pi r s .

Der Mantel lässt sich als Kreissektor mit Radius $s$ und Bogenlänge $2\pi r$ abwickeln. Sein Winkel ist $\alpha = 360^\circ \cdot \tfrac{r}{s}$ .

Kugel

V = \tfrac{4}{3}\pi r^3, \qquad O = 4\pi r^2 .

Archimedes: Zylinder (Höhe $r$ , Radius $r$ ) = Kegel + Halbkugel. Der Kegel hat $\tfrac{1}{3}\pi r^3$ , der Zylinder $\pi r^3$ , also bleibt für die Halbkugel $\tfrac{2}{3}\pi r^3$ und für die ganze Kugel $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ .
Aus Pyramiden: Zerlegt man die Kugel in viele Pyramiden mit Höhe $r$ , ist $V = \tfrac{1}{3} \cdot O \cdot r$ . Daraus folgt $O = 3V : r = 4\pi r^2$ .

Ausprobieren

Wähle die quadratische Pyramide und schalte zwischen den Hilfsdreiecken um. Welche Strecke ist immer die längste? Pyramide laden
Schütte die Pyramide dreimal um. Wie viel vom Prisma füllt eine Pyramide? Umschütten
Probiere dasselbe mit dem Kegel. Was ändert sich, wenn du $r$ oder $h$ änderst? Kegel umschütten
Wickle den Kegelmantel ab. Verändere $h$ und beobachte den Winkel $\alpha$ . Kegelmantel
Schütte nach Archimedes: Kegel, dann Halbkugel. Archimedes
Zerlege die Kugel in Pyramiden und dreh sie. Kugel aus Pyramiden

Aufgaben

Aufgabe 1: Quadratische Pyramide

Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante $a = 4\,\text{cm}$ und die Höhe $h = 5\,\text{cm}$ . Berechne Seitenhöhe, Volumen, Mantelfläche und Oberfläche. Aufgabe laden

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$h_a = \sqrt{5^2 + 2^2}\,\text{cm} = \sqrt{29}\,\text{cm} \approx 5{,}39\,\text{cm}$

$V = \tfrac{1}{3} \cdot 16\,\text{cm}^2 \cdot 5\,\text{cm} \approx 26{,}67\,\text{cm}^3$

$M = 4 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot \sqrt{29}\,\text{cm} = 8\sqrt{29}\,\text{cm}^2 \approx 43{,}08\,\text{cm}^2$

$O = 16\,\text{cm}^2 + 43{,}08\,\text{cm}^2 \approx 59{,}08\,\text{cm}^2$

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Aufgabe 2: Kegel

Ein Kegel hat den Radius $r = 3\,\text{cm}$ und die Höhe $h = 4\,\text{cm}$ . Bestimme $s$ , $V$ , $M$ und $O$ . Aufgabe laden

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$s = \sqrt{4^2 + 3^2}\,\text{cm} = 5\,\text{cm}$

$V = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 9\,\text{cm}^2 \cdot 4\,\text{cm} = 12\pi\,\text{cm}^3 \approx 37{,}70\,\text{cm}^3$

$M = \pi \cdot 3\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 15\pi\,\text{cm}^2 \approx 47{,}12\,\text{cm}^2$

$O = 9\pi\,\text{cm}^2 + 15\pi\,\text{cm}^2 = 24\pi\,\text{cm}^2 \approx 75{,}40\,\text{cm}^2$

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Aufgabe 3: Kugel

Eine Kugel hat den Radius $r = 2{,}5\,\text{cm}$ . Berechne Volumen und Oberfläche. Wie viel Prozent des umgebenden Zylinders (Höhe $2r$ ) füllt die Kugel? Aufgabe laden

Lösung anzeigen

$V = \tfrac{4}{3}\pi \cdot (2{,}5\,\text{cm})^3 \approx 65{,}45\,\text{cm}^3$

$O = 4\pi \cdot (2{,}5\,\text{cm})^2 = 25\pi\,\text{cm}^2 \approx 78{,}54\,\text{cm}^2$

Der Zylinder hat $V = 2\pi r^3 \approx 98{,}17\,\text{cm}^3$ . Die Kugel füllt $\tfrac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%$ davon.

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Ideen für den Unterricht

Einsatz: Etwa Klasse 9/10, Körperberechnung. Geeignet als Einstieg (Umschüttversuch), zur Übung (Pythagoras im Körper) und zur Vertiefung (Archimedes).
Modell: Die Pyramide hat ein regelmäßiges $n$ -Eck als Grundfläche, die Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt. Beim Umschütten wird das Wasser exakt nach dem Volumen berechnet, gezeichnet ist es nur angenähert.
Typische Fehler:
- Der Faktor $\tfrac{1}{3}$ wird vergessen – richtig: Pyramide und Kegel füllen nur ein Drittel.
- $r$ und $d$ werden verwechselt – in den Formeln steht der Radius.
- Höhe $h$ und Seitenhöhe $h_a$ bzw. Mantellinie $s$ werden verwechselt – $s$ ist immer länger als $h$ .